KOMPOSISI FUNGSI, DOMAIN DAN RANGE

 

Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah proses menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi. Fungsi mewakili sejumlah pekerjaan. Mari kita ambil contoh pembuatan roti. Misalkan x adalah tepung, pengolah makanan melakukan fungsi menyiapkan adonan menggunakan tepung (dan misalkan fungsi ini adalah g(x)) dan misalkan oven melakukan fungsi membuat roti (dan misalkan fungsi ini adalah f(x)). Untuk menyiapkan roti, keluaran g(x) harus ditempatkan dalam fungsi f(x) (yaitu, adonan yang disiapkan harus ditempatkan dalam oven). Hasilnya dilambangkan dengan f(g(x)) dan merupakan komposisi fungsi f(x) dan g(x).

 

Mari kita lihat apa itu komposisi fungsi dalam matematika beserta cara menghitungnya. Selain itu, kita juga akan belajar cara menentukan/menemukan domain dan range (range-nya).

 

Apa itu Komposisi Fungsi?

Komposisi fungsi f(x) dan g(x) di mana g(x) bertindak lebih dulu direpresentasikan oleh f(g(x)) atau (f ∘ g)(x). Menggabungkan dua fungsi atau lebih untuk menghasilkan fungsi lain. Dalam komposisi fungsi, keluaran dari satu fungsi yang berada di dalam tanda kurung menjadi masukan dari fungsi luar.

Yaitu:

Dalam f(g(x)), g(x) adalah masukan dari f(x).

Dalam g(f(x)), f(x) adalah masukan dari g(x).

Untuk menemukan f(g(x)) (yang dibaca sebagai "fungsi dari g(x)), kita harus menemukan g(x) terlebih dahulu, lalu kita mengganti hasilnya dalam f(x).

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = 4x - 5.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 2x + 3,  g(x) = 4x - 5.

f(g(x)) = 2g(x) + 2

          = 2(4x - 5) + 3

          = 8x - 10 + 3

          = 8x - 7

Jadi, f(g(x)) = 8x - 7

 

g(f(x)) = 4f(x) - 5

          = 4(2x + 3) - 5

          = 8x + 12 - 5

          = 8x + 7

Jadi, g(f(x)) = 8x + 7

 

 

2. Diketahui f(x) = 5x - 1 dan g(x) = 2x + 7.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 5x - 1,  g(x) = 2x + 7

f(g(x)) = 5g(x) - 1

          = 5(2x + 7) - 1

          = 10x + 35 - 1

          = 10x + 34

Jadi, f(g(x)) = 10x + 34

 

g(f(x)) = 2f(x) + 7

          = 2(5x - 1) + 7

          = 10x - 2 + 7

          = 10x + 5

Jadi, g(f(x)) = 10x + 5

 

 

3. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² - 3x + 4.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 2x + 1, g(x) = x² - 3x + 4

f(g(x)) = 2g(x) + 1

          = 2(x² - 3x + 4) + 1

          = 2x² - 6x + 8 + 1

          = 2x² - 6x + 9

Jadi, f(g(x)) = 2x² - 6x + 9

 

g(f(x)) = (f(x))² - 3f(x) + 4

          = (2x + 1)² - 3(2x + 1) + 4

          = 4x² + 4x + 1 - 6x - 3 + 4

          = 4x² + 4x - 6x + 1 - 3 + 4

          = 4x² - 2x + 2

Jadi, g(f(x)) = 4x² - 2x + 2

 

 

4. Diketahui f(x) = 2x² - x + 5 dan g(x) = 3x + 1.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 2x² - x + 5, g(x) = 3x + 1

f(g(x)) = 2(g(x))² - g(x) + 5

          = 2(3x + 1)² - (3x + 1) + 5

          = 2(9x² + 6x + 1) - (3x + 1) + 5

          = 18x² + 12x + 2 - 3x - 1 + 5

          = 18x² + 12x - 3x + 2 - 1 + 5

          = 18x² + 9x + 6

Jadi, f(g(x)) = 18x² + 9x + 6

 

g(f(x)) = 3f(x) + 1

          = 3(2x² - x + 5) + 1

          = 6x² - 3x + 15 + 1

          = 6x² - 3x + 16

Jadi, g(f(x)) = 6x² - 3x + 16.

 

 

 

 

Simbol Komposisi Fungsi

Simbol komposisi fungsi adalah ∘. Itu juga dapat ditunjukkan tanpa menggunakan simbol ini tetapi dengan menggunakan tanda kurung.

Yaitu,

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) dan dibaca sebagai "f dari g(x)".

Di sini, g adalah fungsi dalam dan f adalah fungsi luar.

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) dan dibaca sebagai "g dari f(x)".

Di sini, f adalah fungsi dalam dan g adalah fungsi luar.

 

Bagaimana Menyelesaikan Fungsi Komposisi?

Kita selalu menyederhanakan apa pun yang ada di dalam tanda kurung terlebih dahulu. Jadi, untuk menemukan f(g(x)), pertama-tama g(x) harus dihitung dan harus disubstitusikan ke dalam f(x). Dengan cara yang sama, untuk menemukan g(f(x)), pertama-tama f(x) harus dihitung dan harus disubstitusikan ke dalam g(x).

Saat menemukan fungsi komposisi, urutan sangat penting. Artinya f(g(x)) mungkin TIDAK sama dengan g(f(x)).

 

Misalkan terdapat dua fungsi f(x) dan g(x), maka untuk menemukan nilai fungsi komposisi f(g(a)) menggunakan langkah-langkah berikut:

 

(1) Temukan g(a) dengan mensubstitusikan x = a ke dalam g(x).

(2) Temukan f(g(a)) dengan mensubstitusikan x = g(a) ke dalam f(x).

Kita dapat memahami langkah-langkah ini menggunakan contoh di bawah ini.

 

1. Diketahui f(x) = x² - 2x dan g(x) = x - 3.

Tentukan nilai dari f(g(5)) dan g(f(3))

Jawaban:

f(x) = x² - 2x, g(x) = x - 3

Menentukan f(g(5)).

Langkah pertama menentukan g(5)

g(5) = 5 - 3 = 2

sehingga:

f(g(5)) = f(2)

           = 2² - 2(2)

           = 4 - 4

           = 0

Jadi, nilai f(g(5)) = 0.

 

Menentukan g(f(3))

Langkah pertama menentukan nilai f(3)

f(3) = 3² - 2(3)

= 9 - 6

= 3

sehingga

g(f(3)) = g(3)

           = 3 - 3

           = 0

Jadi, nilai dari g(f(3)) = 0.

 

2. Diketahui f(x) = x² - 4x + 1 dan g(x) = 5x - 4.

Tentukan nilai dari f(g(2)) dan g(f(3))

Jawaban:

f(x) = x² - 4x + 1, g(x) = 5x - 4

Menentukan f(g(2)).

Langkah pertama menentukan g(2)

g(5) = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6

sehingga:

f(g(2)) = f(6)

           = 6² - 4(6)  + 1

           = 36 - 24 + 1

           = 13

Jadi, nilai f(g(2)) = 13.

 

Menentukan g(f(3))

Langkah pertama menentukan nilai f(3)

f(3) = 3² - 4(3) + 1

      = 9 - 12 + 1

      = -2

sehingga

g(f(3)) = g(-2)

           = 5(-2) - 4

           = -10 - 4

           = -14

Jadi, nilai dari g(f(3)) = -14.

 

 

 

 

 

 

 

 

Domain Fungsi Komposisi

Secara umum, jika g : X → Y dan f : Y → Z maka f ∘ g : X → Z.

Yaitu, domain dari f ∘ g adalah X dan range-nya adalah Z. Namun, ketika fungsi-fungsi tersebut didefinisikan secara aljabar, berikut adalah langkah-langkah untuk mencari domain dari fungsi komposisi f(g(x)).

 

Temukan domain fungsi dalam g(x) (Misalkan A)

Temukan domain fungsi yang diperoleh dengan mencari f(g(x)) (Misalkan B)

Temukan irisan A dan B dan A ∩ B memberikan domain f(g(x))

Contoh:

Temukan domain f(g(x)) jika f(x) = 1/(x + 2) dan g(x) = 4/(x + 3).

Solusi:

Domain dari fungsi f(x) = 1/(x + 2) adalah A = {x | x ≠ -2}

Domain dari fungsi g(x) = 4/(x + 3) adalah A = {x | x ≠ -3}

Sekarang kita akan domain f(g(x)).

Domain dari f(g(x)) adalah irisan dari himpunan A dan himpunan B.

D = {x | x ≠ -2  Ù x ≠ -3 }

Jadi, domain f(g(x)) adala { x | x ≠ -2  Ù x ≠ -3 }.

 

Range Fungsi Komposisi

Range fungsi komposisi dihitung seperti range fungsi lainnya. Range ini tidak bergantung pada fungsi dalam atau luar. Mari kita hitung range f(g(x)) yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Misalnya kita memperoleh f(g(x)) = (x+3)/(2x+7).

Asumsikan bahwa y = (x+3)/(2x+7)

Bentuk ini adalah fungsi rasional.

Oleh karena itu, kita memecahkannya untuk x dan menetapkan penyebut tidak sama dengan nol untuk menemukan rangenya.

y = (x+3)/(2x+7)

(2x + 7) y = x + 3

 2xy + 7y = x + 3

    2xy - x = 3 - 7y

 x(2y - 1) = 3 - 7y

            x = (3 - 7y) / (2y - 1)

Untuk range, 2y - 1 ≠ 0 yang menghasilkan y ≠ 1/2.

Oleh karena itu, range = {y | y ≠ 1/2}.

 

Demikianlah sekilas tentang komposisi fungsi.

Semoga bermanfaat.

RASIO (PERBANDINGAN)

 

Rasio

Rasio, dalam matematika, merupakan istilah yang digunakan untuk membandingkan dua angka atau lebih. Rasio digunakan untuk menunjukkan seberapa besar atau kecil suatu kuantitas jika dibandingkan dengan kuantitas lain. Dalam rasio, dua kuantitas dibandingkan menggunakan pembagian. Di sini, dividen disebut 'anteseden' dan pembagi disebut 'konsekuen'. Misalnya, dalam kelompok yang beranggotakan 30 orang, 17 orang lebih suka berjalan kaki di pagi hari dan 13 orang lebih suka bersepeda. Untuk menyatakan informasi ini sebagai rasio, kita menulisnya sebagai 17 : 13. Di sini, simbol ':' dibaca sebagai "banding". Jadi, rasio orang yang lebih suka berjalan kaki dengan orang yang lebih suka bersepeda dibaca sebagai '17 banding 13'.

 

Apa itu Rasio?

Rasio didefinisikan sebagai perbandingan dua kuantitas dengan satuan yang sama yang menunjukkan seberapa banyak satu kuantitas hadir dalam kuantitas lainnya. Rasio dapat dikelompokkan menjadi dua jenis. Pertama adalah rasio bagian terhadap bagian. Kedua adalah rasio bagian terhadap keseluruhan. Rasio bagian-ke-bagian menunjukkan bagaimana dua objek atau kelompok yang berbeda saling terkait. Misalnya, rasio (perbandingan) anak laki-laki dan anak perempuan dalam satu kelas adalah 12:15, sedangkan rasio bagian terhadap keseluruhan menunjukkan hubungan antara kelompok tertentu dengan keseluruhan.

Misalnya:

Terdapat 12 orang dan 5 di antaranya suka membaca buku. Oleh karena itu, rasio bagian terhadap keseluruhan adalah 5 : 12, yang berarti 5 orang dari 12 orang suka membaca buku.

 

Terdapat 15 orang dan 6 di antaranya memakai kacamata. Oleh karena itu, rasio orang yang berkacamata terhadap keseluruhan adalah 6 : 15. Hai ini berarti 6 orang dari 15 orang memakai kacamata.

 

 

Rumus Rasio

Kita menggunakan rumus rasio saat membandingkan hubungan antara dua angka  atau kuantitas (banyak benda). Bentuk umum untuk merepresentasikan rasio (perbandingan) antara dua kuantitas, misalnya 'a' dan 'b' adalah a:b, yang dibaca sebagai 'a banding b'.

 

Mengekspresikan (Menuliskan) Rasio sebagai 'a banding b'

Bentuk pecahan yang merepresentasikan rasio ini adalah a/b. Untuk lebih menyederhanakan rasio, kita mengikuti prosedur yang sama yang kita gunakan untuk menyederhanakan pecahan. a : b = a/b. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh.

Contoh: Dalam kelas yang beranggotakan 40 siswa, 19 siswa adalah perempuan dan sisanya adalah laki-laki. Tentukan rasio jumlah siswa laki-laki terhadap jumlah siswa perempuan.

Jawaban:

Jumlah siswa = 40; Jumlah siswa perempuan = 19.

Jumlah siswa laki-laki

= Jumlah siswa - Jumlah siswa perempuan

= 40 - 19

= 21

 

Oleh karena itu, rasio antara Jumlah siswa laki-laki : Jumlah siswa perempuan adalah 21 : 19.

 

Perhitungan Rasio

Untuk menghitung rasio dua kuantitas, kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh berikut.

Misalnya, jika 15 ons tepung dan 20 ons gula dibutuhkan untuk membuat kue yang lembut. Mari kita hitung rasio (perbandingan) antara tepung dan gula yang digunakan dalam resep tersebut.

 

Langkah 1: Temukan kuantitas dari kedua skenario yang rasionya akan kita tentukan. Dalam permasalahan ini, rasionya adalah 15 dan 20.

Langkah 2: Tulis dalam bentuk pecahan a/b. Jadi, kita tulis sebagai 15/20.

Langkah 3: Sederhanakan pecahan lebih lanjut, jika memungkinkan. Pecahan yang disederhanakan akan memberikan rasio akhir. Di sini, 15/20 dapat disederhanakan menjadi 3/4.

Langkah 4: Oleh karena itu, rasio tepung terhadap gula dapat dinyatakan sebagai 3: 4.

 

Bagaimana Menyederhanakan Rasio? Rasio menyatakan seberapa banyak kuantitas yang dibutuhkan dibandingkan dengan kuantitas lain. Dua suku dalam rasio dapat disederhanakan dan dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana. Rasio jika dinyatakan dalam suku yang paling sederhana dan mudah dipahami dan dapat disederhanakan dengan cara yang sama seperti kita menyederhanakan pecahan. Untuk menyederhanakan rasio, kita menggunakan langkah-langkah berikut. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh.

 

Misalnya, kita kita akan menyederhanakan rasio 18:10.

Langkah 1: Tulis rasio yang diberikan a : b dalam bentuk pecahan a/b. Saat menulis rasio dalam bentuk pecahan, kita memperoleh 18/10.

 

Langkah 2: Cari faktor persekutuan terbesar dari 'a' dan 'b'. Dalam kasus ini, FPB dari 10 dan 18 adalah 2.

 

Langkah 3: Bagi pembilang dan penyebut pecahan dengan FPB untuk memperoleh pecahan yang disederhanakan. Di sini, dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2, kita memperoleh  (18 : 2)/(10 : 2) = 9/5.

 

Langkah 4: Nyatakan pecahan ini dalam bentuk rasio untuk mendapatkan hasilnya. Oleh karena itu, rasio yang disederhanakan adalah 9 : 5.

 

Tips dan Trik tentang Rasio:

Jika kedua angka 'a' dan 'b' sama dalam rasio a: b, maka a: b = 1.

Jika a > b dalam rasio a : b, maka a : b > 1.

Jika a < b dalam rasio a : b, maka a : b < 1.

Harus dipastikan bahwa satuan kedua kuantitas tersebut serupa sebelum membandingkannya.

 

Rasio Ekuivalen

Rasio ekuivalen serupa dengan pecahan ekuivalen. Jika anteseden (suku pertama) dan konsekuen (suku kedua) dari rasio tertentu dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama selain nol, maka akan menghasilkan rasio ekuivalen.

Misalnya:

Ketika anteseden dan konsekuen dari rasio 1 : 3 dikalikan dengan 3, kita memperoleh, (1 × 3) : (3 × 3) atau 3 : 9. Di sini, 1 : 3 dan 3 : 9 merupakan rasio ekuivalen.

Cara mudahnya begini:

2 : 5 = 2 × 3 : 5 × 3 = 6 : 15

2 : 5 = 2 × 4 : 5 × 4 = 8 : 20

Jadi, bentuk rasio 2 : 5, 6 : 15, dan 8 : 20 merupakan rasio yang ekuivalen.

 

Demikian pula, ketika kedua suku rasio 20 : 10 dibagi dengan 10, hasilnya adalah 2 : 1. Dalam hal ini 20 : 10 dan 2 : 1 merupakan rasio ekuivalen.

Cara mudahnya begini:

36 : 24 = (36/3) : (24/3) = 12 : 8

36 : 24 = (36/12) : (24/12) = 3 : 2

Jadi, bentuk rasio 36 : 24, 12 : 8, dan 3 : 2 merupakan rasio yang ekuivalen.

 

Banyaknya rasio ekuivalen itu tak terbatas dari rasio apa pun. Rasio ekuivalen dapat ditemukan dengan mengalikan/membagi anteseden dan konsekuen dengan bilangan bulat positif.

 

Tabel Rasio

Tabel rasio adalah daftar yang memuat rasio ekuivalen dari rasio apa pun secara terstruktur. Tabel rasio berikut memberikan hubungan antara rasio 1:4 dan empat rasio ekuivalennya. Rasio ekuivalen tersebut saling terkait dengan perkalian suatu angka. Rasio ekuivalen diperoleh dengan mengalikan atau membagi dua suku rasio dengan angka yang sama.

Pada contoh yang ditunjukkan pada gambar, mari kita ambil rasio 1 : 4 dan cari empat rasio ekuivalen, dengan mengalikan kedua suku rasio tersebut dengan 2, 3, 6, dan 9. Hasilnya, kita peroleh 2 : 8, 3 : 12, 6 : 24, dan 9 : 36.

 

 Demikian yang dapat kami sampaikan tentang Rasio atau perbandingan.

Semoga bermanfaat.

 

PENGENALAN BILANGAN CACAH

 Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah sekumpulan angka yang mencakup semua bilangan asli dan 0 atau (0, 1, 2, 3, 4, …). Bilangan cacah merupakan bagian dari bilangan riil yang tidak mencakup pecahan, desimal, atau bilangan negatif. Mari kita pelajari segala hal tentang bilangan cacah, definisi bilangan cacah, beserta contoh bilangan cacah dalam artikel ini.

 

Apa itu Bilangan Cacah?

Bilangan asli beserta nol (0) disebut sebagai bilangan cacah. Kita tahu bahwa bilangan asli merujuk pada sekumpulan bilangan cacah yang dimulai dari 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Dengan kata sederhana, bilangan cacah adalah sekumpulan angka tanpa pecahan, desimal, atau bahkan bilangan cacah negatif. Bilangan cacah merupakan kumpulan bilangan cacah positif dan nol. Atau dapat dikatakan bahwa bilangan cacah adalah sekumpulan bilangan cacah non-negatif. Perbedaan utama antara bilangan asli dan bilangan cacah adalah keberadaan nol dalam sekumpulan bilangan cacah.

 

Definisi Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari 0 dan terus berlanjut hingga tak terhingga. Misalnya, 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

 

Kumpulan Bilangan Cacah

Kumpulan bilangan cacah mencakup kumpulan bilangan asli beserta angka 0. Kumpulan bilangan cacah dalam matematika diberikan sebagai {0, 1, 2, 3, ...} yang dilambangkan dengan simbol C.

 

C = {0, 1, 2, 3, 4, …}

 

Berikut ini beberapa fakta tentang bilangan cacah, yang akan membantu Anda memahaminya dengan lebih baik:

 

Semua bilangan asli adalah bilangan cacah.

Semua bilangan hitung adalah bilangan cacah.

Semua bilangan bulat positif termasuk nol adalah bilangan cacah.

Semua bilangan cacah adalah bilangan riil.

Setiap bilangan cacah adalah bilangan rasional.

 

Simbol Bilangan Cacah

Simbol yang digunakan untuk mewakili bilangan cacah adalah huruf ‘C’ dalam huruf kapital, C = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

 

Bilangan Cacah Terkecil

0 adalah bilangan cacah terkecil karena bilangan cacah dimulai dari 0 (dari definisi bilangan cacah). Nol adalah bilangan yang terletak di antara bilangan positif dan negatif pada garis bilangan. Meskipun nol tidak memiliki nilai, ia digunakan sebagai pengganti. Jadi, nol bukanlah bilangan positif maupun bilangan negatif.

 

Daftar Bilangan Cacah

Daftar bilangan cacah dimulai dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya hingga tak terhingga.

 

Bilangan Asli dan Bilangan Cacah

Dari definisi di atas, kita dapat memahami bahwa setiap bilangan cacah selain 0 adalah bilangan asli. Selain itu, setiap bilangan asli adalah bilangan cacah. Jadi, himpunan bilangan asli adalah bagian dari himpunan bilangan cacah atau bagian dari bilangan cacah.

 

Perbedaan Antara Bilangan Cacah dan Bilangan Asli

Mari kita pahami perbedaan antara bilangan cacah dan bilangan asli dengan bantuan tabel yang diberikan di bawah ini:

 

Bilangan Cacah

Kumpulan bilangan cacah adalah, C = {0,1,2,3,...}.

Bilangan cacah terkecil adalah 0

Setiap bilangan asli adalah bilangan cacah.

 

Bilangan Asli

Kumpulan bilangan asli adalah, N = {1,2,3,...}.

Bilangan asli terkecil adalah 1.

Setiap bilangan cacah adalah bilangan asli, kecuali 0.

 

Kumpulan bilangan asli dan kumpulan bilangan cacah dapat ditunjukkan pada garis bilangan seperti yang diberikan di bawah ini. Semua bilangan cacah positif atau bilangan cacah di sisi kanan 0 mewakili bilangan asli, sedangkan semua bilangan cacah positif bersama dengan nol, secara keseluruhan mewakili bilangan cacah. Kedua kumpulan bilangan tersebut dapat direpresentasikan pada garis bilangan sebagai berikut:

  

Sifat-sifat Bilangan Cacah

Operasi dasar pada bilangan cacah: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, menghasilkan empat sifat utama bilangan cacah yang tercantum di bawah ini:

 

Sifat Tertutup

Sifat Asosiatif

Sifat Komutatif

Sifat Distributif

 

Sifat Tertutup

Jumlah dan hasil kali dua bilangan cacah selalu merupakan bilangan cacah. Misalnya:

7 + 3 = 10 (bilangan cacah),

7 × 2 = 14 (bilangan cacah).

25 + 31 = 56 (bilangan cacah),

11 × 23 = 253 (bilangan cacah).

 

Sifat Asosiatif

Jumlah atau hasil kali tiga bilangan cacah apa pun tetap sama meskipun pengelompokan bilangan tersebut diubah. Misalnya, ketika kita menjumlahkan angka-angka berikut, kita akan memperoleh hasil penjumlahan yang sama.

Misalnya:

10 + (7 + 12) = (10 + 7) + 12 = 29

21 + (6 + 34) = (21 + 6) + 34 = 61

34 + (26 + 17) = (34 + 26) + 17 = 77

 

 

Demikian pula, ketika kita mengalikan angka-angka berikut, kita akan memperoleh hasil perkalian yang sama, tidak peduli bagaimana angka-angka tersebut dikelompokkan.

Misalnya:

3 × (2 × 4) = (3 × 2) × 4 = 24

25 × (8 × 13) = (25 × 8) × 13 = 260

20 × (15 × 17) = (20 × 15) × 17 = 510

 

 

Sifat Komutatif

Jumlah dan hasil penjumlahan dua bilangan cacah tetap sama meskipun urutan angka-angka tersebut dipertukarkan. Sifat ini menyatakan bahwa perubahan urutan penjumlahan tidak mengubah nilai penjumlahan. Misalkan 'a' dan 'b' adalah dua bilangan cacah. Berdasarkan sifat komutatif, maka a + b = b + a.

Misalnya,

10 + 19 = 19 + 10 = 29

23 + 48 = 48 + 23 = 71

59 + 21 = 21 + 59 = 80

 

Sifat ini juga berlaku untuk perkalian, tetapi tidak untuk pengurangan dan pembagian.

Misalnya:

7 × 9 = 9 × 7 = 63

13 × 10 = 10 × 13 = 130

24 × 15 = 15 × 24 = 360

 

Identitas Penjumlahan

Jika bilangan cacah ditambahkan ke 0, nilainya tetap tidak berubah, yaitu, jika a adalah bilangan cacah maka a + 0 = 0 + a = a.

Misalnya:

3 + 0 = 0 + 3 = 3

14 + 0 = 0 + 14 = 14

35 + 0 = 0 + 35 = 35

 

Identitas Perkalian

Jika bilangan cacah dikalikan dengan 1, nilainya tetap tidak berubah, yaitu, jika a adalah bilangan cacah maka a × 1 = a = 1 × a.

Misalnya:

4 × 1 = 1 × 4 = 4

35 × 1 = 1 × 35 = 35

47 × 1 = 1 × 47 = 47

 

 

 

Sifat Distributif

Sifat ini menyatakan bahwa perkalian bilangan cacah didistribusikan ke jumlah atau selisih bilangan cacah. Artinya, ketika dua angka, misalnya, a dan b dikalikan dengan angka yang sama c, lalu dijumlahkan, maka jumlah a dan b dapat dikalikan dengan c untuk mendapatkan jawaban yang sama.

Sifat ini dapat direpresentasikan sebagai:

Distributif terhadap Penjumlahan : a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Misalkan a = 10, b = 20, dan c = 7

⇒ 10 × (20 + 7) = 270, dan (10 × 20) + (10 × 7) = 200 + 70 = 270.

 

Sifat yang sama juga berlaku untuk pengurangan. Sifat ini direpresentasikan sebagai:

Distributif terhadap Pengurangan : a × (b − c) = (a × b) − (a × c).

Misalkan a = 10, b = 20, dan c = 7

⇒ 10 × (20 − 7) = 130, dan (10 × 20) − (10 × 7) = 200 − 70 = 130.

 

Perkalian dengan Nol

Jika bilangan cacah dikalikan dengan 0, hasilnya selalu 0, yaitu, a × 0 = 0 × a = 0.

Misalnya :

4 × 0 = 0

17 × 0 = 0

429 × 0 = 0

 

 

Pembagian dengan Nol

Pembagian bilangan cacah dengan 0 tidak didefinisikan, yaitu, jika a adalah bilangan cacah, maka a/0 tidak didefinisikan.

 

 

Hal-hal Penting yang Terkait dengan Bilangan Cacah

1. Bilangan 0 (nol) adalah bilangan cacah, bukan bilangan asli.

2. Lima bilangan cacah pertama adalah 0, 1, 2, 3, 4.

3. Bilangan cacah terkecil adalah 0.

4. Bilangan cacah tidak termasuk bilangan negatif, pecahan, dan desimal.

 

Demikian yang dapat kami sampaikan tentang bilangan cacah dan semoga bermanfaat.