Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah proses menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi. Fungsi mewakili sejumlah pekerjaan. Mari kita ambil contoh pembuatan roti. Misalkan x adalah tepung, pengolah makanan melakukan fungsi menyiapkan adonan menggunakan tepung (dan misalkan fungsi ini adalah g(x)) dan misalkan oven melakukan fungsi membuat roti (dan misalkan fungsi ini adalah f(x)). Untuk menyiapkan roti, keluaran g(x) harus ditempatkan dalam fungsi f(x) (yaitu, adonan yang disiapkan harus ditempatkan dalam oven). Hasilnya dilambangkan dengan f(g(x)) dan merupakan komposisi fungsi f(x) dan g(x).

Mari kita lihat apa itu komposisi fungsi dalam matematika beserta cara menghitungnya. Selain itu, kita juga akan belajar cara menentukan/menemukan domain dan range (range-nya).

Apa itu Komposisi Fungsi?

Komposisi fungsi f(x) dan g(x) di mana g(x) bertindak lebih dulu direpresentasikan oleh f(g(x)) atau (f ∘ g)(x). Menggabungkan dua fungsi atau lebih untuk menghasilkan fungsi lain. Dalam komposisi fungsi, keluaran dari satu fungsi yang berada di dalam tanda kurung menjadi masukan dari fungsi luar.

Yaitu:

Dalam f(g(x)), g(x) adalah masukan dari f(x).

Dalam g(f(x)), f(x) adalah masukan dari g(x).

Untuk menemukan f(g(x)) (yang dibaca sebagai "fungsi dari g(x)), kita harus menemukan g(x) terlebih dahulu, lalu kita mengganti hasilnya dalam f(x).

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Diketahui f(x) = 2x + 3 dan g(x) = 4x - 5.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 2x + 3, g(x) = 4x - 5.

f(g(x)) = 2g(x) + 2

= 2(4x - 5) + 3

= 8x - 10 + 3

= 8x - 7

Jadi, f(g(x)) = 8x - 7

g(f(x)) = 4f(x) - 5

= 4(2x + 3) - 5

= 8x + 12 - 5

= 8x + 7

Jadi, g(f(x)) = 8x + 7

2. Diketahui f(x) = 5x - 1 dan g(x) = 2x + 7.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 5x - 1, g(x) = 2x + 7

f(g(x)) = 5g(x) - 1

= 5(2x + 7) - 1

= 10x + 35 - 1

= 10x + 34

Jadi, f(g(x)) = 10x + 34

g(f(x)) = 2f(x) + 7

= 2(5x - 1) + 7

= 10x - 2 + 7

= 10x + 5

Jadi, g(f(x)) = 10x + 5

3. Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² - 3x + 4.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 2x + 1, g(x) = x² - 3x + 4

f(g(x)) = 2g(x) + 1

= 2(x² - 3x + 4) + 1

= 2x² - 6x + 8 + 1

= 2x² - 6x + 9

Jadi, f(g(x)) = 2x² - 6x + 9

g(f(x)) = (f(x))² - 3f(x) + 4

= (2x + 1)² - 3(2x + 1) + 4

= 4x² + 4x + 1 - 6x - 3 + 4

= 4x² + 4x - 6x + 1 - 3 + 4

= 4x² - 2x + 2

Jadi, g(f(x)) = 4x² - 2x + 2

4. Diketahui f(x) = 2x² - x + 5 dan g(x) = 3x + 1.

Tentukan f(g(x)) dan g(f(x))

Jawaban:

f(x) = 2x² - x + 5, g(x) = 3x + 1

f(g(x)) = 2(g(x))² - g(x) + 5

= 2(3x + 1)² - (3x + 1) + 5

= 2(9x² + 6x + 1) - (3x + 1) + 5

= 18x² + 12x + 2 - 3x - 1 + 5

= 18x² + 12x - 3x + 2 - 1 + 5

= 18x² + 9x + 6

Jadi, f(g(x)) = 18x² + 9x + 6

g(f(x)) = 3f(x) + 1

= 3(2x² - x + 5) + 1

= 6x² - 3x + 15 + 1

= 6x² - 3x + 16

Jadi, g(f(x)) = 6x² - 3x + 16.

Simbol Komposisi Fungsi

Simbol komposisi fungsi adalah ∘. Itu juga dapat ditunjukkan tanpa menggunakan simbol ini tetapi dengan menggunakan tanda kurung.

Yaitu,

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) dan dibaca sebagai "f dari g(x)".

Di sini, g adalah fungsi dalam dan f adalah fungsi luar.

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) dan dibaca sebagai "g dari f(x)".

Di sini, f adalah fungsi dalam dan g adalah fungsi luar.

Bagaimana Menyelesaikan Fungsi Komposisi?

Kita selalu menyederhanakan apa pun yang ada di dalam tanda kurung terlebih dahulu. Jadi, untuk menemukan f(g(x)), pertama-tama g(x) harus dihitung dan harus disubstitusikan ke dalam f(x). Dengan cara yang sama, untuk menemukan g(f(x)), pertama-tama f(x) harus dihitung dan harus disubstitusikan ke dalam g(x).

Saat menemukan fungsi komposisi, urutan sangat penting. Artinya f(g(x)) mungkin TIDAK sama dengan g(f(x)).

Misalkan terdapat dua fungsi f(x) dan g(x), maka untuk menemukan nilai fungsi komposisi f(g(a)) menggunakan langkah-langkah berikut:

(1) Temukan g(a) dengan mensubstitusikan x = a ke dalam g(x).

(2) Temukan f(g(a)) dengan mensubstitusikan x = g(a) ke dalam f(x).

Kita dapat memahami langkah-langkah ini menggunakan contoh di bawah ini.

1. Diketahui f(x) = x² - 2x dan g(x) = x - 3.

Tentukan nilai dari f(g(5)) dan g(f(3))

Jawaban:

f(x) = x² - 2x, g(x) = x - 3

Menentukan f(g(5)).

Langkah pertama menentukan g(5)

g(5) = 5 - 3 = 2

sehingga:

f(g(5)) = f(2)

= 2² - 2(2)

= 4 - 4

= 0

Jadi, nilai f(g(5)) = 0.

Menentukan g(f(3))

Langkah pertama menentukan nilai f(3)

f(3) = 3² - 2(3)

= 9 - 6

= 3

sehingga

g(f(3)) = g(3)

= 3 - 3

= 0

Jadi, nilai dari g(f(3)) = 0.

2. Diketahui f(x) = x² - 4x + 1 dan g(x) = 5x - 4.

Tentukan nilai dari f(g(2)) dan g(f(3))

Jawaban:

f(x) = x² - 4x + 1, g(x) = 5x - 4

Menentukan f(g(2)).

Langkah pertama menentukan g(2)

g(5) = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6

sehingga:

f(g(2)) = f(6)

= 6² - 4(6) + 1

= 36 - 24 + 1

= 13

Jadi, nilai f(g(2)) = 13.

Menentukan g(f(3))

Langkah pertama menentukan nilai f(3)

f(3) = 3² - 4(3) + 1

= 9 - 12 + 1

= -2

sehingga

g(f(3)) = g(-2)

= 5(-2) - 4

= -10 - 4

= -14

Jadi, nilai dari g(f(3)) = -14.

Domain Fungsi Komposisi

Secara umum, jika g : X → Y dan f : Y → Z maka f ∘ g : X → Z.

Yaitu, domain dari f ∘ g adalah X dan range-nya adalah Z. Namun, ketika fungsi-fungsi tersebut didefinisikan secara aljabar, berikut adalah langkah-langkah untuk mencari domain dari fungsi komposisi f(g(x)).

Temukan domain fungsi dalam g(x) (Misalkan A)

Temukan domain fungsi yang diperoleh dengan mencari f(g(x)) (Misalkan B)

Temukan irisan A dan B dan A ∩ B memberikan domain f(g(x))

Contoh:

Temukan domain f(g(x)) jika f(x) = 1/(x + 2) dan g(x) = 4/(x + 3).

Solusi:

Domain dari fungsi f(x) = 1/(x + 2) adalah A = {x | x ≠ -2}

Domain dari fungsi g(x) = 4/(x + 3) adalah A = {x | x ≠ -3}

Sekarang kita akan domain f(g(x)).

Domain dari f(g(x)) adalah irisan dari himpunan A dan himpunan B.

D = {x | x ≠ -2 Ù x ≠ -3 }

Jadi, domain f(g(x)) adala { x | x ≠ -2 Ù x ≠ -3 }.

Range Fungsi Komposisi

Range fungsi komposisi dihitung seperti range fungsi lainnya. Range ini tidak bergantung pada fungsi dalam atau luar. Mari kita hitung range f(g(x)) yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Misalnya kita memperoleh f(g(x)) = (x+3)/(2x+7).

Asumsikan bahwa y = (x+3)/(2x+7)

Bentuk ini adalah fungsi rasional.

Oleh karena itu, kita memecahkannya untuk x dan menetapkan penyebut tidak sama dengan nol untuk menemukan rangenya.

y = (x+3)/(2x+7)

(2x + 7) y = x + 3

2xy + 7y = x + 3

2xy - x = 3 - 7y

x(2y - 1) = 3 - 7y

x = (3 - 7y) / (2y - 1)

Untuk range, 2y - 1 ≠ 0 yang menghasilkan y ≠ 1/2.

Oleh karena itu, range = {y | y ≠ 1/2}.