Suku Ke-n Barisan Aritmetika

Menentukan Suku Ke-n Barisan Aritmetika

yang Diketahui Nilai Dua Suku

 

Pada kesempatan kali ini akan kami sampaikan artikel/pembahasan cara menentukan suku ke-n barisan aritmetika yang diketahui dua suku ke-n. Nah bagaimana  caranya, simak pembahasan ini sampai selesai.

Perlu diingat bahwa rumus suku ke-n barisan aritmetika:

Un = a + (n – 1)b

dengan :

Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda atau selisih

 

Perhatikan beberapa contoh soal berikut.

1.  Diketahui suku pertama dan suku ke-5 barisan aritmetika adalah 3 dan 19. Tentukan suku ke-11.

Jawaban:

Diketahui : a = 3 dan U₅ = 19

U₅ = 19, maka a + (5 – 1)b = 19

                              3 + 4b = 19

                                    4b = 19 – 3

                                    4b = 16

                                       b = 4

Menentukan suku ke-11

U₁₁ = a + (11 – 1)b

      = 3 + 10 (4)

      = 3 + 40

     = 43

Jadi, suku ke-11 adalah 43.

 

2.  Diketahui suku-4 dan suku ke-9 barisan aritmetika berturut-turut 26 dan 56. Tentukan suku ke-16.

Jawaban:

Diketahui : U₄ = 26 dan U₉ = 56

U₄ = 26 maka a + (4 – 1)b = 26  atau  a + 3b = 26   (1)

U₉ = 56 maka a + (9 – 1)b = 56  atau  a + 8b = 56   (2)

Menentukan nilai a dan b menggunakan persamaan (1) dan (2) dengan cara eliminasi

a + 3b = 26  

a + 8b = 56  -

     -5b = -30,   maka b = 6

 

Menentukan nilai a dengan mensubstitusikan b = 6 ke salah satu persamaan.

a + 3b = 36 Þ a + 3(6) = 26

                        a + 18 = 26

                                a = 26 – 18

                                a = 8

Menentukan suku ke-16

U₁₆ = a + (16 – 1)b

      = 8 + 15 (6)

      = 8 + 90

     = 98

Jadi, suku ke-16 adalah 98.

  

3.  Diketahui suku-9 dan suku ke-13 barisan aritmetika berturut-turut 65 dan 93. Tentukan suku ke-5.

Jawaban:

Diketahui : U₉ = 65 dan U₁₃ = 93

U₉ = 65 maka a + (9 – 1)b = 65  atau  a + 8b = 65 (1)

U₁₃ = 93 maka a + (13 – 1)b = 93  atau  a + 13b = 93   (2)

Menentukan nilai a dan b menggunakan persamaan (1) dan (2) dengan cara eliminasi

a + 12b = 93  

a + 8b  = 65  -

       4b = 28,   maka b = 7

 

Menentukan nilai a dengan mensubstitusikan b = 7 ke salah satu persamaan.

a + 8b = 65 Þ a + 8(7) = 65

                        a + 56 = 65

                               a = 65 – 56

                               a = 9

Menentukan suku ke-5

U₅ = a + (5 – 1)b

      = 9 + 4 (7)

      = 9 + 28

     = 37

Jadi, suku ke-5 adalah 37.

 

Demikian beberapa contoh soal tentang barisan aritmetika, semoga bermanfaat.

 

 

Bimbingan Belajar dan Les Privat Matematika Di Klaten

Bimbingan Belajar dan Les Privat Matematika Terbaik dan Terpercaya

SD, SMP, SMA di Klaten

 

Sekarang banyak bimbingan belajar di klaten. Misalnya ada bimbingan belajar yang terkenal dan besar antara lain Ganesha Operation (GO), Neutron, Ruang Guru, dan bimbingan belajar lainnya.  Salah satunya adalah bimbingan belajar dan les Privat Matematika. Bimbingan belajar dan les privat Matematika yaitu IMATH Solution. Bimbel IMATH Solution merupakan bimbingan belajar khusus mengajarkan Matematika. Bimbel ini memberikan layanan kepada siswa guru datang ke rumah. Jadi, siswa tidak perlu ke luar rumah untuk belajar. Dengan demikian siswa hemat waktu dan tenaga.

Simak Sekilas dari IMATH Solution ini

IMATH Solution merupakan bimbingan belajar dan les privat Matematika yang sudah beberapa tahun yang lalu. IMATH Solution melayani bimbingan  dan les privat Matematika di berbagai jenjang, seperti SD/MI, SMP/MTs, SMA/MA, SMK/MAK, dan sederajat. Siswa bisa ikut les privat atau dengan berkelompok. IMATH Solution memberikan layanan bimbingan belajar atau les privat Matematika untuk persiapan Ulangan dan Ujian.

 

Biaya Les Privat (Guru bisa datang kerumah)

Jenjang	Biaya
SD (4, 5, 6)	Rp 40.000,00 / sesi (75 mnt)
SMP/MTs	Rp 50.000,00 / sesi (75 mnt)
SMA/MA	Rp 60.000,00 / sesi (75 mnt)
SMK/MAK	Rp 60.000,00 / sesi (75 mnt)

 

Waktu Bimbingan dan Les Privat

Hari Senin – Sabtu

Sesi I : Pukul 16.30

Sesi II : Pukul 19.00

 

Bimbel Imath Solution

Alamat:

Morangan RT 02/RW 02 Karanganom

Klaten Utara – Klaten

Jawa Tengah

 

  

=============================================

Tag:

les privat bahasa inggris di solo,les privat fisika di Klaten,kursus bahasa inggris di kartasura tempat les privat di Klaten,les privat matematika di sragen,les privat kimia Klaten,les privat matematika di klaten,les privat sma di Klaten,les privat matematika di Klaten,les privat matematika di Klaten,les privat bahasa inggris di klaten,les privat,guru les privat di Klaten,les privat di Klaten,guru les privat semua mata pelajaran di Klaten, privat matematika klaten, 

Turunan Fungsi Trigonometri_ (Dasar)

 

Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan),  kosekan (cosec), sekan (sec), dan kotangen (cot), dan fungsi trigonometri lainnya.

 

Sebenarnya turunan Trigonometri itu mudah? Asalkan dasarnya dikuasai dahulu. Apa sih turunan fungsi trigonometri itu? Dan gimana sih cara menyelesaikan turunan fungsi trigonometri?

 

Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya.

 

Misalkan turunan f(x) ditulis f’(a) yang artinya tingkat perubahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x, dan tan x.

 

Sebenarnya turunan fungsi dan limit fungsi memiliki keterkaitan konsep. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit.

 

Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut

 

1. Turunan y = sin x adalah y' = cos x

2. Turunan y = cos x adalah y' = -sin x

3. Turunan y = sin ax adalah y' = a cos ax

4. Turunan y = cos ax adalah y' = a sin ax

5. Turunan y = tan x adalah y' = sec² x

6. Turunan y = cotan x adalah y' = -cosec² x

7. Turunan y = tan ax adalah y' = a sec² ax

8. Turunan y = cotan ax adalah y' = -a cosec² ax

9. Turunan y = sec x adalah y' = sec x tan x

10. Turunan y = cosec x adalah y' = -cosec x cotan x

11. Turunan y = sec ax adalah y' = a sec ax tan ax

12. Turunan y = cosec ax adalah y' = -a cosec ax cotan ax

 

Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi:

 

1. Turunan y = sin u adalah y' = cos u × u'

2. Turunan y = cos u dalah y' = -sin u × u'

3. Turunan y = tan u adalah y' = sec² u × u'

4. Turunan y = cotan u adalah = -cosec² u × u'

5. Turunan y = sec u adalah y' = sec u tan u × u'

6. Turunan y = cosec u adalah y' = -cosec u cotan u × u'

 

Jika diperluas lagi bentuknya,maka turunan fungsi trigonometri dapat dirumuskan lagi sebagai berikut.

1. Turunan y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b)

2. Turunan y = cos (ax + b) dalah y' = -a sin (ax + b)

3. Turunan y = tan (ax + b) adalah y' = a sec² (ax + b)

4. Turunan y = cotan (ax + b) adalah = -a cosec² (ax + b)

5. Turunan y = sec (ax + b) adalah y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)

6. Turunan y = cosec (ax + b) adalah y' = -a cosec (ax + b) cotan (ax + b)

 

Agar lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.

1.  y =  sin (4x – 3)

2. y = cos (6x + 1)

3. y = tan (2 – 9x)

4. y = 2 sin (x² – 7x)

5. y = sec (3x² + 5x)

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2)

Jawaban:

1.  y =  sin (4x – 3),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = 4x – 3 ,maka u' = 4

     y'  = cos u × u'

         = cos (4x – 3) × 4

         = 4 cos (4x – 3)

 

2. y = cos (6x + 1),    dapat ditulis y = cos u

     Misal u = 6x + 1 ,maka u' = 6

     y'  = -sin u × u'

         = -sin (6x + 1) × 6

         = -6 sin (6x + 1)

 

3. y = tan (2 – 9x),    dapat ditulis y = tan u

     Misal u = 2 – 9x ,maka u' = -9

     y'  = sec² u × u'

         = sec² (2 – 9x) × (-9)

         = -9 sec² (2 – 9x)

 

4. y = 2 sin (x² – 7x),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = x² – 7x, maka u' = 2x – 7

     y'  = cos u × u'

         = cos (x² – 7x) × (2x – 7)

         = (2x – 7) cos (x² – 7x)

 

5. y = sec (3x² + 5x) dapat ditulis y = sec u

     Misal u = 3x² + 5x, maka u' = 6x + 5

     y'  = y' = sec u tan u × u'

         = sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x) × (6x + 5)

         = (6x + 5) sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x)

 

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2),    dapat ditulis y = cotan u

     Misal u = 4x² – x + 2,maka u' = 8x – 1

     y'  = -cosec² u × u'

         = -cosec² (4x² – x + 2) × (8x – 1)

         = -(8x – 1) cosec² (4x² – x + 2)

 

Demikian sekilas materi tentang turunan fungsi trigonometri.

Semoga Bermanfaat.

 

Cara Menentukan Panjang Lintasan Bola (Deret Geometri Tak Hingga)

 Hai Sahabat Imath, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar Matematika, ya!

 

Raihan menjatuhkan bola tenis dari atas meja setinggi 12 m. Jelas bahwa bola tenis akan memantul sampai akhirnya berhenti. Pantulan bola pertama pasti lebih tinggi dari pantulan kedua, pantulan kedua lebih tinggi dari pantulan ketiga, dan seterusnya.

 

Setelah diamati, ternyata setiap kali bola memantul, tingginya menjadi 3/4 kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Raihan semakin penasaran, kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Apakah kamu ingin membantu Raihan? Bagaimana caranya? Ternyata, Raihan bisa menghitung panjang lintasan bola menggunakan deret geometri tak hingga, lho.

 

Secara umum, deret geometri dibagi menjadi dua jenis, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan divergen.

 

1. Deret geometri tak hingga konvergen

Konvergen artinya memusat atau tidak menyebar. Deret geometri tak hingga yang konvergen berarti deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat deret geometri tak hingga jenis ini adalah rasio berada di antara -1 dan 1, yaitu -1 < r < 1 atau |r| < 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

2. Deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar. Deret geometri tak hingga yang divergen berarti deret geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga yang divergen adalah r < -1 atau r > 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

Untuk melihat cara pembahasannya, lihat video tutorial berikut.

Semoga Bermanfaat.

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

 Sebuah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya sama dengan 2 (dua) sering disebut dengan persamaan kuadrat. Nilai-nilai yang dapat memenuhi persamaan kuadrat disebut akar – akar persamaan kuadrat.

 

Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat ada 2 (dua) atau 1 (satu), tergantung jenis persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat yang memiliki banyak akar-akar persamaan sama dengan 2 (dua) akan menyinggung sumbu x di dua titik. Untuk persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu akar persamaan kuadrat, grafik persamaan kuadrat akan menyinggung sumbu x (memotong sumbu x pada satu titik).

 

Cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat meliputi metode pemfaktoran bentuk aljabar, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc.

Pembahasan dalam persamaan kuadrat, sering mengulas jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini, nantinya dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru dengan nilai akar-akar yang mengalami perubahan nilai.

 

Rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memanfaatkan rumus abc.

Bentuk umum persamaan kuadrat biasanya dinyatakan melalui persamaan ax² + bx + c = 0. Persamaan tersebut memiliki dua akar-akar yang memenuhi persamaan. Melalui bentuk umum persamaan kuadrat, dapat diperoleh nilai akar-akar dalam bentuk umum. Berikut ini adalah nilai x₁ dan x₂ yang memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat.

Rumus Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara untuk menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat hampir sama dengan cara mencari jumlah akar-akarnya. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 sebagai berikut.

Agar lebih jelas, perhatikan dua contoh berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak video ini.

Semoga Bermanfaat.

Tag:

Rumus jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan Kuadrat

Menenutkan jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan Kuadrat

Soal jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan Kuadrat

Tentukan jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan Kuadrat

Hasil jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan Kuadrat

Pakailah rumus jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan Kuadrat

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC

 Rumus ABC merupakan cara yang unggul karena dapat digunakan untuk menemukan akar-akar dari berbagai bentuk persamaan kuadrat walaupun hasilnya tidak sebagai bilangan bulat.

            Rumus abc adalah salah satu rumus yang digunakan digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Berikut merupakan bentuk umum dari rumus ini.

Jika ada persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0, akar-akar persamaan dapat dicari dengan rumus:

Huruf-huruf a, b, dan c dalam rumus abc disebut sebagai koefisien. Koefisien kuadrat x² adalah a, koefisien x adalah b, dan c adalah koefisien konstan, biasanya disebut sebagai konstanta atau suku bebas.

            Persamaan kuadrat pada dasarnya merupakan persamaan matematika yang membentuk geometri lengkung parabola dalam kuadran xy.

 

Nilai koefisien dalam rumus abc mempunyai beberapa arti sebagai berikut:

a)   Menentukan cekung/cembungnya prabola yang dibentuk oleh persamaan kuadrat. Jika nilai a > 0 maka parabola akan terbuka ke atas. Namun, jika a < 0 maka parabola akan terbuka ke bawah.

b)   Menentukan posisi x puncak parabol, atau usmbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepat sumbu simetri adalah -b/2a dari persamaan kuadrat.

c)    Menentukan titik potong fungsi persamaan kuadrat parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat nilai x = 0.

 

            Berikut beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta pembahasannya dengan penyelesaian menggunakan rumus ABC.

 1.  Tentukan akar-akar dari x² + 6x – 3 = 0

     Jawaban:

Pada persamaan x² + 6x – 3 = 0 diperoleh a = 1, b = 6, daan c = -3.

Sehingga:

2.  Tentukan akar-akar dari 2x² – 4x – 1 = 0

     Jawaban:

Pada persamaan 2x² – 4x – 1 = 0 diperoleh a = 2, b = –4, daan c = –1.

Sehingga:

Agar kalian lebih jelas,kalian dapat melihat contoh soal lainnya dengan melihat video berikut.

Semoga Bermanfaat.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Cara Penyelesaiannya

 

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel.

Bentuk sistem persamaan linear tiga variabel seperti berikut.

a₁x + a₂y + a₃z = a₄

b₁x + b₂y + b₃z = b₄

c₁x + c₂y + c₃z = c₄

 

a₁, a₂, a₃, a₄, b₁, b₂, b₃, b₄, c₁, c₂, c₃, c₄ suatu bilangan

x, y, dan z suatu variabel

 

 Sama halnya pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan tiga cara atau metode, yakni metode substitusi, metode eliminasi, dan gabungan metode eliminasi substitusi. Sebetulnya ada cara lain untuk menyelesaikan SPLTV,yakni menggunakan metode Matriks. Untuk cara ini, kalian harus mempelajari matriks terlebih dahulu.

 

Pada artikel ini akan kita pelajari cara menyelesaikan SPLTV dengan cara eliminasi-substitusi. Nah, bagaimana langkah-langkah menyelesaiakannya? Perhatikan contoh soal berikut ini.

 

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem berikut.

2x – 5y + 3z = -10    ...(1)

3x + 4y + 7z = -11    ...(2)

5x + 3y + 7z = -8      ...(3)

 

Jawaban:

Perhatikan bahwa pada sistem tersebut ada suku yang sama yaitu 7z.

maka langkah mudah untuk mengeliminasi adalah variabel z dahulu.

Eliminasi z pada persamaan (1) dan (2)

2x – 5y + 3z = -10      ×7    14x – 35y + 21z = -70

3x + 4y + 7z = -11      ×3      9x + 12y + 21z = -33   -

                                                        5x - 47y = -37   ...(4)       

 

Selanjutnya, eliminasi z pada persamaan (2) dan (3)

3x + 4y + 7z = -11

5x + 3y + 7z = -8   -

         -2x + y = -3    ... (5)

 

Langkah selanjutnya, eliminasi x pada persamaan (4) dan (5)

5x - 47y = -37    ×2     10x - 94y = -74

-2x + y = -3        ×5     -10x + 5y = -15  +

                                            -89y = -89

                                                  y = 1

 

Substitusikan y = 1 ke persamaan (5).

-2x + y = -3   Þ -2x + 1 = -3

                               -2x  = -4

                                  x  = 2

 

 

Substitusikan y = 1, x = 2, ke persamaan (1).

2x – 5y + 3z = -10

2(2) – 5(1) + 3z = -10

         4 – 5 + 3z = -10

               3z – 1 = -10

                     3z = -9

                       z = -3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1,2, -3}.

 

Untuk lebih jelasnya, Anda bisa melihat langkah-langkah di video di bawah ini.