Menentukan Jenis Akar-Akar Berdasarkan Nilai Diskriminan

Dalam kesempatan ini kita akan belajar yang berkaitan dengan jenis akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yang berkaitan dengan nilai diskriminan (D = b²- 4ac). Dengan nilai diskriminan tersebut maka jenis akar-akar persamaan kuadrat dapat diketahui nilainya.

Jika D = 0, maka akar-akarnya real dan kembar.

Jika D > 0, maka akar-akarnya real.

Jika D < 0, makaakar-akarnya tidak real (imaginer).

Selain itu kita akan membahas nilai koefisien dan konstanta pada persamaan yang belum diketahui dengan melihat nilai akar-akarnya.

Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1

Tentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat  berikut.

1.    x² - 7x - 4 = 0

2.    x² + 9x + 4 = 0

3.    x² - 8x + 16 = 0

4.    x² + 6x - 3 = 0

5.   2x² + 7x - 5 = 0

6.   2x² + 4x + 3 = 0

7.   3x² - 5x + 2 = 0

Jawaban:

Mari menyelediki dengan menentukan nilai diskriminan (D) dari setiap persamaan di atas.

1.    x² - 7x - 4 = 0

Diperoleh : a = 1, b = -7, c = -4

D = b² – 4ac

   = (-7)² – 4.1.(-4)

   = 49 + 16

   = 65

Oleh karena nilai D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar real atau dua akar real berlainan.

2.    x² + 7x + 16 = 0

Diperoleh : a = 1, b = 7, c = 16

D = b² – 4ac

   = 7² – 4.1.16

   = 49 - 64

   = -15

Oleh karena nilai D < 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar tidajk real atau memiliki akar imajiner.

3.    x² - 8x + 16 = 0

Diperoleh : a = 1, b = -8, c = 16

D = b² – 4ac

   = (-8)² – 4.1.16

   = 64 - 64

   = 0

Oleh karena nilai D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar akar  yang kembar.

4.    x² + 6x - 3 = 0

Diperoleh : a = 1, b = 6, c = -3

D = b² – 4ac

   = 6² – 4.1.(-3)

   = 36 + 12

   = 48

Oleh karena nilai D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar real atau dua akar real berlainan.

5.   2x² + 7x - 5 = 0

Diperoleh : a = 2, b = 7, c = -5

D = b² – 4ac

   = 7² – 4.2.(-5)

   = 49 + 40

   = 89

Oleh karena nilai D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar real atau dua akar real berlainan.

6.   2x² + 4x + 3 = 0

Diperoleh : a = 2, b = 4, c = 3

D = b² – 4ac

   = 4² – 4.2.3

   = 16 - 24

   = -8

Oleh karena nilai D < 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar tidajk real atau memiliki akar imajiner.

7.   3x² - 5x + 2 = 0

Diperoleh : a = 3, b = -5, c = 2

D = b² – 4ac

   = (-5)² – 4.3.2

   = 25 - 24

   = 1

Oleh karena nilai D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai akar real atau dua akar real berlainan.

Setelah mempelajari materi di atas, mari melanjutkan materi tentang penyelesaian persamaan kuadrat yang  melibatkan nilai diskriminan. Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan.

Semoga bermanfaat
 

Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru yang Diketahui Akar-Akar Lama

Dalam kesempatan ini kita akan melanjutkan cara menentukan persamaan kuadrat baru yang berasal dari persamaan kuadrat lama yang. Jika akar-akar persamaan kuadrat lama diketahui maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang baru dapat diketahui pula.

Misalnya:

1.       Diketahui akar-akar persamaan kuadrat lama adalah p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2p dan 2q.

2.       Diketahui akar-akar kuadrat lama adalah a dan b. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya a + 2 dan b + 2.

Bagaimana cara dan langkah-langkah menentukan persamaan kuadrat baru?

Ingat  pola penyusunan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah:

 x² – (p + q)x + pq = 0

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2m dan 2n adalah:

 x² – (2m + 2n)x + (2m)(2n) = 0

Dari bentuk persamaan kuadrat di atas, yang perlu diperhatikan adalah jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar.

Untuk penerapan contoh soalnya perhatikan uraian di bawah ini.

1. Diketahui persamaan kuadrat x² + 8x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar 3p dan 3q.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² + 8x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -8/1 = -8

p × q = c/a = 6/1 = 6

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (3p dan 3q).

Jumlah akar-akar = 3p + 3q = 3(p + q) = 3(-8) = -24

Hasil kali akar      = 3p × 3q = 9(pq) = 9(6) = 54

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar 3p dan 3q sebagai berikut.

x² – (3p + 3q)x + (3p)(3q) = 0

x² – (-24)x + 54 = 0

x² + 24x + 54 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² + 24x + 54 = 0.

2. Diketahui persamaan kuadrat x² + 4x - 7 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar p + 3 dan q + 3.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² + 4x - 7 = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -4/1 = -4

p × q = c/a = -7/1 = -7

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (p + 3 dan q + 3).

Jumlah akar-akar = (p + 3) + (q + 3) = (p + q) + 6 = -4 + 6 = 2

Hasil kali akar      = (p + 3)(q + 3) = pq + 3(p + q) + 9 = -7 + 3(-4) + 9 = -10

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar p + 3 dan q + 3 sebagai berikut.

x² – ((p + 3) + (q + 3))x + (p + 3)(q + 3) = 0

x² – 2x - 10 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 2x - 10  = 0.

3. Diketahui persamaan kuadrat x² - 6x - 4 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar 2p - 1 dan 2q - 1.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² - 6x - 4 = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -(-6)/1 = 6

p × q = c/a = -4/1 = -4

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (2p - 1 dan 2q - 1).

Jumlah akar-akar = (2p - 1) + (2q - 1) = 2(p + q) - 2 = 2(6) – 2 = 12 – 2 = 10

Hasil kali akar      = (2p - 1)(2q - 1) = 4pq - 2(p + q) + 1 = 4(-4) – 2(6) + 1 = -16 – 12 + 1 = -27

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar 2p - 1 dan 2q - 1 sebagai berikut.

x² – ((2p - 1) + (2q - 1))x + (2p - 1)(2q - 1) = 0

x² – 10x - 27 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 10x - 27 = 0.

4. Diketahui persamaan kuadrat x² - 12x + 5 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar p² + 2 dan q² + 2.

Jawaban:

Persamaan kuadrat x² - 12x + 5  = 0 memiliki akar-akar p dan q.

Berarti diperoleh hasil jumlah dan hasil kali akar-akar  sebagai berikut.

p + q = -b/a = -(-12)/1 = 12

p × q = c/a = 5/1 = 5

Selanjutnya menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru (p² + 2 dan q² + 2).

Jumlah akar-akar = (p² + 2) + (q² + 2) = 2(p² + q²) + 4

                                                        = 2((p+q)² – 2pq) + 4

                                                        = 2(12² – 2(5)) + 4

                                                        = 2(144 – 10) + 4

                                                        = 2(134) + 4 = 268 + 4 = 272

Hasil kali akar      = (p² + 2)(q² + 2)

                           = (pq)² + 2(p² + q²) + 4

                           = 5² + 272    (ingat di atas : 2(p² + q²) + 4 = 272)

                          = 25 + 272 = 297

Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar p² + 2 dan q² + 2 sebagai berikut.

x² – ((p² + 2) + (q² + 2))x + (p² + 2)(q² + 2) = 0

x² – 272 x + 297 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² – 272 x + 297 = 0.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan kuadrat baru yang memiliki akar-akar baru berdasarkan persamaan kuadrat lama.

Semoga bermanfaat.