FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT

 Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat digunakan dalam berbagai bidang teknik dan sains untuk memperoleh nilai parameter yang berbeda. Secara grafis, fungsi kuadrat direpresentasikan oleh parabola. Arah kurva ditentukan berdasarkan koefisien derajat tertinggi. Kata "Kuadrat" berasal dari kata "Quad" yang berarti kuadrat. Dengan kata lain, fungsi kuadrat adalah "fungsi polinomial derajat 2." Ada banyak skenario di mana fungsi kuadrat digunakan. Tahukah Anda bahwa ketika roket diluncurkan, lintasannya dijelaskan oleh fungsi kuadrat?

 Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia fungsi kuadrat dalam matematika. Anda akan mempelajari grafik fungsi kuadrat, rumus fungsi kuadrat, dan fakta menarik lainnya tentang topik tersebut. Kita juga akan memecahkan contoh berdasarkan konsep tersebut untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa itu Fungsi Kuadrat?

 Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan satu atau lebih variabel yang eksponen tertinggi variabelnya adalah dua. Karena suku derajat tertinggi dalam fungsi kuadrat adalah derajat kedua, maka fungsi tersebut juga disebut polinomial derajat 2. Fungsi kuadrat memiliki minimal satu suku yang berderajat kedua. Fungsi tersebut merupakan fungsi aljabar.

 Fungsi kuadrat induk berbentuk f(x) = x² dan menghubungkan titik-titik yang koordinatnya berbentuk (angka, angka2). Transformasi dapat diterapkan pada fungsi ini yang biasanya berbentuk f(x) = a (x - h)² + k dan selanjutnya dapat diubah menjadi bentuk f(x) = ax² + bx + c. Mari kita pelajari masing-masing secara terperinci di bagian selanjutnya.

 

Bentuk Standar Fungsi Kuadrat

Bentuk standar fungsi kuadrat berbentuk f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan riil dengan a ≠ 0.

 

  Contoh Fungsi Kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0. Mari kita lihat beberapa contoh fungsi kuadrat:

 

f(x) = 2x² + 4x - 5; Di sini a = 2, b = 4, c = -5

f(x) = 3x² - 7; Di sini a = 3, b = 0, c = -7

f(x) = x² - x; Di sini a = 1, b = -1, c = 0

Sekarang, perhatikan f(x) = 4x - 11; Di sini a = 0, oleh karena itu f(x) BUKAN fungsi kuadrat.

 

Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Titik puncak fungsi kuadrat (yang berbentuk U) adalah tempat fungsi tersebut memiliki nilai maksimum atau nilai minimum. Sumbu simetri fungsi kuadrat memotong fungsi (parabola) di titik puncak tersebut.

 

Rumus Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat selalu dapat difaktorkan, tetapi proses faktorisasi mungkin sulit jika angka nol dari ekspresi tersebut adalah bilangan riil non-integer atau bilangan non-riil. Dalam kasus seperti itu, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menentukan angka nol dari ekspresi tersebut. Bentuk umum fungsi kuadrat diberikan sebagai: f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan riil dengan a ≠ 0. Akar fungsi kuadrat f(x) dapat dihitung menggunakan rumus fungsi kuadrat yaitu:

 x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Berbagai Bentuk Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat berada dalam berbagai bentuk: bentuk standar, bentuk titik puncak, dan bentuk perpotongan. Berikut adalah bentuk umum masing-masing:

 Bentuk standar: f(x) = ax² + bx + c, di mana a ≠ 0.

Bentuk titik puncak: f(x) = a(x - h)² + k, di mana a ≠ 0 dan (h, k) adalah titik puncak parabola yang mewakili fungsi kuadrat.

Bentuk intersep: f(x) = a(x - p)(x - q), di mana a ≠ 0 dan (p, 0) dan (q, 0) adalah intersep-x parabola yang mewakili fungsi kuadrat.

Parabola terbuka ke atas atau ke bawah sesuai dengan nilai 'a' yang bervariasi:

 Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Kita selalu dapat mengubah satu bentuk ke bentuk lainnya. Kita dapat dengan mudah mengubah bentuk titik puncak atau bentuk perpotongan menjadi bentuk standar hanya dengan menyederhanakan ekspresi aljabar. Mari kita lihat cara mengubah bentuk standar menjadi setiap bentuk titik puncak dan bentuk perpotongan.

 

Mengubah Bentuk Standar Fungsi Kuadrat Menjadi Bentuk Titik Puncak

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk titik puncak f(x) = a(x - h)² + k dengan menggunakan nilai h = -b/2a dan k = f(-b/2a). Berikut ini contohnya.

 

Contoh: Ubah fungsi kuadrat f(x) = 2x² - 8x + 3 menjadi bentuk titik puncak.

 Langkah - 1: Dengan membandingkan fungsi yang diberikan dengan f(x) = ax² + bx + c, kita memperoleh a = 2, b = -8, dan c = 3.

Langkah - 2: Cari 'h' menggunakan rumus: h = -b/2a = -(-8)/2(2) = 2.

Langkah - 3: Cari 'k' menggunakan rumus: k = f(-b/2a) = f(2) = 2(2)2 - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.

Langkah - 4: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk titik puncak: f(x) = 2 (x - 2)² - 5.

Mengubah Bentuk Standar Fungsi Kuadrat Menjadi Bentuk Intersep

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat dengan mudah diubah ke dalam bentuk titik puncak f(x) = a (x - p)(x - q) dengan menggunakan nilai-nilai p dan q (intersep-x) dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

 

Contoh: Ubah fungsi kuadrat f(x) = x² - 5x + 6 ke dalam bentuk intersep.

 Langkah - 1: Dengan membandingkan fungsi yang diberikan dengan f(x) = ax² + bx + c, kita memperoleh a = 1.

Langkah - 2: Selesaikan persamaan kuadrat: x² - 5x + 6 = 0

Dengan memfaktorkan ruas kiri, kita memperoleh

(x - 3)(x - 2) = 0

x = 3, x = 2

Langkah - 3: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk perpotongan: f(x) = 1(x - 3)(x - 2).

 

Domain dan Range Fungsi Kuadrat

Domain fungsi kuadrat adalah himpunan semua nilai-x yang membuat fungsi tersebut terdefinisi dan range fungsi kuadrat adalah himpunan semua nilai-y yang dihasilkan fungsi tersebut dengan mensubstitusikan nilai-x yang berbeda.

 

Domain Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang terdefinisi untuk semua nilai riil x. Jadi, domain fungsi kuadrat adalah himpunan bilangan riil, yaitu R. Dalam notasi interval, domain fungsi kuadrat apa pun adalah (-∞, ∞).

 

Rentang Fungsi Kuadrat

Rentang fungsi kuadrat bergantung pada sisi pembukaan dan titik puncak grafik. Jadi, cari nilai f(x) terendah dan tertinggi pada grafik fungsi untuk menentukan rentang fungsi kuadrat. Rentang fungsi kuadrat apa pun dengan titik puncak (h, k) dan persamaan f(x) = a(x - h)² + k adalah: 

y ≥ k (atau) [k, ∞) ketika a > 0 (karena parabola terbuka ketika a > 0). y ≤ k (atau) (-∞, k] ketika a < 0 (karena parabola terbuka ke bawah ketika a < 0).

Membuat Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Yaitu, grafiknya terbuka ke atas atau ke bawah dalam bentuk U. Berikut adalah langkah-langkah untuk membuat grafik fungsi kuadrat.

 Langkah - 1: Temukan titik puncaknya.

Langkah - 2: Hitung tabel fungsi kuadrat dengan dua kolom x dan y dengan 5 baris (kita dapat mengambil lebih banyak baris juga) dengan titik puncak menjadi salah satu titik dan ambil dua nilai acak di kedua sisinya.

Langkah - 3: Temukan nilai y yang sesuai dengan mensubstitusikan setiap nilai x dalam fungsi kuadrat yang diberikan.

Langkah - 4: Sekarang, kita memiliki dua titik di kedua sisi titik puncak sehingga dengan memplotnya pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan kurva, kita bisa mendapatkan bentuk yang sempurna. Juga, perluas grafik di kedua sisi. Berikut adalah grafik fungsi kuadrat.

 

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

 Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang selisihnya (beda) tetap konstan antara dua suku yang berurutan. Mari kita ingat kembali apa yang dimaksud barisan. Barisan adalah kumpulan angka yang mengikuti suatu pola. Misalnya, barisan 1, 6, 11, 16, … adalah barisan aritmatika karena ada pola di mana setiap angka diperoleh dengan menambahkan 5 pada suku sebelumnya. Kita memiliki dua rumus barisan aritmatika, yaitu:

*Rumus untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika

*Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika

Jika kita ingin mencari suku apa pun dalam barisan aritmatika, maka kita dapat menggunakan rumus barisan aritmatika. Mari kita pelajari definisi barisan aritmatika dan rumus barisan aritmatika beserta turunannya dan disertai contoh yang banyak untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa itu Barisan Aritmatika?

Baris aritmatika didefinisikan dalam dua cara. Yang pertama adalah "deretan di mana selisih antara setiap dua suku yang berurutan adalah sama" . Yang kedua dalam deret aritmatika, "setiap suku diperoleh dengan menambahkan bilangan tetap (positif atau negatif atau nol) ke suku sebelumnya". Berikut ini adalah deret aritmatika karena setiap suku diperoleh dengan menambahkan bilangan tetap 4 ke suku sebelumnya. 

Contoh Deret Aritmatika

Perhatikan deret 3, 6, 9, 12, 15, .... adalah deret aritmatika karena setiap suku diperoleh dengan menambahkan bilangan konstan (3) ke suku sebelumnya.

Dengan demikian diperoleh

Suku pertama, a = 3

Selisih (beda), b = 6 - 3 = 9 - 6 = 12 - 9 = 15 - 12 = ... = 3

Jadi, deret aritmatika dapat ditulis sebagai a, a + b, a + 2b, a + 3b, ....

Mari kita bentuk pola ini untuk contoh di atas.

 

   a,    a + b,    a + 2b,    a + 3b,    a + 4b , ...

= 3,   3 + 3,   3 + 2(3),  3 + 3(3),  3 + 4(3),...

= 3, 6, 9, 12,15,....

Beberapa contoh deret aritmatika lainnya adalah:

5, 8, 11, 14, ...

80, 75, 70, 65, 60, ...

2, 7, 12, 17, 22, 27, ...

 

Rumus Deret Aritmatika

Suku pertama deret aritmatika adalah a, beda persekutuannya adalah b, n adalah banyaknya suku. Bentuk umum barisan aritmetika adalah a, a + b, a + 2b, a + 3b,......hingga n suku. Kita memiliki berbagai rumus yang terkait dengan deret aritmatika yang digunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah n suku deret aritmatika, atau beda persekutuan deret aritmatika tertentu.

Rumus pada barisan dan deret aritmatika diberikan sebagai berikut,

Suku ke-n  :U_n = a + (n - 1)b

Jumlah n suku pertama : S_n = (n/2) [2a + (n - 1)b]

Beda (selisih) : b = a_n - a_n-1

 

Suku ke-N Deret Aritmatika

Suku ke-n deret aritmatika U₁, U₂, U₃, ... diberikan oleh U_n = U₁ + (n - 1)b. Ini juga dikenal sebagai suku umum deret aritmatika. Ini secara langsung mengikuti pemahaman bahwa deret aritmatika U₁, U₂, U₃, ... = U₁, U₁ + b, U₁ + 2b, U₁ + 3b,... Tabel berikut menunjukkan beberapa deret aritmatika beserta suku pertama, beda umum, dan suku ke-n.

5, 8, 11, 14, ...          mempunyai suku pertama (a) = 5 dan beda (b) = 3

80, 75, 70, 65, 60, ...  mempunyai suku pertama (a) = 80 dan beda (b) = -5

2, 7, 12, 17, 22, 27, ...  mempunyai suku pertama (a) = 2 dan beda (b) = 5

 

Rumus Rekursif Deret Aritmatika

Rumus di atas untuk mencari suku ke-n dari deret aritmatika digunakan untuk mencari suku apa pun dari deret tersebut ketika nilai 'U₁' dan 'b' diketahui. Ada rumus lain untuk mencari suku ke-n yang disebut "rumus rekursif deret aritmatika" dan digunakan untuk mencari suku (U_n) dari deret tersebut ketika suku sebelumnya (U_n-1) dan 'b' diketahui.

Rumus tersebut adalah:

U_n = U_n-1 + d

Rumus ini mengikuti definisi deret aritmatika.

 

Contoh:

Carilah U₂₁ dari deret aritmatika jika U₁₉ = -72 dan b = 7.

Solusi:

Dengan menggunakan rumus rekursif,

U₂₀ = U₁₉ + d = -72 + 7 = -65

U₂₁ = U₂₀ + d = -65 + 7 = -58

Jadi, diperoleh U₂₁ = -58.

 

Deret Aritmatika

Penjumlahan rumus deret aritmatika digunakan untuk mencari jumlah n suku pertamanya. Perhatikan bahwa jumlah suku deret aritmatika dikenal sebagai deret aritmatika. Perhatikan deret aritmatika yang suku pertamanya adalah U₁ (atau a) dan bedanya adalah b. Jumlah n suku pertamanya dilambangkan dengan S_n. Maka

Jika suku ke-n tidak diketahui: S_n= n/2 [2a + (n - 1) b]

Jika suku ke-n diketahui: S_n = n/2 [a + U_n]

 

Contoh

Ibu Natalie memperoleh penghasilan $200.000 per tahun dan gajinya meningkat sebesar $25.000 per tahun. Maka, berapa total penghasilannya pada akhir 5 tahun pertama?

Solusi:

 

Jumlah penghasilan Ibu Natalie untuk tahun pertama adalah, a = 2.00.000. Kenaikan per tahun adalah, b = 25.000. Kita harus menghitung penghasilannya dalam 5 tahun pertama. Jadi n = 5. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus jumlah deret aritmatika,

S_n= n/2 [2a + (n - 1)b]

 

⇒ S_n = 5/2(2(200.000) + (5 - 1)(25.000))

       = 5/2 (400.000 +100.000)

       = 5/2 (500.000)

      = 1.250.000

Ia memperoleh penghasilan $1.250.000 dalam 5 tahun. Kita dapat menggunakan rumus ini agar lebih membantu untuk nilai 'n' yang lebih besar.

 

Jumlah Deret Aritmatika

Mari kita ambil deret aritmatika yang suku pertamanya adalah U₁ dan bedanya adalah b. Maka jumlah suku pertama 'n' dari barisan tersebut diberikan oleh

S_n = U₁ + (U₁ + b) + (U₁ + 2b) + … + U_n     ... (1)

 

Mari kita tulis jumlah yang sama dari kanan ke kiri (yaitu, dari suku ke-n ke suku pertama).

 

S_n = U_n + (U_n – B) + (U_n – 2B) + … + U₁ ... (2)

Dengan menambahkan (1) dan (2), semua suku dengan 'd' akan dibatalkan.

 

2S_n = (U₁ + U_n) + (U₁ + U_n) + (U₁ + U_n) + … + (U₁ + U_n)

                      Sebanyak n suku

2S_n = n (U₁ + U_n)

  S_n = (n/2) [U₁ + U_n]

 

Dengan mensubstitusikan U_n = U₁ + (n – 1) b ke dalam rumus terakhir, kita memperoleh

 

S_n = n/2 [U₁ + U₁ + (n – 1)b]     atau

S_n = n/2 [2U₁ + (n – 1)b]

S_n = n/2 [2a + (n – 1)b]

Jadi, kita telah memperoleh kedua rumus untuk penjumlahan deret aritmatika.

 

KELILING DAN LUAS BANGUN DATAR SEGI EMPAT

 Kita telah mempelajari apa itu segi empat dan berbagai jenis segi empat. Karena jumlah sisi segi empat selalu tetap, yaitu empat, maka jenis-jenis segi empat diklasifikasikan berdasarkan variasi panjang keempat sisinya dan seberapa miring sisi-sisinya.

 

Dalam bab ini, kita akan mempelajari tentang pengukuran yang dapat dilakukan untuk segi empat. Perhitungan keliling dan luas adalah pengukuran yang paling sering digunakan pada segi empat.

 

Keliling

Keliling setiap bangun datar adalah panjang total batasnya. Dengan kata lain, kita dapat mengatakan keliling adalah panjang batas segi empat dan dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisi segi empat tersebut. Keliling diukur dengan satuan yang sama dengan panjang, yaitu milimeter, sentimeter, meter, kilometer, dst.

 

Contoh

Contoh perhitungan keliling adalah seberapa jauh seorang pelari harus berlari mengelilingi lapangan berbentuk persegi panjang untuk menyelesaikan satu putaran. Pelari harus mengelilingi batas persegi panjang dan menutupi semua sisinya. Jadi, jarak yang ditempuhnya akan sama dengan jumlah semua sisi persegi panjang, yang disebut keliling.

 

Luas

Luas setiap bangun datar adalah jumlah permukaan yang dibatasi oleh sisi-sisinya. Mari kita pahami dengan sebuah contoh:

 

Contoh

Contoh perhitungan luas adalah berapa banyak luas yang harus dicat pada satu sisi permukaan papan kayu berbentuk persegi panjang. Jika kita perlu mengecat kedua sisi papan persegi panjang, maka akan ada dua permukaan yang dicat sehingga akan menjadi dua bidang papan yang akan dicat.

 

Mari kita lihat cara menghitung luas dan keliling berbagai jenis segi empat.

 

1.      Jajaran Genjang

Keliling Jajaran Genjang

Jajaran genjang dengan dua sisi sejajar a, b, dan tinggi t

Keliling jajaran genjang dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya.

Jajaran genjang pada gambar di atas memiliki dua sisi sejajar a, b, dan tinggi h. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a + b)

 

Rumus

Keliling jajaran genjang = 2(a + b)

 

Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang dihitung dengan mengalikan panjang alas dan tingginya h.

Jadi, luas jajaran genjang = alas × tinggi = b × t

 

Rumus

Luas jajaran genjang = b × t

 

 

2.           Persegi Panjang

Keliling persegi panjang

Persegi panjang dengan panjang p dan lebar l

Keliling persegi panjang dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya. Persegi panjang pada gambar di atas memiliki panjang p dan lebar l. Oleh karena itu, keliling akan menjadi jumlah panjang keempat sisinya.

 

Kita dapat menuliskannya sebagai:

 

Keliling = p + l + p + l = 2p + 2l = 2(p + l)

 

Rumus

Keliling persegi panjang = 2(p + l)

 

Luas persegi panjang

Luas persegi panjang dihitung dengan mengalikan panjang dan lebarnya.

 

Jadi, luas persegi panjang = panjang × lebar

                                      = p × l

 

Rumus

Luas persegi panjang= p × l

 

 

3.           Persegi

Keliling persegi

Persegi dengan panjang s dari keempat sisinya

Keliling persegi dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya.

 

Persegi pada gambar di atas memiliki panjang l dari keempat sisinya. Oleh karena itu, keliling akan menjadi jumlah panjang keempat sisinya. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = s + s + s + s = 4s

Keliling persegi juga dapat dihitung dengan mengalikan 4 dengan panjang l persegi. Jadi, keliling juga dapat dihitung sebagai:

Keliling = 4 × s = 4s

 

Rumus

Keliling persegi = 4s

 

Luas persegi

Luas persegi dihitung dengan mengalikan panjang dan lebarnya.

Jadi, luas persegi = panjang × lebar = s × s = s²

 

Rumus

Luas persegi = s²

 

4.           Trapesium

Keliling trapesium

Trapesium dengan sisi a, b, c, d dan tinggi t

Keliling trapesium dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya.

Trapesium pada gambar di atas memiliki sisi a, b, c, d dan tinggi h. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = a + b + c + d

 

Rumus

Keliling trapesium = a + b + c + d

 

Luas trapesium

Luas trapesium = 1/2 (jumlah sisi sejajar) × tinggi

                       = 1/2 (a + b) × t

 

Rumus

Luas trapesium = 1/2 (a + b) × t

 

 

5.           Belah Ketupat

Keliling belah ketupat

Belah ketupat dengan panjang l dan lebar b

Keliling belah ketupat dihitung dengan menjumlahkan panjang semua sisinya. Belah ketupat pada gambar di atas memiliki panjang semua sisinya a karena panjang semua sisi belah ketupat selalu sama. Oleh karena itu, keliling adalah jumlah panjang keempat sisinya. Kita dapat menuliskannya sebagai:

Keliling = s + s + s+ s = 4s

Keliling belah ketupat juga dapat dihitung dengan mengalikan 4 dengan panjang a. Jadi, keliling juga dapat dihitung sebagai:

Keliling = 4 × s = 4s

 

Luas belah ketupat

Luas belah ketupat dihitung dengan mengalikan panjang alas dan tingginya t.

Jadi, luas belah ketupat = alas × tinggi = a × t

Luas belah ketupat juga dihitung menggunakan panjang dua diagonalnya.

 

Luas belah ketupat = 1/2 × d₁ × d₂

 

Rumus

Luas belah ketupat = 1/2 × d₁ × d₂

 

 Semoga Bermanfaat.

Persamaan Garis Lurus _ Matematika SMP

 Persamaan Garis Lurus

Persamaan umum garis lurus adalah y = mx + c, di mana m adalah kemiringan garis dan c adalah titik potong sumbu Y. Persamaan ini merupakan bentuk persamaan garis lurus yang paling umum digunakan dalam geometri. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam berbagai bentuk seperti bentuk titik-kemiringan, bentuk kemiringan-titik potong, bentuk titik potong, bentuk baku, dan lain-lain. Garis lurus merupakan entitas geometri dua dimensi yang memanjang pada kedua ujungnya hingga tak terhingga.

 

Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk. Cobalah memecahkan beberapa contoh dan pertanyaan menarik untuk lebih memahami konsep tersebut.

 

Apa Persamaan Garis Lurus?

Persamaan garis lurus merupakan persamaan linier dalam dua variabel (biasanya x dan y) dan dipenuhi oleh setiap titik pada garis tersebut. Yaitu, persamaan matematika yang memberikan hubungan antara titik-titik koordinat yang terletak pada garis lurus tersebut. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam berbagai bentuk dan menunjukkan kemiringan, titik potong sumbu-X, dan titik potong sumbu-Y. Persamaan garis lurus juga dapat digunakan untuk mencari titik-titik pada garis tersebut. Umumnya, persamaan garis lurus ditemukan dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan, bentuk kemiringan-titik potong, bentuk dua titik, bentuk standar, dsb. Mari kita bahas rumus persamaan garis lurus.

 

Rumus yang paling umum untuk mencari persamaan garis lurus disebutkan di bawah ini.

Bentuk standar : ax + by = c

Bentuk kemiringan-titik potong : y = mx + c

Bentuk titik-kemiringan : y – y₁ = m(x – x₁)

Rumus persamaan garis lurus bervariasi tergantung pada informasi yang tersedia tentang garis tersebut seperti kemiringan, titik potong, dsb. Perhatikan bahwa kemiringan garis dengan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) dihitung dengan rumus m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Berikut adalah berbagai rumus garis lurus.

 

Bentuk Dua Titik

(Diberikan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) pada garis)

(y - y₁)/(x - x₁)= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

 

Bentuk Titik-Kemiringan

(Diberikan kemiringan m dan titik (x₁, y₁))

y - y₁ = m (x - x₁)

 

Bentuk Kemiringan - Intersep

(Diberikan kemiringan m dan intersep y (0, c))

y = mx + c

 

Bentuk Intersep

(Diberikan intersep a dan b)

x/a + y/b = 1

 

Kita akan mempelajari masing-masing secara terperinci di bagian di bawah ini.

 

Bentuk Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus biasanya melibatkan kemiringan. Misalkan garis l membentuk sudut θ dengan arah sumbu x positif, sudut θ disebut kemiringan garis dan tan θ disebut kemiringan garis. Perhatikan bahwa sumbu-x memiliki kemiringan 0. Faktanya, semua garis yang sejajar dengan sumbu-x memiliki kemiringan 0. Selain itu, kemiringan semua garis yang sejajar dengan sumbu-y termasuk sumbu-y tidak didefinisikan.

 

Sekarang, mari kita bahas berbagai bentuk persamaan garis lurus.

 

Bentuk Titik-Kemiringan

Persamaan garis lurus yang kemiringannya m dan melalui titik (x1, y1) ditemukan menggunakan bentuk titik-kemiringan. Persamaan bentuk titik-kemiringan adalah:

 

y - y₁ = m (x - x₁), di mana (x, y) adalah titik sembarang pada garis.

 

Mari kita lihat cara menemukan bentuk titik-kemiringan. Kita akan memperoleh rumus ini menggunakan persamaan untuk kemiringan garis. Mari kita perhatikan garis yang kemiringannya m. Mari kita asumsikan bahwa (x1, y1) adalah titik yang diketahui pada garis tersebut. Misalkan (x, y) adalah titik acak lainnya pada garis yang koordinatnya tidak diketahui. Kita tahu bahwa persamaan untuk kemiringan garis adalah:

 Kemiringan = Selisih koordinat y/Selisih koordinat x

 ⇒ m = (y - y₁)/(x - x₁)

 Kalikan kedua ruas dengan (x - x₁),

 m (x - x₁) = (y - y₁)

 Hal ini dapat ditulis sebagai,

 (y - y₁) = m (x - x₁)

 Oleh karena itu bentuk titik-kemiringan persamaan garis lurus terbukti.

 

Bentuk Dua Titik

Pertimbangkan sebuah garis dengan dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) di atasnya. Maka kemiringannya dapat dihitung dengan rumus m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Dengan mensubstitusikan ini ke dalam bentuk titik-kemiringan di atas, kita memperoleh bentuk dua titik sebagai y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (x - x₁).

 

Bentuk Kemiringan-Intersep

Sekarang, misalkan Anda diberi sebuah garis dengan kemiringan m dan intersep y. Katakanlah, sebuah garis memotong sumbu y di titik (0, c). Dengan menggunakan bentuk titik-kemiringan, kita memperoleh y - c = m (x - 0) ⇒ y = mx + c, di mana c adalah intersep y. Ini disebut bentuk kemiringan-intersep garis.

 

Catatan: Jika d adalah intersep x, maka bentuk kemiringan-intersep persamaan garis adalah y = m(x - d).

 

Bentuk Intersep

Jika (a, 0) dan (0, b) masing-masing adalah intersep x dan y dari sebuah garis. Maka kemiringannya adalah, m = (b - 0)/(0 - a) = -b /a. Maka persamaannya menggunakan bentuk titik-kemiringan adalah:

y - 0 = -b/a (x - a)

 

Mengalikan kedua ruas dengan a

ay = -bx + ab

bx + ay = ab

 Membagi kedua ruas dengan ab,

x/a + y/b = 1

 

Bentuk Standar

Bentuk standar garis lurus diberikan oleh ax + by = c, di mana a, b, c adalah bilangan riil. Kita dapat mempertimbangkan bentuk garis apa pun ke dalam bentuk standar. Mari kita pertimbangkan contoh untuk mengubah persamaan y = 2x - 1 dalam bentuk standar. Kurangi 2x dari kedua ruas persamaan, kita peroleh

y - 2x = 2x - 1 - 2x

⇒ y - 2x = -1

⇒ 2x - y = 1

Jadi, kita peroleh bentuk baku persamaan garis sebagai 2x - y = 1.

 

Persamaan Garis Lurus pada Grafik

Grafik persamaan linear satu variabel x membentuk garis vertikal yang sejajar dengan sumbu Y dan grafik persamaan garis lurus satu variabel y merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu X. Grafik persamaan linear dua variabel x dan y membentuk garis lurus dengan beberapa kemiringan.

 

 

Jika garis lurus naik dari kiri ke kanan, kemiringannya positif. Jika menurun, kemiringannya negatif.

 

Catatan Penting tentang Persamaan Garis Lurus:

Persamaan garis lurus juga disebut persamaan linear dua variabel.

Jika hasil kali kemiringan dua garis lurus adalah -1, maka garis-garis tersebut saling tegak lurus.

Jika dua garis lurus sejajar satu sama lain, maka keduanya memiliki kemiringan yang sama.

Bentuk Titik Kemiringan: (y - y₁) = m (x - x1)

Bentuk Kemiringan-Intersep: y = mx + c

Bentuk Standar = ax + by = c