FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT

 Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat digunakan dalam berbagai bidang teknik dan sains untuk memperoleh nilai parameter yang berbeda. Secara grafis, fungsi kuadrat direpresentasikan oleh parabola. Arah kurva ditentukan berdasarkan koefisien derajat tertinggi. Kata "Kuadrat" berasal dari kata "Quad" yang berarti kuadrat. Dengan kata lain, fungsi kuadrat adalah "fungsi polinomial derajat 2." Ada banyak skenario di mana fungsi kuadrat digunakan. Tahukah Anda bahwa ketika roket diluncurkan, lintasannya dijelaskan oleh fungsi kuadrat?

 Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia fungsi kuadrat dalam matematika. Anda akan mempelajari grafik fungsi kuadrat, rumus fungsi kuadrat, dan fakta menarik lainnya tentang topik tersebut. Kita juga akan memecahkan contoh berdasarkan konsep tersebut untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa itu Fungsi Kuadrat?

 Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan satu atau lebih variabel yang eksponen tertinggi variabelnya adalah dua. Karena suku derajat tertinggi dalam fungsi kuadrat adalah derajat kedua, maka fungsi tersebut juga disebut polinomial derajat 2. Fungsi kuadrat memiliki minimal satu suku yang berderajat kedua. Fungsi tersebut merupakan fungsi aljabar.

 Fungsi kuadrat induk berbentuk f(x) = x² dan menghubungkan titik-titik yang koordinatnya berbentuk (angka, angka2). Transformasi dapat diterapkan pada fungsi ini yang biasanya berbentuk f(x) = a (x - h)² + k dan selanjutnya dapat diubah menjadi bentuk f(x) = ax² + bx + c. Mari kita pelajari masing-masing secara terperinci di bagian selanjutnya.

 

Bentuk Standar Fungsi Kuadrat

Bentuk standar fungsi kuadrat berbentuk f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan riil dengan a ≠ 0.

 

  Contoh Fungsi Kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0. Mari kita lihat beberapa contoh fungsi kuadrat:

 

f(x) = 2x² + 4x - 5; Di sini a = 2, b = 4, c = -5

f(x) = 3x² - 7; Di sini a = 3, b = 0, c = -7

f(x) = x² - x; Di sini a = 1, b = -1, c = 0

Sekarang, perhatikan f(x) = 4x - 11; Di sini a = 0, oleh karena itu f(x) BUKAN fungsi kuadrat.

 

Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Titik puncak fungsi kuadrat (yang berbentuk U) adalah tempat fungsi tersebut memiliki nilai maksimum atau nilai minimum. Sumbu simetri fungsi kuadrat memotong fungsi (parabola) di titik puncak tersebut.

 

Rumus Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat selalu dapat difaktorkan, tetapi proses faktorisasi mungkin sulit jika angka nol dari ekspresi tersebut adalah bilangan riil non-integer atau bilangan non-riil. Dalam kasus seperti itu, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menentukan angka nol dari ekspresi tersebut. Bentuk umum fungsi kuadrat diberikan sebagai: f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan riil dengan a ≠ 0. Akar fungsi kuadrat f(x) dapat dihitung menggunakan rumus fungsi kuadrat yaitu:

 x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Berbagai Bentuk Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat berada dalam berbagai bentuk: bentuk standar, bentuk titik puncak, dan bentuk perpotongan. Berikut adalah bentuk umum masing-masing:

 Bentuk standar: f(x) = ax² + bx + c, di mana a ≠ 0.

Bentuk titik puncak: f(x) = a(x - h)² + k, di mana a ≠ 0 dan (h, k) adalah titik puncak parabola yang mewakili fungsi kuadrat.

Bentuk intersep: f(x) = a(x - p)(x - q), di mana a ≠ 0 dan (p, 0) dan (q, 0) adalah intersep-x parabola yang mewakili fungsi kuadrat.

Parabola terbuka ke atas atau ke bawah sesuai dengan nilai 'a' yang bervariasi:

 Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Kita selalu dapat mengubah satu bentuk ke bentuk lainnya. Kita dapat dengan mudah mengubah bentuk titik puncak atau bentuk perpotongan menjadi bentuk standar hanya dengan menyederhanakan ekspresi aljabar. Mari kita lihat cara mengubah bentuk standar menjadi setiap bentuk titik puncak dan bentuk perpotongan.

 

Mengubah Bentuk Standar Fungsi Kuadrat Menjadi Bentuk Titik Puncak

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk titik puncak f(x) = a(x - h)² + k dengan menggunakan nilai h = -b/2a dan k = f(-b/2a). Berikut ini contohnya.

 

Contoh: Ubah fungsi kuadrat f(x) = 2x² - 8x + 3 menjadi bentuk titik puncak.

 Langkah - 1: Dengan membandingkan fungsi yang diberikan dengan f(x) = ax² + bx + c, kita memperoleh a = 2, b = -8, dan c = 3.

Langkah - 2: Cari 'h' menggunakan rumus: h = -b/2a = -(-8)/2(2) = 2.

Langkah - 3: Cari 'k' menggunakan rumus: k = f(-b/2a) = f(2) = 2(2)2 - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.

Langkah - 4: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk titik puncak: f(x) = 2 (x - 2)² - 5.

Mengubah Bentuk Standar Fungsi Kuadrat Menjadi Bentuk Intersep

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat dengan mudah diubah ke dalam bentuk titik puncak f(x) = a (x - p)(x - q) dengan menggunakan nilai-nilai p dan q (intersep-x) dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

 

Contoh: Ubah fungsi kuadrat f(x) = x² - 5x + 6 ke dalam bentuk intersep.

 Langkah - 1: Dengan membandingkan fungsi yang diberikan dengan f(x) = ax² + bx + c, kita memperoleh a = 1.

Langkah - 2: Selesaikan persamaan kuadrat: x² - 5x + 6 = 0

Dengan memfaktorkan ruas kiri, kita memperoleh

(x - 3)(x - 2) = 0

x = 3, x = 2

Langkah - 3: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk perpotongan: f(x) = 1(x - 3)(x - 2).

 

Domain dan Range Fungsi Kuadrat

Domain fungsi kuadrat adalah himpunan semua nilai-x yang membuat fungsi tersebut terdefinisi dan range fungsi kuadrat adalah himpunan semua nilai-y yang dihasilkan fungsi tersebut dengan mensubstitusikan nilai-x yang berbeda.

 

Domain Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang terdefinisi untuk semua nilai riil x. Jadi, domain fungsi kuadrat adalah himpunan bilangan riil, yaitu R. Dalam notasi interval, domain fungsi kuadrat apa pun adalah (-∞, ∞).

 

Rentang Fungsi Kuadrat

Rentang fungsi kuadrat bergantung pada sisi pembukaan dan titik puncak grafik. Jadi, cari nilai f(x) terendah dan tertinggi pada grafik fungsi untuk menentukan rentang fungsi kuadrat. Rentang fungsi kuadrat apa pun dengan titik puncak (h, k) dan persamaan f(x) = a(x - h)² + k adalah: 

y ≥ k (atau) [k, ∞) ketika a > 0 (karena parabola terbuka ketika a > 0). y ≤ k (atau) (-∞, k] ketika a < 0 (karena parabola terbuka ke bawah ketika a < 0).

Membuat Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Yaitu, grafiknya terbuka ke atas atau ke bawah dalam bentuk U. Berikut adalah langkah-langkah untuk membuat grafik fungsi kuadrat.

 Langkah - 1: Temukan titik puncaknya.

Langkah - 2: Hitung tabel fungsi kuadrat dengan dua kolom x dan y dengan 5 baris (kita dapat mengambil lebih banyak baris juga) dengan titik puncak menjadi salah satu titik dan ambil dua nilai acak di kedua sisinya.

Langkah - 3: Temukan nilai y yang sesuai dengan mensubstitusikan setiap nilai x dalam fungsi kuadrat yang diberikan.

Langkah - 4: Sekarang, kita memiliki dua titik di kedua sisi titik puncak sehingga dengan memplotnya pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan kurva, kita bisa mendapatkan bentuk yang sempurna. Juga, perluas grafik di kedua sisi. Berikut adalah grafik fungsi kuadrat.