04 Januari

Cara Menghitung dan Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor Persekutuan Terbesar - FPB

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) merujuk pada bilangan terbesar yang merupakan faktor persekutuan untuk sekumpulan bilangan tertentu. FPB juga disebut sebagai Faktor Persekutuan Tertinggi (FPB) atau Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari cara mencari faktor persekutuan terbesar secara terperinci.

Apa itu Faktor Persekutuan Terbesar?

Untuk sekumpulan bilangan bulat positif (a, b), faktor persekutuan terbesar didefinisikan sebagai bilangan positif terbesar yang merupakan faktor persekutuan dari kedua bilangan bulat positif (a, b). FPB dari dua bilangan apa pun tidak pernah negatif atau 0 karena bilangan bulat positif terkecil yang merupakan faktor persekutuan dari dua bilangan apa pun selalu 1.

Pengertian FPB - Bentuk Lengkap FPB

Pengertian dan bentuk lengkap FPB adalah Faktor Persekutuan Terbesar. Jadi, FPB adalah bilangan positif terbesar yang merupakan faktor persekutuan untuk sekumpulan bilangan positif tertentu.

Bagaimana Cara Mencari Faktor Persekutuan Terbesar? Untuk satu set dua bilangan bulat positif (a, b), kita menggunakan Langkah-Langkah berikut untuk menemukan faktor persekutuan terbesar:

FPB Dua Bilangan

Mari kita lihat Langkah-Langkah yang diberikan di bawah ini untuk mempelajari cara menemukan FPB dua bilangan. Langkah menentukan FPB ini menggunakan mencari faktor setiap bilangan.

Langkah 1: Tuliskan faktor dari bilangan 'a'.

Langkah 2: Tuliskan faktor dari bilangan 'b'.

Langkah 3: Buat daftar faktor persekutuan dari 'a' dan 'b'.

Langkah 4: Sekarang temukan faktor yang merupakan yang tertinggi di antara faktor persekutuan.

Contoh 1: Temukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 36 dan 48.

Solusi: Kita akan menggunakan Langkah-Langkah berikut untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari (36, 48).

Faktor dari 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, dan 13.

Faktor dari 48 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48.

Faktor persekutuan dari 36 dan 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

Faktor persekutuan terbesar dari 13 dan 48 adalah 12.

Jadi, FPB (36, 48) = 12

Contoh 2: Temukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 30 dan 42.

Solusi: Kita akan menggunakan Langkah-Langkah berikut untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari (30, 42).

Faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

Faktor dari 42 = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 16, 21, dan 42.

Faktor persekutuan dari 30 dan 42 adalah 1, 2, 3, dan 6.

Faktor persekutuan terbesar dari 30 dan 42 adalah 6.

Jadi, FPB (30, 42) = 6.

Mari kita lihat cara menemukan FPB dua bilangan dengan metode yang kedua. Langkah menentukan FPB ini menggunakan cara menentukan faktorisasi prima.

Langkah 1: Tuliskan faktorisasi prima dari bilangan 'a'.

Langkah 2: Tuliskan faktorisasi prima dari bilangan 'b'.

Langkah 3: Buatlah faktor- faktor prima persekutuan dari 'a' dan 'b'.

Langkah 4: Kalikan faktor-faktor prima yang sama (dimiliki kedua bilangan itu).

Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Temukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 28 dan 63.

Solusi: Kita akan menggunakan Langkah-Langkah berikut untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari (28, 63).

28 = 2 × 2 × 7

63 = 3 × 3 × 7

Faktor prima yang sama dimiliki kedua bilangan adalah 7.

Faktor persekutuan terbesar dari 28 dan 63 adalah 7.

Jadi, FPB (28, 63) = 12

Contoh 2: Temukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 40 dan 96.

Solusi: Kita akan menggunakan Langkah-Langkah berikut untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari (40, 96).

40 = 2 × 2 × 2 × 5

96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Faktor prima yang sama dimiliki kedua bilangan adalah 2, 2, 2.

Faktor persekutuan terbesar dari 40 dan 96 adalah 2 × 2 × 2 = 8.

Jadi, FPB (40, 96) = 8

Contoh 3: Temukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 60 dan 84.

Solusi: Kita akan menggunakan Langkah-Langkah berikut untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari (60, 84).

60 = 2 × 2 × 3 × 5

84 = 2 × 2 × 3 × 7

Faktor prima yang sama dimiliki kedua bilangan adalah 2, 2, 3.

Faktor persekutuan terbesar dari 60 dan 84 adalah 2 × 2 × 3 = 12.

Jadi, FPB (60, 84) = 12.

Bagaimana, sudah jelas bukan belajar tentang FPB?

Demikianlah materi tentang cara menentukan FPB dua bilangan.

Semoga bermanfaat.

02 Januari

PENGERTIAN DASAR INTEGRAL DAN CARA MENGHITUNGNYA

Kalkulus Integral

Kalkulus integral membantu dalam menemukan antiturunan suatu fungsi. Antiturunan ini juga disebut integral fungsi. Proses menemukan antiturunan suatu fungsi disebut integrasi. Proses kebalikan dari menemukan turunan adalah menemukan integral. Integral suatu fungsi mewakili keluarga kurva. Menemukan turunan dan integral membentuk kalkulus fundamental. Dalam topik ini, kita akan membahas dasar-dasar integral dan mengevaluasi integral.

Apa itu Kalkulus Integral?

Integral adalah nilai fungsi yang ditemukan melalui proses integrasi. Proses mendapatkan f(x) dari f'(x) disebut integrasi. Integral menetapkan angka pada fungsi dengan cara yang menggambarkan masalah perpindahan dan gerak, masalah luas dan volume, dan sebagainya yang muncul dengan menggabungkan semua data kecil. Diberikan turunan f’ dari fungsi f, kita dapat menentukan fungsi f. Di sini, fungsi f disebut antiturunan atau integral dari f’.

Definisi Integral

F(x) disebut sebagai antiturunan atau integral Newton-Leibnitz atau primitif dari suatu fungsi f(x) pada suatu interval I. F'(x) = f(x), untuk setiap nilai x dalam I.

Integral adalah representasi dari luas suatu daerah di bawah suatu kurva. Kita mendekati nilai sebenarnya dari integral dengan menggambar persegi panjang. Integral tertentu dari suatu fungsi dapat direpresentasikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi yang diberikan antara dua titik dalam garis. Luas suatu daerah ditemukan dengan memecahnya menjadi persegi panjang vertikal tipis dan menerapkan batas bawah dan atas, luas daerah tersebut dijumlahkan. Kita tentukan integral suatu fungsi pada suatu interval tempat integral tersebut didefinisikan.

Teorema Dasar Kalkulus Integral

Kita definisikan integral sebagai fungsi dari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b, sumbu-X, dan ordinat x = a dan x = b, di mana b>a. Misalkan x adalah titik tertentu di [a,b]. Maka:

Jenis-jenis Integral

Kalkulus integral digunakan untuk memecahkan masalah-masalah jenis berikut.

a) masalah menemukan fungsi jika turunannya diberikan.

b) masalah menemukan luas yang dibatasi oleh grafik fungsi dalam kondisi yang diberikan.

Kalkulus integral dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

a. Integral tentu (nilai integralnya pasti)

b. Integral tak tentu (nilai integralnya tak tentu dengan konstanta sembarang, C)

Integral tak tentu

Ini adalah integral yang tidak memiliki nilai batas yang sudah ada sebelumnya; sehingga membuat nilai akhir integralnya tak tentu. ∫g'(x)dx = g(x) + c. Integral tak tentu termasuk dalam keluarga kurva paralel.

Integral Tentu

Integral tentu memiliki nilai limit yang sudah ada sebelumnya, sehingga menjadikan nilai akhir integral pasti. Jika f(x) adalah fungsi kurva, maka:

Sifat-Sifat Kalkulus Integral

Mari kita pelajari sifat-sifat integral tak tentu untuk mengerjakannya.

1. Turunan integral adalah integral itu sendiri.

∫ f(x) dx = f(x) +C

2. Dua integral tak tentu dengan turunan yang sama menghasilkan keluarga kurva yang sama dan karenanya keduanya ekuivalen.

∫ [ f(x) dx - g(x) dx] =0

3. Integral jumlah atau selisih sejumlah fungsi yang terbatas sama dengan jumlah atau selisih integral fungsi-fungsi individual.

∫ [ f(x) dx + g(x) dx] = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

4. Konstanta diambil di luar tanda integral.

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, di mana k ∈ R.

Catatan Penting

1. Nilai primitif fungsi yang ditemukan melalui proses integrasi disebut integral.

2. Integral adalah objek matematika yang dapat diartikan sebagai luasan atau generalisasi luas.

3. Ketika fungsi polinomial diintegralkan, derajat integral meningkat sebesar 1.

Bagaimana, sudah jelas bukan belajar tentang nilai Integral?

Demikianlah materi tentang Integral untuk dasar.

Semoga bermanfaat.

Peluang Kejadian Majemuk dan Cara Menghitungnya (2)

Peluang kejadian majemuk merupakan rangkaian beberapa kejadian yang dihubungkan kata hubung "dan" (dapat dilambangkan dengan Ç (dibaca irisan)) serta "atau' (dapat dilambangkan dengan È (dibaca gabungan)).

Dan dirumuskan dengan :

P (A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

Peluang kejadian majemuk juga dapat disebut sebuah cara untuk memprediksi seberapa besar kemungkinan terjadinya suatu hal yang akan terjadi di masa datang. Contoh:

(1) Ketika melempar dua dadu, lalu akan mencari peluang munculnya dadu berjumlah 3 atau berjumlah 10. Maka, yang dimaksud dengan kejadian pertama adalah munculnya dadu berjumlah 3 dan kejadian kedua adalah munculnya dadu berjumlah 10.

(2) Ketika melempar dua koin uang, lalu ingin mencari peluang muncul sisi Gambar dan Sisi Angka. Maka yang dimaksud dengan kejadian adalah muncul sisi gambar koin pertama dan sisi angka pada koin kedua. Atau sebaliknya muncul sisi angka koin pertama dan sisi gambar pada koin kedua.

Jenis Peluang Kejadian Majemuk

Terdapat beberapa kejadian yang disebut sebagai kejadian majemuk. Berikut ini jenis-jenis peluang kejadian majemuk, antara lain:

1. Kejadian Majemuk Saling Lepas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain tidak saling terkait (tidak mempunyai irisan). Dirumuskan :

P(A Ç B) = 0

P(A È B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Majemuk Saling Tidak Lepas

Dua kejadian A dan B disebut tidak saling lepas jika terdapat minimal satu elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang terdapat pada kejadian B. Peluang salah satu A dan B mungkin terjadi dengan A dan B adalah kejadian tidak saling lepas. Dengan rumusnya:

P (A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

3. Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B. Dengan kata lain A dan B memiliki keterkaitan tetapi tidak saling mempengaruhi.

Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika memenuhi :

P(A Ç B) = P(A) x P(B)

4. Kejadian Tidak Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas jika muncul atau tidaknya kejadian A mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B. Dengan kata lain A dan B memiliki keterkaitan yang tidak saling mempengaruhi. Misalnya A dan B suatu kejadian. Jika kejadian B tergantung pada kejadian A maka termasuk kejadian tidak saling bebas.

Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas jika memenuhi :

P(A Ç B) = P(A) x P(BçA)

Agar kalian lebih paham tentang materi peluan kejadian, simak beberapa contoh berikut.

Contoh soal 6

Dalam sebuah kelas yang terdiri dari 40 siswa, ada 20 siswa yang suka olahraga, 15 siswa yang suka seni, dan 5 siswa yang suka keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih suka olahraga atau seni.

Jawab:

Peluang siswa yang terpilih suka olahraga atau seni adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada siswa yang suka keduanya. Rumusnya adalah:

P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

dimana:

A = kejadian siswa yang suka olahraga

B = kejadian siswa yang suka seni

P(A) = peluang siswa yang suka olahraga = 20/40 = 1/2

P(B) = peluang siswa yang suka seni = 15/40 = 3/8

P(A Ç B) = peluang siswa yang suka olahraga dan seni = 5/40 = 1/8

Maka:

P(A È B) = 1/2 + 3/8 - 1/8

P(A È B) = 7/8

Jadi, peluang siswa yang terpilih suka olahraga atau seni adalah 7/8.

Contoh soal 7

Sebuah dadu bermata enam dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu genap atau lebih dari 7.

Jawab:

Peluang munculnya jumlah mata dadu genap atau lebih dari 7 adalah peluang kejadian saling lepas, karena tidak ada elemen yang sama dari kedua kejadian tersebut. Rumusnya adalah:

P(A È B) = P(A) + P(B)

dimana:

A = kejadian jumlah mata dadu genap

B = kejadian jumlah mata dadu lebih dari 7

P(A) = peluang jumlah mata dadu genap = 18/36 = 1/2

P(B) = peluang jumlah mata dadu lebih dari 7 = 15/36 = 5/12

Maka:

P(A È B) = 1/2 + 5/12

P(A È B) = 17/24

Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu genap atau lebih dari 7 adalah 17/24.

Contoh soal 8

Sebuah koin dan sebuah dadu dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya gambar pada koin dan angka 5 pada dadu.

Jawab:

Peluang munculnya gambar pada koin dan angka 5 pada dadu adalah peluang kejadian saling bebas, karena hasil pelemparan koin tidak mempengaruhi hasil pelemparan dadu, dan sebaliknya. Rumusnya adalah:

P(A Ç B) = P(A) x P(B)

dimana:

A = kejadian munculnya gambar pada koin

B = kejadian munculnya angka 5 pada dadu

P(A) = peluang munculnya gambar pada koin = 1/2

P(B) = peluang munculnya angka 5 pada dadu = 1/6

Maka:

P(A Ç B) = 1/2 x 1/6

P(A Ç B) = 1/12

Jadi, peluang munculnya gambar pada koin dan angka 5 pada dadu adalah 1/12.

Contoh soal 9

Dari 30 siswa yang mengikuti ujian, 18 siswa lulus matematika, 15 siswa lulus bahasa Inggris, dan 12 siswa lulus keduanya. Jika dipilih satu siswa secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih tidak lulus matematika atau bahasa Inggris.

Jawab:

Peluang siswa yang terpilih tidak lulus matematika atau bahasa Inggris adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada siswa yang tidak lulus keduanya. Rumusnya adalah:

P(A' È B') = P(A') + P(B') - P(A' Ç B')

dimana:

A = kejadian siswa lulus matematika

B = kejadian siswa lulus bahasa Inggris

A' = kejadian siswa tidak lulus matematika

B' = kejadian siswa tidak lulus bahasa Inggris

P(A) = peluang siswa lulus matematika = 18/30 = 3/5

P(B) = peluang siswa lulus bahasa Inggris = 15/30 = 1/2

P(A Ç B) = peluang siswa lulus matematika dan bahasa Inggris = 12/30 = 2/5

P(A') = peluang siswa tidak lulus matematika = 1 - P(A) = 1 - 3/5 = 2/5

P(B') = peluang siswa tidak lulus bahasa Inggris = 1 - P(B) = 1 - 1/2 = 1/2

P(A' Ç B') = peluang siswa tidak lulus matematika dan bahasa Inggris = 1 - P(A È B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A Ç B)) = 1 - (3/5 + 1/2 - 2/5) = 1 - 7/10 = 3/10

Maka:

P(A' È B') = 2/5 + 1/2 - 3/10

P(A' È B') = 7/10

Jadi, peluang siswa yang terpilih tidak lulus matematika atau bahasa Inggris adalah 7/10.

Contoh soal 10

Sebuah kartu dipilih secara acak dari setumpuk kartu remi yang berisi 52 kartu. Tentukan peluang kartu yang terpilih adalah kartu hati atau kartu as.

Jawab:

Peluang kartu yang terpilih adalah kartu hati atau kartu as adalah peluang kejadian saling tidak lepas, karena ada kartu yang merupakan hati dan as.

Rumusnya adalah:

P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

dimana:

A = kejadian kartu hati

B = kejadian kartu as

P(A) = peluang kartu hati = 13/52 = 1/4

P(B) = peluang kartu as = 4/52 = 1/13

P(A Ç B) = peluang kartu hati dan as = 1/52

Maka:

P(A È B) = 1/4 + 1/13 - 1/52

P(A È B) = 16/52

Jadi, peluang kartu yang terpilih adalah kartu hati atau kartu as adalah 16/52.

Bagaimana, sudah jelas bukan belajar tentang nilai Probabilitas?

Demikianlah materi tentang Probabilitas.

Semoga bermanfaat.

01 Januari

Peluang Kejadian Majemuk dan Cara Menghitungnya (1)

Dan dirumuskan dengan :

P (A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

Peluang kejadian majemuk juga dapat disebut sebuah cara untuk memprediksi seberapa besar kemungkinan terjadinya suatu hal yang akan terjadi di masa datang. Contoh:

Jenis Peluang Kejadian Majemuk

Terdapat beberapa kejadian yang disebut sebagai kejadian majemuk. Berikut ini jenis-jenis peluang kejadian majemuk, antara lain:

1. Kejadian Majemuk Saling Lepas

Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika dua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain tidak saling terkait (tidak mempunyai irisan). Dirumuskan :

P(A Ç B) = 0

P(A È B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Majemuk Saling Tidak Lepas

P (A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

3. Kejadian Saling Bebas

Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika memenuhi :

P(A Ç B) = P(A) x P(B)

4. Kejadian Tidak Saling Bebas

Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas jika memenuhi :

P(A Ç B) = P(A) x P(BçA)

Agar kalian lebih paham tentang materi peluan kejadian, simak beberapa contoh berikut.

Contoh soal 1

Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian. Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau, kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada pengambilan kedua diperoleh bola biru. Ruang sampel kejadian pengambilan bola tersebut?

Jawab:

Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus berikut :

Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan, yang dinyatakan oleh P (A Ç B) adalah :

P(A Ç B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 2

Sebuah kotak berisi 10 bola yang diberi nomor 1 hingga 10. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola tersebut bernomor bilangan :

a. kelipatan 4 dan nomor 9;

b. ganjil dan genap

Jawab:

Contoh soal 3

Rani melempar dua buah dadu. Nilai semestanya adalah 36. Tentukan peluang muncul mata dadu yang berjumlah 2 atau 4.

Jawab:

Ruang sampel pelemparan dua dadu dapat digambarkan sebagai berikut.

n (S) = 36

A = munculnya mata dadu berjumlah 2

A = {(1, 1)}, n(A) = 1

B = munculnya mata dadu berjumlah 4

B = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, n(B) = 3

Kalau digambarkan pada diagram venn maka tidak ada anggota A dan B yang beririsan, seperti gambar di bawah ini.

Maka, menggunakan rumus peluang kejadian majemuk saling lepas.

Contoh soal 4

Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya kedua mata dadu yang habis dibagi 5 dan B adalah kejadian munculnya kedua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 2, maka tentukanlah P(A È B).

Jawab: