Dalam
kesempatan ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linear
kuadrat. Sistem persamaan linear kuadrat
dapat diartikan sebagai gabungan dari bentuk persamaa linear dua variabel dan
persamaan kuadrat dua variabel dimana penyelesaian antara kedua persamaan
tersebut memiliki keterkaitan. Dengan kata lain penyelesaian kedua persamaan
tersebut merupakan persekutuan dari keduanya.
Bentuk
umum sistem persamaan linear-Kuadrat dua variabel antara lain sebagai berikut.
ax + by + c = 0
y = ax2 +
bx + c
atau
ax + by + c = 0
px2 + qy2
+ rx + sy + t = 0
Dengan
x dan y adalah variabel.
Tujuan
dari menyelesaikan sistem persamaan linear-kuadrat ini adalah menentukan nilai
variabel yang mena merupakan dari kedua bentuk persamaan tersebut (Linear dan
Kuadrat). Jadi, jika x = x1 dan y = y1 merupakan
penyelesaian maka kedua persamaan tersebut akan menjadi suatu
kalimat/pernyataan yang benar.
Untuk
lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
CONTOH 1
Tentukan pennyelesaian sistem persamaan linear kuadrat y = x2 - 6x + 9 dan y +
x
= 5.
Jawaban:
Kali
ini akan menggunakan metode substitusi
Langkah 1.
Mengubah
x + y = 5 ke dalam fungsi y = f(x)
x
+ y = 5, maka y = 5 – x.
Langkah 2
Mensubstitusikan
y = 5 – x ke dalam persamaan y = x2 - 6x + 9.
Sehingga
diperoleh:
5 – x = x2 - 6x + 9
0 = x2 - 6x + 9 – (5 – x)
0 = x2 - 6x + 9 – 5 + x
0 = x2 - 5x + 4
Langkah 3
Menentukan
akar 0 = x2 - 5x + 4.
Sehingga
diperoleh:
x2 - 5x + 4 = 0
(x
– 1)(x – 4) = 0
x
- 1 = 0 maka x = 1
x
– 4 = 0 maka x = 4
Langkah 4
Menentukan
nilai y dengan mensubstitusikan nilai x = 1 dan x = 4.
Sehingga
diperoleh:
Untuk
x = 1 maka y = 5 – 1 = 4
Untuk
x = 4 maka y = 5 – 4 = 1
Jadi,
penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 - 6x + 9 dan y + x = 5
adalah {(1, 4),(4, 1)}.
CONTOH 2
Tentukan pennyelesaian sistem persamaan linear kuadrat y = x2 + 10x + 4 dan y = 3x - 6.
Jawaban:
Untuk
menyelesaikan ini bisa menggunakan metode eliminasi.
Langkah 1.
y
= x2 + 10x + 4
y
= 3x - 6
================ -
(kurangkan)
0 = x2
+ 7x + 10
Langkah 2
Menentukan
akar x2 + 7x + 10 = 0.
Sehingga
diperoleh:
x2 + 7x + 10 = 0
(x
+ 5)(x + 2) = 0
x
+ 5 = 0 maka x = -5
x
+ 2 = 0 maka x = -2
Langkah 3
Menentukan
nilai y dengan mensubstitusikan nilai x = -5 dan x = -2 ke persamaan y = 3x - 6
Sehingga
diperoleh:
Untuk
x = -5 maka y = 3(-5) – 6 = -15 – 6 = -21
Untuk
x = -2 maka y = 3(-2) – 6 = -6 – 6 = -12
Jadi,
penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 10x + 4 dan y = 3x – 6 adalah
{(-5, -21),(-2, 12)}.
CONTOH 3
Tentukan pennyelesaian sistem persamaan linear kuadrat y = 3x2 + 21x – 5 dan -10x + y = -1.
Jawaban:
Langkah 1.
Ubah
dahulu -10x + y = -1 ke dalam bentuk fungsi y = f(x)
-10x
+ y = -1 maka y = 10x – 1.
Langkah 2
Untuk
menyelesaikan ini bisa menggunakan metode eliminasi.
y
= 3x2 + 21x – 5
y
= 10x - 1
================ -
(kurangkan)
0 = 3x2
+ 11x – 4
Langkah 3
Menentukan
akar 3x2 + 11x – 4 = 0.
Sehingga
diperoleh:
3x2 + 11x – 4 = 0
(3x
- 1)(x + 4 ) = 0
3x
- 1 = 0 maka 3x = 1 dan x = 1/3
x
+ 4 = 0 maka x = -4
Langkah 3
Menentukan
nilai y dengan mensubstitusikan nilai x = 1/3 dan x = -4 ke persamaan y = 10x –
1
Sehingga
diperoleh:
Untuk
x = 1/3 maka y = 10(1/3) – 1 = 7/3
Untuk
x = -4 maka y = 10(-4) – 1 = -40 – 1 = -41
Jadi,
penyelesaian dari sistem persamaan y = 3x2 + 21x – 5 dan -10x + y = -1 adalah {(1/3, 7/3),(-4, -41)}.
CONTOH 4
Tentukan pennyelesaian sistem persamaan linear kuadrat y = x2 + 4x – 5 dan 2y - 5x = -1.
Jawaban:
Kali
ini akan menggunakan metode substitusi
Langkah 1.
Dipunyai
y = x2 + 4x – 5 dan 2y - 5x = -1.
Mensubstitusikan
y = x2 + 4x – 5 ke dalam
persamaan 2y - 5x = -1.
Sehingga
diperoleh:
2(x2 + 4x – 5) - 5x = -1
2x2 + 8x – 10
- 5x = -1
2x2 + 3x – 10 =
-1
2x2 + 3x – 9 =
0
Langkah 2
Menentukan
akar 2x2
+ 3x – 9 = 0.
Sehingga
diperoleh:
2x2 + 3x – 9 = 0
(2x
– 3)(x + 3) = 0
2x
– 3 = 0 maka x = 3/2
x
+ 3 = 0 maka x = -3
Langkah 3
Menentukan
nilai y dengan mensubstitusikan nilai x = 3/2 dan x = -3 ke persamaan y = x2
+ 4x – 5.
Sehingga
diperoleh:
Untuk
x = 3/2 maka y = (3/2)2 + 4(3/2) – 5 = 9/4 + 6 – 5 = 13/4
Untuk
x = -3 maka y = (-3)2 + 4(-3) – 5 = 9 –
12 – 5 = -8.
Jadi,
penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 4x – 5 dan 2y - 5x = -1 adalah
{(3/2, 13/4),(-3, -8)}.
CONTOH 5
Tentukan pennyelesaian sistem persamaan linear kuadrat y = x2 + 2x – 4 dan 2y + 3x = 7.
Jawaban:
Kali
ini akan menggunakan metode substitusi
Langkah 1.
Dipunyai
y = x2 + 2x – 4 dan 2y + 3x = 7.
Mensubstitusikan
y = x2 + 2x – 4 ke dalam persamaan 2y + 3x = 7.
Sehingga
diperoleh:
2(x2 + 2x – 4) + 3x = 7
2x2 + 4x – 8 +
3x = 7
2x2 + 7x – 15
= 0
Langkah 2
Menentukan
akar 2x2
+ 7x – 15 = 0.
Sehingga
diperoleh:
2x2 + 7x – 15 = 0
(2x
– 3)(x + 5) = 0
2x
– 3 = 0 maka x = 3/2
x
+ 5 = 0 maka x = -5
Langkah 3
Menentukan
nilai y dengan mensubstitusikan nilai x = 3/2 dan x = -5 ke persamaan y = x2
+ 2x – 4.
Sehingga
diperoleh:
Untuk
x = 3/2 maka y = (3/2)2 + 2(3/2) – 4 = 9/4 + 3 – 4 = 5/4
Untuk
x = -5 maka y = (-5)2 + 2(-5) – 4 = 15 –
10 – 4 = 1.
Jadi,
penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + 4x – 5 dan 2y - 5x = -1 adalah
{(3/2, 5/4),(-5, 1)}.
Demikianlah
sekilas materi cara menentukan sistem persamaan yang Linear Kuadrat yang dapat dilakukan dengan cara
elimisi dan substitusi,
Semoga
Bermanfaat
No comments:
Post a Comment