Penerapan Integral Dalam Menentukan Persamaan Fungsi

Dalam kesempatan ini mari mempelajari penerapan integral dalam menentukan persamaan grafik fungsi. Dalam menentukan persamaan grafik fungsi ini didasari oleh pengetahuan tentang gradien suatu kurva di suatu titik. Ingat bahwa dalam menentukan gradien suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara menentukan turunan fungsi dari persamaan grafiknya. Oleh karena Integral merupakan kebalikan dari turunan (derivatif), maka untuk menentukan grafik fungsi dapat dilakukan dengan mengintegralkan fungsi gradiennya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut.

Contoh 1

Diketahui suatu kurva memiliki gradien di setiap titik adalah m = 2x + 3. Kurva tersebut melalui titik (-2, 4). Tentukan persamaan kurva (grafik tersebut).

Jawaban:

Diketahui gradien : y' = m = 2x + 3

Untuk menentukan persamaan kurva, Integralkan fungsi gradien tersebut.

Misalkan fungsi atau persamaan kurvanya adalah y = f(x).

Maka:

f(x) = x² + 3x + C

Langkah selanjutnya menentukan nilai C (Konstanta Integrasi)

Kurva tersebut melalui titik  (-2, 4). Dengan mensubstitusikan nilai x dan y maka diperoleh:

4 = 2² + 3(2) + C

4 = 4 + 6 + C

C = -6

Jadi,persamaan kurva adalah f(x) = x² + 3x – 6.

Contoh 2

Diketahui suatu kurva memiliki gradien di setiap titik adalah m = 4x - 5. Kurva tersebut melalui titik (3, 7).

a. tentukan persamaan kurva (grafik tersebut)

b. Titik potong terhadap Sumbu Y

Jawaban:

a. Diketahui gradien : y' = m = 4x - 5

Untuk menentukan persamaan kurva, Integralkan fungsi gradien tersebut.

Misalkan fungsi atau persamaan kurvanya adalah y = f(x).

Maka:

f(x) = 2x² - 5x + C

Langkah selanjutnya menentukan nilai C (Konstanta Integrasi)

Kurva tersebut melalui titik  (3, 7). Dengan mensubstitusikan nilai x dan y maka diperoleh:

7 = 2×3² - 5(3) + C

7 = 18 – 15 + C

7 = 3 + C

C = 4

Jadi, persamaan kurva adalah f(x) = 2x² - 5x + 4.

b. Menentukan titik potong terhadap sumbu Y.

Memotong sumbu Y, berarti nilai x = 0.

y = f(x) = 2x² - 5x + 4

y = 2(0)² – 5(0) + 4

= 4

Jadi, titik kurva memotong sumbu Y di titik (0, 4).

Contoh 3

Diketahui suatu kurva fungsi Kuadrat memiliki gradien di setiap titik adalah m = 6x + p. Kurva tersebut melalui titik puncak (2, 9).

a. tentukan persamaan kurva (grafik tersebut)

b. Titik potong terhadap Sumbu Y

Jawaban:

a. Diketahui gradien : y' = m = 6x + p dan titik puncak (2, 9).

Jika suatu kurva kuadrat memiliki titik pucak (x_p, y_p), maka sumbu simetrinya adalah x_p. Suatu turunan fungsi dapat digunakan unttuk menentukan absis pada titik puncak dan sumbu simetri.

Pada soal diketahui absis titik puncak = 2. Untuk menentukan absisnya gunakan turunan fungsi y = f(x) sehingga y'(x) = 0.

 

Maka diperoleh hubungan sebagai berikut.

y' = 0

y' = 6x + p

0 = 6(2) + p

0 = 12 + p

p = -12

Dengan demikian diperoleh gradien m = 6x - 12.

Untuk menentukan persamaan kurva, Integralkan fungsi gradien tersebut.

Misalkan fungsi atau persamaan kurvanya adalah y = f(x).

Maka:

f(x) = 3x² - 12x + C

Langkah selanjutnya menentukan nilai C (Konstanta Integrasi)

Kurva tersebut melalui titik  puncak (2, 9). Dengan mensubstitusikan nilai x dan y maka diperoleh:

9 = 3 × 2² - 12(2) + C

9 = 12 – 24 + C

9 = -12 + C

C = 21

Jadi, persamaan kurva adalah f(x) = 3x² - 12x + 21.

Masih banyak permasalahan dan penerapan integral dalam konsep matematika, misalnya berkaitan dengan jarak dan kecepatan, gaya, dan dalam ekonomi.

Demikianlah sekilas materi tentang penerapan Integral dalam menentukan persamaan grafik fungsi.

Semoga Bermanfaat.