Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan Persamaan Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.

Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6 
jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3
Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.

Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Misalnya seperti berikut.

Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.

Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.

Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

Jawaban:
Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 - 5 = -2
   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}

2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 - 3
                                       2x = 2  <==>  x = 1
   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3
                                         2x = -8  <==> x = -4
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}

3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1

Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (x + 1) + 2x = 7
                   3x = 7 - 1
                   3x = 6
                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(x + 1) + 2x = 7
        -x - 1 + 2x = 7
                      x = 7 + 1                
                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

 4. 
Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3

Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (3x + 4) = x - 8
        3x - x = -8 - 4
             2x =-12
               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(3x + 4) = x - 8
        -3x - 4 = x -8
         -3x - x = -8 + 4
              -4x = -4
                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)

Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .
Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.

Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.








Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
    -9 < x+7 < 9
    -9 - 7 < x < 9 - 7
       -16 < x < 2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
   (*) 2x - 1 >=  7
             2x  >=  7 + 1
             2x  >= 8
               x  >= 4

  (**) 2x - 1 <= -7
             2x   <= -7 + 1
             2x   <= -6
               x   <= -3
  
    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.

(x + 3)² <= (2x – 3)²

(x + 3)² - (2x – 3)² <= 0

(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a² – b² = (a+b)(a-b))

x (6 - x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.

Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3  ......(1)
   (3x + 1) - (2x + 4) < 10
          3x + 1 - 2x- 4 < 10
                         x- 3 < 10
                             x < 13 .......(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13

2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ......(1)
    -(3x + 1) - (2x + 4) < 10
          -3x - 1 - 2x - 4 < 10
                       -5x - 5 < 10
                             -5x < 15 
                               -x < 3
                             x > 3 .......(2)

  Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.

3. Untuk batasan x < -2  ......(1)
   -(3x + 1) + (2x + 4) < 10
         -3x - 1 + 2x + 4 < 10
                        -x + 3 < 10
                             -x  < 7
                                x > -7 .......(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.

VIDEO TUTORIAL  Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak #1

VIDEO TUTORIAL  Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak #2

VIDEO TUTORIAL  Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak #1

VIDEO TUTORIAL  Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak #2

[VIDEO TUTORIAL] Cara Mudah Menyelesaikan Persamaan Mutlak Satu Variabel yang Memuat Dua Tanda Mutlak

[VIDEO TUTORIAL] Cara Mudah Menyelesaikan Persamaan Mutlak Satu Variabel yang Memuat Tiga Tanda Mutlak

[VIDEO TUTORIAL] Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Mutlak Satu Variabel yang Memuat Dua Tanda Mutlak

[VIDEO TUTORIAL] Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Mutlak Satu Variabel yang Memuat Tiga Tanda Mutlak 

Menyelesaikan Masalah Tentang Kesebangunan dan Kekongruenan

1. Kesebangunan

Kesebangunan dan kekongruenan merupakan materi pelajaran di kelas 3 SMP. Kesebangunan dan kekongruenan termasuk kategori geometri dan pengukuran.
Coba perhatikan hal-hal di sekitarmu.
Lihatlah layar televisi yang menayangkan sesuatu. Ketika disitu tampak gambar, pasti persis dengan apa yang terjadi sebenarnya saat itu. Misalnya ada gambar mobil. Mobil itu pasti persis dengan aslinya. Cuma berbeda pada ukurannya. Mobil yang asli tidak mungkin masuk TV, jadi yang ada di TV itu mobil yang diperkecil ukurannya. iya kan...

Sekarang lihat lah hasil foto kamu. Aslinya kamu kan besar. Setelah difoto, kamu tampak kecil. Namun demikian, ukuran tinggi dan gemuk/kurusnya sama persis kan?
Dua permasalahan tersebut  merupakan proses pengecilan dari benda yang sebenarnya. 
Kesebangunan pada hakekatnya adalah prosese pengecilan atau perbesaran dari objek/benda dengan ukuran tertentu. Jadi, perbandingan pada unsur-unsur yang mengalami perubahan dengan yang mula-mula memiliki nilai sama.

Secara Matematika, dua bangun dikatakan sebangun apabila mempunyai syarat seperti dibawah ini.
1. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama besar.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Perhatikan Contoh  berikut.

Perhatikan sisi-sisi pada persegi panjang ABCD dan EFGH.
AB bersesuaian dengan EF
AD bersesuaian dengan EH
Mari selidiki perbandingannya.
EG /AB = 6/12 = 1/2
EH/AD = 4/8 = 1/2


Keempat sudutnya yang bersesuaian juga sama.
Oleh karena perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama, maka kedua persegi panjang ABCD dan EFGH tersebut sebangun.

Perhatikan lagi yang ini.

Perhatikan sisi-sisi yang bersesuaian antara persegi panjang ABCD dan KLMN.
AB bersesuaian dengan KL
AD bersesuaian dengan KN



KL/AB = 6/14 = 3/7
KN/AD = 4/10 = 2/5
Tampak bahwa nilai perbandingannya tidak sama.
Jadi, persegi panjang ABCD dan persegi panjang KLMN tidak sebangun.

Kita lanjutkan dengan kesebangunan pada trapesium

Diketahui trapesium ABCD dan KLMN sebangun. Tentukan panjang KN.

Jawaban:
Kedua trapesium di atas sebangun, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
Sisi AB sebangun dengan sisi KL.
Sisi AD sebangun dengan sisi KN.
Untuk menentukan panjang KN dihitung dengan cara berikut.

Jadi, panjang KN = 4,8 cm.


2. Kesebangunan pada Segitiga

Dua segitiga yang sebangun mempunyai syarat-syarat sebagai berikut.
1. Sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama.
2. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian besarnya sama.
Untuk lebihnya perhatikan segitiga yang sebangun di bawah ini.

Perhatikan segitiga di atas.
Kedua segitiga di atas tampak mempunyai sudut-sudut yang sama besar.
Sisi AB bersesuaian dengan sisi KL
Sisi AC bersesuaian dengan sisi KN
Sisi BC bersesuaian dengan sisi LM 

Diperoleh hubungan/perbandingan berikut.

Mari perhatikan contoh permasalahan kesebangunan segitiga berikut.

Contoh 1
Perhatikan bangun di bawah ini.

Tentukan panjang AE dan BE.







Jawaban:
Perhatikan segitiga ABE dan segitiga CDE. Tampak bahwa sudut dalam kedua segitiga tersebut bersesuaian.
<ABE = < DCE
<BEA = < CED (Bertolak belakang)
<EAB = <EDC
Dengan demikian Segitiga ABE dan segitiga CDE sebangun.
Selanjutnya menentukan panjang AE dan BE dengan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. 

Jadi, panjang BE = 9 cm dan AE = 12 cm.

Contoh 2
Perhatikan gambar di bawah ini.

 Tentukan panjang AB dan AC.

Jawaban:
Berdasarkan gambar di atas, tampak segitiga ABC dan segitiga AED sebangun. besar sudut-sudut dalam segitiga kedua segitiga tersebut sama.
Perhatikan kesesuaian sudut-sudut dalam segitiga ABC dan AED.
<CAB =< DAE (setitik sudut)
<ABC = < AED (sehadap)
< BCA = < EDA (Sehadap)
dengan demikian diperoleh hubungan sisi-sisi yang bersesuaian sebagai berikut.
Sisi AB bersesuaian dengan sisi AE
Sisi BC bersesuaian dengan sisi ED
Sisi AC bersesuaian dengan sisi AD
Akhirnya diperoleh hubungan perbandingan sebagai berikut.

Dengan demikian dapat dicari panjang AB dan AC sebagau berikut.

Dengan demikian diperoleh panjang AB = 11,67 cm dan AC = 15 cm.