Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

 Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dua variabelnya memiliki eksponen (berpangkat) 1. Sistem persamaan dengan dua variabel memiliki solusi tunggal, tidak ada solusi, atau solusi tak terhingga banyaknya. Sistem persamaan linear mungkin memiliki jumlah variabel 'n'. Hal penting yang perlu diingat saat menyelesaikan persamaan linear dengan jumlah variabel n adalah harus ada n persamaan untuk menyelesaikan dan menentukan nilai variabel.

 

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan aljabar yang berbentuk (atau dapat diubah menjadi bentuk) y = mx + b, di mana m adalah gradien dan b adalah intersep (perpotongan terhadap sumbu) Y. Persamaan tersebut adalah persamaan linear (orde pertama).

Contoh persamaan linear dua variable antara lain: y = 2x + 3, 2y = 4x + 9, 2x – 5y = 12.

 

Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel?

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang masing-masing dari dua variabelnya memiliki orde tertinggi (eksponen) 1 dan mungkin memiliki satu, tidak ada, atau solusi tak terhingga banyaknya. Bentuk baku persamaan linear dua variabel adalah ax + by + c = 0 dengan x dan y adalah dua variabel. Solusinya juga dapat ditulis dalam pasangan berurutan seperti (x, y). Representasi grafis dari pasangan persamaan linear dua variabel mencakup dua garis lurus yang dapat berupa: garis berpotongan, garis sejajar atau garis berimpit.

 

Bentuk Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel dapat berada dalam berbagai bentuk seperti bentuk baku, bentuk perpotongan, dan bentuk titik-kemiringan. Misalnya, persamaan yang sama 2x + 3y = 9 dapat direpresentasikan dalam setiap bentuk seperti 2x + 3y – 9 = 0 (bentuk standar), y = (-2/3)x + 3 (bentuk kemiringan-intersep), dan y - 5/3 = -2/3(x + (-2)) (bentuk titik-kemiringan). Perhatikan gambar di bawah ini yang menunjukkan ketiga bentuk representasi persamaan linear dua variabel dengan contoh.

Sistem persamaan berarti kumpulan persamaan dan persamaan tersebut juga disebut sebagai persamaan linear simultan. Kita akan mempelajari cara menyelesaikan pasangan persamaan linear dalam dua variabel menggunakan metode yang berbeda.

 

Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel

Ada lima metode/cara untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Metode Grafik

Metode Substitusi

Metode Perkalian Silang

Metode Eliminasi

Metode Determinan

 

Metode Grafik untuk Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel secara grafis diberikan di bawah ini:

Langkah 1: Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dua variabel secara grafis, kita buat grafik setiap persamaan. Untuk mengetahui caranya, klik di sini atau ikuti langkah 2 dan 3 di bawah ini.

Langkah 2: Untuk membuat grafik persamaan secara manual, pertama-tama ubah persamaan tersebut ke bentuk y = mx+b dengan menyelesaikan persamaan untuk y.

Langkah 3: Mulailah memasukkan nilai x sebagai 0, 1, 2, dan seterusnya dan temukan nilai y yang sesuai, atau sebaliknya.

Langkah 4: Identifikasi titik pertemuan kedua garis.

Langkah 5: Titik potong adalah solusi dari sistem yang diberikan.

Contoh: Temukan solusi dari sistem persamaan berikut secara grafis.

 

-x + 2y - 3 = 0

3x + 4y – 11 =0

 

Solusi: Kita akan menggambar grafiknya dan melihat apakah keduanya berpotongan di suatu titik. Seperti yang dapat Anda lihat di bawah, kedua garis bertemu di (1, 2). Jadi, solusi dari sistem persamaan linear yang diberikan adalah x = 1 dan y = 2.

 

Namun, kedua garis tersebut mungkin tidak selalu berpotongan. Terkadang keduanya mungkin sejajar. Dalam kasus tersebut, pasangan persamaan linear dalam dua variabel tidak memiliki solusi. Dalam beberapa kasus lain, kedua garis tersebut berimpit satu sama lain. Dalam kasus tersebut, setiap titik pada garis tersebut merupakan solusi dari sistem yang diberikan dan karenanya sistem yang diberikan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

 

Sistem Persamaan Linear Konsisten, Tidak Konsisten, Independen, dan Dependen.

Jika sistem tersebut memiliki solusi, maka dikatakan konsisten. jika tidak memiliki solusi, dikatakan tidak konsisten.

Jika sistem tersebut memiliki satu solusi tunggal, maka sistem tersebut independen.

Jika sistem tersebut memiliki jumlah solusi tak terbatas, maka sistem tersebut dependen. Artinya, satu variabel bergantung pada variabel lainnya.

 

Perhatikan sistem persamaan linear: a₁x + b₁y + c₁ = 0 dan a₂x + b₂y + c₂ = 0. Di sini kita dapat memahami kapan sistem linear dua variabel konsisten/tidak konsisten dan independen/dependen.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode eliminasi, kita akan menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Susun persamaan dalam bentuk standar: ax + by + c = 0 atau ax + by = c.

Langkah 2: Periksa apakah dengan penambahan atau pengurangan persamaan akan mengakibatkan penghapusan variabel.

Langkah 3: Jika tidak, kalikan satu atau kedua persamaan dengan koefisien x atau y sehingga penambahan atau pengurangannya akan mengakibatkan penghapusan salah satu variabel.

Langkah 4: Selesaikan persamaan variabel tunggal yang dihasilkan.

Langkah 5: Substitusikan ke salah satu persamaan yang diberikan untuk mendapatkan nilai variabel lain.

 

Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi.

 

2x + 3y – 11 = 0

3x + 2y – 9 = 0

 

Penambahan atau pengurangan kedua persamaan ini tidak akan mengakibatkan penghapusan variabel apa pun. Mari kita coba menghilangkan variabel x. Koefisien x dalam kedua persamaan adalah 2 dan 3. KPK-nya adalah 6. Kita akan membuat koefisien x dalam kedua persamaan menjadi 6 sehingga suku-suku x saling meniadakan ketika kita mengurangkan persamaan tersebut.

 

2x + 3y – 11 = 0  (x3)  6x + 9y – 33 = 0 

3x + 2y – 9 = 0    (x2)  6x + 4y – 18 = 0   

 

Sekarang kita akan mengurangkan kedua persamaan ini:

⇒ 5y – 15 = 0

⇒ 5y = 15

⇒ y = 3

 

Substitusikan y = 3 ke salah satu dari dua persamaan yang diberikan dan menentukan nilai  variabel x.

2x + 3y - 11=0

⇒ 2x + 3(3) – 11 = 0

⇒ 2x + 9 – 11 = 0

⇒              2x = 2

⇒                x = 1

 

Oleh karena itu, solusi dari sistem persamaan di atas adalah x = 1 dan y = 3.

Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Metode Substitusi

Untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua variabel menggunakan metode substitusi, kita harus menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Selesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel.

Langkah 2: Substitusikan persamaan ini ke persamaan lain untuk mendapatkan persamaan dalam satu variabel.

Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk variabel tersebut.

Langkah 4: Substitusikan persamaan ini ke persamaan mana pun untuk mendapatkan nilai variabel lain.

 

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan metode substitusi.

x + 2y – 7 = 0

2x - 5y + 13 = 0

 

Solusi: Mari kita selesaikan persamaan, x + 2y – 7 = 0 untuk y:

x + 2y – 7 = 0

⇒ x = 7 – 2y

Substitusikan x = 7 – 2y ke persamaan, 2x – 5y + 13 = 0.

2x - 5y + 13 = 0

⇒ 2(7 – 2y) - 5y + 13 = 0

⇒ 14 – 4y – 5y + 13 = 0

⇒                   -9y + 27 = 0

⇒                       9y = 27

⇒                         y = 3

 

Substitusikan y = 3 ini ke persamaan x = 7 – 2y

x = 7 – 2(3) = 7 – 6 = 1

Oleh karena itu, solusi dari sistem yang diberikan adalah x = 1 dan y = 3.

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

 Persamaan linear adalah persamaan garis lurus yang pangkat variabelnya adalah 1. Persamaan ini dinyatakan sebagai ax + b = 0, dengan x adalah variabel dan a dan b adalah bilangan rasional atau bilangan bulat. Pertidaksamaan adalah pernyataan perbandingan antara dua persamaan. Pertidaksamaan Linear adalah dua persamaan yang nilainya dibandingkan dengan simbol pertidaksamaan seperti <, >, ≤ atau ≥. Persamaan dan Pertidaksamaan linear satu variabel hanya memiliki satu solusi atau satu akar.

Contoh persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable:

2x = 4

2a + 3 = 9

3m + 7 < -2

4p - 5 > 2p + 11,     dan  dst.

 

Apa itu Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel?

Persamaan aljabar adalah pernyataan yang menyamakan dua ekspresi matematika. Persamaan linear adalah persamaan tingkat pertama dan memiliki eksponen variabel tertinggi yaitu 1. Bentuk baku persamaan linear dengan satu variabel adalah ax + b = 0, di mana x adalah variabel. Ini berarti bahwa variabel dalam persamaan linear tidak memiliki eksponen seperti kuadrat (pangkat dua) atau kubik (pangkat tiga). Persamaan ini memiliki satu variabel (tidak diketahui); persamaan ini berbentuk linear, yaitu pola yang dibuatnya berupa garis lurus (bukan parabola atau kurva tidak lurus) dan merupakan persamaan atau pertidaksamaan.

Berikut adalah contoh persamaan linear y = 2x + 3 yang diplot pada grafik sebagai garis lurus.

 Berikut adalah grafik lain yang menunjukkan grafik pertidaksamaan. Grafik pada garis biru ini menunjukkan x ≥ - 4.

Setiap persamaan atau pertidaksamaan matematika memiliki 2 sisi. Sisi Kiri dan Sisi Kanan. Dalam kasus persamaan, 2 sisinya sama, yaitu, Sisi Kiri sama dengan Sisi Kanan. Misalnya, 2 tambah 4 sama dengan enam adalah persamaan yang dinyatakan dalam kata-kata.

Contoh persamaan linear dalam satu variabel: x + 5 = 4; 2x + 5 = 15.

Cara terbaik untuk memvisualisasikan persamaan dan pertidaksamaan adalah dengan membayangkan timbangan.

Perhatikan persamaan yang digambarkan dengan timbangan berikut.

Pertidaksamaan linear aljabar mirip dengan persamaan linear aljabar. Yang membedakan hanya tanda sama dengan diganti dengan tanda pertidaksamaan. Dalam kasus pertidaksamaan, alih-alih persamaan, beberapa hubungan lain seperti kurang dari atau lebih besar dari ada antara sisi kiri dan sisi kanan.Contoh: x < 10, pertidaksamaan berlaku antara sisi kiri dan sisi kanan.

 Berikut adalah contoh pertidaksamaan di mana sisi kanan ≠ sisi kiri. Dalam ilustrasi di bawah ini kita dapat melihat bahwa ekspresi di sisi kiri, yaitu, 3x - 4, sebenarnya lebih kecil daripada angka di sisi kanan, yaitu 20. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan pertidaksamaan sebagai: 3x - 4 < 20.

Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Ketika kita mensubstitusikan variabel dengan bilangan bulat, pernyataan yang dihasilkan bisa bernilai benar atau salah. Jika pernyataan itu benar, maka bilangan bulat tersebut adalah solusi untuk persamaan atau pertidaksamaan tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan linear yang hanya memiliki satu variabel, ikuti langkah-langkah berikut sambil tetap menyeimbangkan persamaan tersebut.

Langkah-langkahnya sebagai berikut.

1.    Menambahkan atau mengurangi suku-suku yang sama

2.    Mengelompokkan variabel

3.    Mengubah atau menghilangkan (mengeliminasi) suku-suku tersebut

4.    Memverifikasi/mengecek jawaban.

 

Contoh: 1)

Menyelesaikan: 5x + 2 = 12

Pertahankan variabel di sisi kiri dan ubah semua suku lainnya atau konstanta ke sisi kanan. Ingat: Ketika memindahkan suku atau konstanta, lawankan tandanya.

5x = 12 - 2

5x = 10

 x = 2  (Kedua ruas dibagi 5)

 

Verifikasi atau cek apakah x = 2 dalam persamaan linear yang diberikan.

 

Contoh: 2)

Selesaikan: 2(2 – 4x) > -6x + 10

Pertahankan variabel di sisi kiri dan ubah semua suku lainnya atau konstanta ke sisi kanan. Ingat: Ketika memindahkan suku atau konstanta, lawankan tandanya.

2(2 – 4x) > -6x + 10

    4 – 8x > -6x + 10     (Jabarkan perkalian di dalam kurung)

 -8x + 6x > 10 – 4        (Suku-suku sejenis digabungkan dengan pindah ruas)

         -2x > 6

         2x > -6              (Kedua ruas dikalikan -1 dan tanda ketidaksamaan dibalik)

           x < -3              (Kedua ruas dibagi 2)

 

Verifikasi atau cek apakah x < -3 dalam persamaan linear yang diberikan.

Demikianlah sekilas materi persamaan dan pertidaksamaan satu variable.

Semoga Bermanfaat.

FUNGSI LOGARITMA _ Dasar

 Fungsi logaritma merupakan media penting dalam perhitungan matematika. Logaritma ditemukan pada abad ke-16 oleh John Napier, seorang matematikawan, ilmuwan, dan astronom Skotlandia. Fungsi ini memiliki banyak aplikasi dalam perhitungan astronomi dan ilmiah yang melibatkan angka-angka besar. Fungsi logaritma berkaitan erat dengan fungsi eksponensial dan dianggap sebagai kebalikan dari fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial a^x = N diubah menjadi fungsi logaritma ^alog N = x.

Logaritma dari setiap angka N jika diartikan sebagai bentuk eksponensial, maka eksponen yang harus dinaikkan basis logaritmanya. Hal ini untuk memperoleh angka N. Tujuan kita di sini adalah untuk mengetahui lebih lanjut tentang fungsi logaritma, jenis-jenis logaritma, grafik fungsi logaritma, dan sifat-sifat logaritma.

 

Apa itu Fungsi Logaritma?

Fungsi logaritma dasar berbentuk f(x) = ^alog x atau y = ^alog x, di mana a > 0. Fungsi ini merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial a^y = x. Fungsi logaritma mencakup logaritma natural (ln) atau logaritma umum (log). Berikut ini adalah beberapa contoh fungsi logaritma:

 

f(x) = ln (x - 2)

g(x) = ²log (x + 5) - 2

h(x) = 2 log (x² – 4)

 

Beberapa nilai eksponen dapat dihitung dengan mudah menggunakan fungsi logaritma. Menemukan nilai x dalam ekspresi eksponensial 2^x = 8, 2^x = 16 sangat mudah dilakukan. Akan tetapi menemukan nilai x dalam 2^x = 10 atau 3^x = 36 sangat sulit. Di sini kita dapat menggunakan fungsi logaritma untuk mengubah 2^x = 10 menjadi bentuk logaritma sebagai ²log 10 = x dan kemudian menemukan nilai x. Logaritma menghitung jumlah kemunculan basis dalam kelipatan berulang. Rumus untuk mengubah fungsi eksponensial menjadi fungsi logaritma adalah sebagai berikut.

 

Fungsi eksponensial dalam bentuk a^x = N dapat diubah menjadi fungsi logaritma ^alog N = x. Logaritma umumnya dihitung dengan basis 10, dan nilai logaritma dari angka apa pun dapat ditemukan menggunakan tabel logaritma Napier. Logaritma dapat dihitung untuk bilangan bulat positif, pecahan, desimal, tetapi tidak dapat dihitung untuk nilai negatif.

 

Domain dan Range Fungsi Logaritma

Mari kita perhatikan fungsi logaritma umum dasar (induk) f(x) = log x (atau y = log x). Kita tahu bahwa log x didefinisikan hanya ketika x > 0. Coba carilah nilai log 0, log (-1), log (-2), dan log (-18) menggunakan kalkulator Anda. Apa yang terjadi? Anda akan mendapatkan kesalahan. Jadi, domain adalah himpunan semua bilangan riil positif. Sekarang, kita akan mengamati beberapa nilai y (output) dari fungsi untuk nilai x (input) yang berbeda.

 

Ketika x = 1, maka nilai y = log 1 = 0

Ketika x = 2, maka nilai y = log 2 = 0,3010

Ketika x = 0,2, maka nilai y = log (0,2) = -0,6990

Ketika x = 0,01, maka nilai y = log (0,01)=  -2, dst.

Kita dapat melihat bahwa y dapat berupa bilangan riil positif atau negatif (atau) dapat juga nol. Jadi, y dapat mengambil nilai dari bilangan riil apa pun. Oleh karena itu, rentang fungsi logaritma adalah himpunan semua bilangan riil.

 

Jadi, domain fungsi log y = log x adalah x > 0 (atau) (0, ∞). Rentang nilai fungsi logaritma apa pun adalah himpunan semua bilangan riil (R)

Contoh:

Carilah domain dan rentang fungsi logaritma f(x) = ²log (2x - 4) + 5.

Solusi:

Untuk mencari domain, tetapkan argumen fungsi lebih besar dari 0 dan selesaikan untuk x.

 

2x - 4 > 0

     2x > 4

      x > 2

Jadi, domain = (2, ∞).

 

Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, rentang nilai fungsi logaritma apa pun adalah R. Jadi, rentang f(x) adalah R.

 

Grafik Logaritma

Kita telah melihat bahwa domain fungsi logaritma dasar y = ^alog x adalah himpunan bilangan riil positif dan rentangnya adalah himpunan semua bilangan riil. Kita tahu bahwa fungsi eksponensial dan log merupakan invers satu sama lain dan karenanya grafiknya simetris terhadap garis y = x. Perhatikan juga bahwa y = 0 ketika x = 0 karena y = ^alog 1 = 0 untuk sembarang 'a'. Jadi, semua fungsi tersebut memiliki titik potong x (1, 0). Fungsi logaritma tidak memiliki titik potong y karena ^alog 0 tidak didefinisikan. Merangkum semua ini, grafik fungsi eksponensial dan grafik logaritma terlihat seperti di bawah ini.

 

Sifat-Sifat Grafik Logaritma

Untuk a > 0 dan a ≠ 1

Grafik logaritma meningkat ketika a > 1, dan menurun ketika 0 < a < 1.

Domain diperoleh dengan menetapkan argumen fungsi lebih besar dari 0.

Range adalah himpunan semua bilangan riil.

 

Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

Sifat-Sifat fungsi logaritma berguna untuk bekerja di seluruh fungsi logaritma yang kompleks. Semua operasi aritmatika umum di seluruh angka diubah menjadi serangkaian operasi yang berbeda dalam logaritma. Hasil perkalian dua bilangan, jika diambil dalam fungsi logaritma sama dengan jumlah nilai logaritma kedua fungsi tersebut. Demikian pula, operasi pembagian diubah menjadi selisih logaritma kedua bilangan tersebut. Mari kita daftarkan sifat-sifat penting fungsi logaritma pada poin-poin di bawah ini.

Demikian sedikit tentang pengenalan logaritma.

Semoga bermanfaat.

Fungsi dan Komposisi Fungsi

Komposisi Fungsi adalah proses atau operasi yang menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi. Kita mendefinisikan fungsi sebagai serangkaian operasi yang beroperasi pada serangkaian nilai dan memberikan keluaran yang diinginkan. Misalkan f adalah fungsi, katakanlah fungsi yang menggambar sketsa buah yang namanya kita masukkan, di sini, nama yang kita berikan adalah nilai masukan dan sketsa buah adalah nilai keluaran. Demikian pula, bayangkan fungsi lain g yang mewarnai sketsa yang diberikan.

 

Sekarang komposisi fungsi mengambil dua fungsi dan menjadikannya satu fungsi, kita mendefinisikan fungsi ini sebagai g[f(nama buah)].

Dalam hal ini : f(nama buah) adalah fungsi pertama

                     g(sketsa buah) adalah fungsi kedua

                     g[f(nama buah)] adalah komposisi kedua fungsi ini

Mari pelajari tentang Komposisi Fungsi, perhitungannya, domain, dan rentangnya secara terperinci dalam artikel ini.

 

Apa itu Komposisi Fungsi?

Komposisi fungsi adalah pembuatan atau pembentukan fungsi kompleks menggunakan fungsi sederhana. Misalkan kita mengambil dua fungsi f(x) dan g(x) yang keduanya mengambil x sebagai nilai input dan memberikan output spesifik, maka komposisi fungsi f(x) dan g(x) ketika f(x) pertama kali dihitung adalah g(f(x)) atau (g∘f)(x). Jika g(x) pertama kali dihitung, maka komposisinya f(x) dan g(x) adalah f(g(x)). Kita dapat memahami konsep ini dengan contoh berikut,

 

Contoh:

Diketahui f(x) = 4x dan g(x) = 2x + 3. Tentukan komposisi g(f(x)) dan f(g(x)).

Jawab:

g(f(x)) = 2f(x) + 3

          = 2(4x) + 3

          = 8x + 3

Jadi, g(f(x)) = 8x + 3

 

f(g(x)) = 4g(x)

           = 4(2x + 3)

           = 8x + 12

Jadi, f(g(x)) = 8x + 12

 

Nah, beda hasilnya ‘kan?

 Perhatikan bahwa g(f(x)) tidak sama dengan f(g(x)), keduanya bisa atau tidak bisa sama tergantung pada fungsi f(x) dan g(x). Komposisi suatu fungsi juga disebut fungsi dari suatu fungsi. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa,

 Untuk f(g(x)) dapat dimaknai g(x) adalah input dari fungsi f(x).

Untuk g(f(x)) dapat dimaknai f(x) adalah input dari fungsi g(x).

Kita dapat memahami konsep ini dengan bantuan gambar di bawah ini. 

Simbol Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi direpresentasikan menggunakan simbol ∘. Kita juga dapat merepresentasikan komposisi fungsi hanya dengan menggunakan tanda kurung (). Untuk dua fungsi yang diberikan f(x) dan g(x) kita dapat menemukan komposisi fungsi dengan menggunakan rumus berikut.

 

(f∘g)(x) = f(g(x))

 

Fungsi di atas dibaca sebagai “f dari g dari x”. Di sini, pertama x diteruskan ke g(x) yang memberikan jawaban dalam x, lalu jawaban diteruskan ke f(x) untuk menemukan komposisi fungsi yang diinginkan.

 

(g∘f)(x) = g(f(x))

 

Fungsi di atas dibaca sebagai “g dari f dari x”. Di sini, pertama x diteruskan ke f(x) yang memberikan jawaban dalam x , lalu jawaban diteruskan ke g(x) untuk menemukan komposisi fungsi yang diinginkan.

 

Contoh:

Jika f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 4x² cari, f(g(x)) dan g(f(x)).

Jawaban:

f(g(x)) = 3g(x)+ 2

           = 3(4x²) + 2

           = 12x² + 12

Jadi, f(g(x)) = 12x + 12

 

g(f(x)) = 4(f(x)²)

          = 4(3x + 2)²

          = 4(9x² + 12x + 4)

=36x² + 48x + 16

Jadi, g(f(x)) = 36x² + 48x + 16

 

Demikianlah materi sekilas fungsi dan komposisi fungsi yang kami sampaikan.

Semoga Bermanfaat.

Barisan Dan Deret Geometri

 Deret geometri adalah jenis deret khusus. Deret ini adalah deret yang setiap sukunya (kecuali suku pertama) dikalikan dengan bilangan konstan untuk mendapatkan suku berikutnya. Yaitu, untuk mendapatkan suku berikutnya dalam deret geometri, kita harus mengalikannya dengan bilangan yang tetap (dikenal sebagai rasio), dan untuk menemukan suku sebelumnya dalam deret tersebut, kita hanya perlu membagi suku tersebut dengan rasio yang sama.

Berikut ini adalah contoh deret geometri:

 3, 6, 12, 24, 48, ...... memiliki rasio 2.

 2, 6, 18, 54, 162, ...... memiliki rasio 3.

 

Rasio persekutuan deret geometri dapat berupa negatif atau positif tetapi tidak boleh 0. Di sini, kita mempelajari rumus deret geometri berikut:

Suku ke-n deret geometri

Rumus rekursif deret geometri

Jumlah deret geometri berhingga

Jumlah deret geometri tak terhingga

Deret geometri dapat berhingga atau tak terhingga. Di sini kita akan mempelajari lebih lanjut tentang masing-masing rumus deret geometri yang disebutkan di atas beserta bukti dan contohnya.

 

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri adalah jenis deret khusus yang rasio setiap dua suku yang berurutan adalah konstanta. Rasio ini dikenal sebagai rasio umum deret geometri. Dengan kata lain, dalam deret geometri, setiap suku dikalikan dengan konstanta yang menghasilkan suku berikutnya. Jadi, deret geometri berbentuk:

a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, … ,  di mana 'a' adalah suku pertama dan 'r' adalah rasio.

Rasio umum dapat berupa angka positif atau negatif.

Ada dua jenis deret geometri berdasarkan jumlah suku di dalamnya yaitu Deret geometri berhingga dan deret geometri tak hingga.

 

Deret Geometri Berhingga

Deret geometri berhingga adalah deret geometri yang memuat suku-suku berhingga. Yaitu, suku terakhirnya didefinisikan.

Misalnya 2, 6, 18, 54, ...., 1.458 adalah deret geometri berhingga yang suku terakhirnya adalah 1.458.

 

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memuat suku-suku tak hingga jumlahnya. Yaitu, suku terakhirnya tidak terdefinisi (tidak terbatas).

Misalnya: 2, −4, 8, −16, ... adalah deret tak hingga yang suku terakhirnya tidak terdefinisi (tidak tahu angka terakhir).

 

Rumus Deret Geometri

Berikut adalah daftar semua rumus deret geometri.

Untuk deret geometri apapun : a, ar, ar², ar³, ...

Suku ke-n, U_n = ar^{n - 1}

Jumlah n suku pertama, 

BAHAS SOAL SKPD TIU CPNS _ MATEMATIKA DASAR (Soal Cerita)

 Berikut ini akan kita bahas beberapa contoh soal tes CPNS Matematika Dasar yang modelnya sering keluar. Soal Tes SKPD TIU CPNS Matematika Dasar ini sebenarnya soal yang pernah diajarkan di SMP.

Yuk, kita bahas beberapa soal ini, semoga Anda bisa mengerjakan soal pada saat menjalani test yang sesungguhnya.

 

Soal 1.

Sebuah barang dibeli dengan mendapat untung 15 persen. Jika untung yang diperoleh sebesar Rp21.000,00 maka harga jual barang tersebut adalah...

A. Rp161.000,00

B. Rp160.000,00

C. Rp155.000,00

D. Rp151.000,00

E. Rp140.000,00

 

Jawaban: A

Tips:

Jika barang yang dijual untung 15%, berarti persentase harga jualnya 100% + 15% = 115%.

Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.

Kalau 15% senilai Rp21.000,00

Kalau 115% senilai berapa? (yang ditanyakan (Hj))

Cara hitung:

Soal 2.

Perbandingan uang Mawar dan Melati adalah 3 : 7. Jika uang Melati Rp210.000,00 maka berapakah selisih uang keduanya?

A. Rp90.000,00

B. Rp190.000,00

C. Rp120.000,00

D. Rp130.000,00

E. Rp150.000,00

 

Jawaban: C

Tips:

Nilai pembanding Mawar = 3

Nilai pembanding Melati = 7, adapun uangnya Rp210.000,00

Selisih pembanding = 7 – 3 = 4, berapa nilai uangnya?

Cara hitung:

Soal 3.

Pada awal tahun 2014, sebuah supermarket menjual pakaian dengan diskon besar-besaran. Ayah membeli kemeja dengan mendapat diskon 10 persen dari harga awal dan diskon tambahan 30 persen dari harga kemeja setelah didiskon 10 persen. Jika Ayah membayar dengan harga Rp126.000,00 harga kemeja tersebut sebelum ada diskon adalah...

A. Rp175.000,00

B. Rp176.400,00

C. Rp180.000,00

D. Rp200.000,00

E. Rp315.000,00

Jawaban: D

Tips:

Jika ada persentase diskon, maka pikirkan persentase yang harus dibayar.

Misal: jika barang didiskon 25%, maka yang kita pikirkan membayar 75%.

jika barang didiskon 20%, maka yang kita pikirkan membayar 80%.

Paham Yaaa....

Fokus pada soal.

Kemeja didiskon (1) sebesar 10%, berarti membayar 90%.

Kemudian didiskon (2) sebesar 30%, berarti membayar 70%.

Jadi setelah didiskon sebanyak dua kali maka, membayar sebesar = 90% x 70%.

 

Cara hitung:

Diketahu harga setelah didiskon Rp126.000,00

Ingat rumus ini:

Persentase membayar x Harga jual Mula-mula = Harga yang dibayar

Berarti:

Demikian Tiga contoh Soal Cerita yang sering keluar dalam tes SKD TIU CPNS.

Masih banyak tipe soal yang lain yang bisa untuk latihan.

Semoga bermanfaat.

MAU BUKU UNTUK LATIHAN?

SILAKAN BELI DISINI

atau di sini