Cara Menentukan Gradien dan Persamaan GAris Singgung Kurva di Suatu Titik Menggunakan Turunan Fungsi

Kali ini kita akan membahas tentang penggunaan Turunan Fungsi dalam menentukan persamaan garis singgung ataupun menentukan gradiennya. Sebelum menentukan persamaan garis singgung suatu kurva di sebuah titik kita pelajari dahulu menentukan gradien garis singgung.

Misalkan kita mempunyai kurva dengan persamaan y = f(x). Jika dipunyai titik pada kurva tersebut, katakan saja titik (a, b), maka gradien garis singgung di titik tersebut adalah m = y’ = f’(a).

Contoh 1

Tentukan gradien garis singgung y = x² + 5x + 4 di  titik (1,10)

Jawaban:

y = x² + 5x + 4, maka y’ = 2x + 5

Untuk x = 1, maka f’(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7

Jadi, gradien garis singgungnya adalah 7.

Contoh 2

Tentukan gradien garis singgung y = 2x² – 6x + 9 di titik (2, 5)

Jawaban:

y = 2x² – 6x + 9, maka y’ = 4x – 6

Untuk x = 2, maka f’(2) = 4(2) – 6 = 8 – 6 = 2

Jadi, gradien garis singgungnya adalah 2.

Contoh 3

Tentukan gradien garis singgung y = x³ + 3x² – 8x + 15 di titik yang berabsis -2.

Jawaban:

y = x³ + 3x² – 8x + 15, maka y’ = 3x² + 6x – 8

Berabsis -2, berarti  x = -2,

maka f’(1) = 3(-2)² + 6(-2) – 8 = 12 – 12 – 8  = -8

Jadi, gradien garis singgungnya adalah -8.

Contoh 4

Diketahui kurva y = 2x² + px + 15 memiliki gradien 6 di titik x = -1. Tentukan nilai p.

Jawaban:

y = 2x² + px + 15, maka y’ = 4x + p

Untuk x = -1, memiliki gradien 6.

maka f’(-1) = 6

4(-1) + p = 6

-4 + p = 6

p = 10

 Jadi, nilai p adalah 10.

Contoh 5

Diketahui kurva y = 2x³ – px² + 9x memiliki gradien 3 di titik berabsis 1. Tentukan nilai p.

Jawaban:

y = 2x³ – px² + 9x, maka y’ = 6x² – 2px + 9

Untuk x = 1, memiliki gradien 3.

maka f’(1) = 3

6 × (1)² – 2(1)p + 9 = 3

            6  – 2p + 9 = 3

                       -2p = -12

                          p = 6

Jadi, nilai p adalah 6.

Nah, setelah menentukan gradien garis singgung kurva dengan menggunakan turunan fungsi, mari kita lanjutkan menentukan persamaan garis singgung kurva.

Dalam menentukan persamaan garis singgung kurva yang perlu diketahui adalah titik singgung dan gradien. Sebab pada dasarnya garis singgung berupa garis lurus. Jadi, perlu dikatahui titik dan gradien garis.

Kemudian setelah menemukan kedua unsur tersebut, kita masukkan ke dalam rumus populer berikut.

        y – y₁ = m(x – x₁)

Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² – 4x + 5 yang melalui titik (1, 2).

Jawaban:

y = x² – 4x + 5

y’ = 2x – 4

Grafik melalui  (1, 2), sehingga:

Gradien garis (m) = 2(1) – 4 = -2

Persamaan garis yang melalui (1, 2) dan bergradien -2 adalah:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 2 = -2 (x – 1)

y – 2 = -2x + 2

y = -2x + 4

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = -2x + 4.

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (2x + 1)² – 5 yang melalui titik dengan absis -2.

Jawaban:

y = (2x + 1)² – 5  

y' = 2(2x + 1).2

= 4(2x + 1)

Grafik melalui absis -2 (x = -1), sehingga:

y = (2(-2) + 1)² – 5

   = (-3)² – 5

   = 4

Diperoleh titik (-2, 4)

Gradien garis singgung yang melalui (-2, 4) adalah m = 4(2(-2) + 1) = -12

Persamaan garis yang melalui (-2, 4) dan bergradien -12 adalah:

       y – y₁ = m(x – x₁)

        y – 4 = -12(x + 2)

        y – 4 = -12x - 24

              y = -12x + 20

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = -12x + 20.

Contoh 3

Diketahui kurva y = 3x² + 2x – 4 memotong sumbu Y di titik A. Tentukan persamaan garis singung yang melalui titik A.

Jawaban:

Titik potong kurva y = 3x² + 2x – 4  terhadap sumbu Y (x = 0)

y = 3(0)² + 2(0) – 4

y = 4

Titik potongnya adalah (0, 4)

Gradien garis singgung di titik (0, 4)

 y' = 6x + 2

m = y' = 6(0) + 2 = 2

Persamaan garis singgung yang melalui titik (0, 4) dan bergradien 2

    y – y₁ = m(x – x₁)

     y – 4 = 2(x - 0)

     y – 4 = 2x - 0

y – 2x – 4 = 0

Jadi, persamaan garis singgung adalah y – 2x – 4 = 0.

Contoh 4

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² + x – 4 di titik yang berordinat 8.

Jawaban:

Titik potong kurva y = x² + x – 4 di titik yang berordinat 8 (y = 8)

y = x² + x – 4

8 =  x² + x – 4

    x² + x – 12 = 0

(x + 4)(x – 3) = 0

x = -4 atau x = 3

Diperoleh koordinat (-4, 8) dan (3, 8)

Gradien garis singgung adalah m = y' = 2x + 1

Gradien garis di titik  (-4, 8) adalah m = 2(-4) + 1 = -7

Persamaan garis singgung

y – y₁ = m(x – x₁)

 y – 8 = -7(x – (-4))

 y – 8 = -7x – 28

       y = –7x – 20

Gradien garis di titik  (3, 8) adalah m = 2(3) + 1 = 7

Persamaan garis singgung

 y – y₁ = m(x – x₁)

  y – 8 = 7(x – 3)

  y – 8 = 7x – 21

        y = 7x – 13

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = –7x – 20 dan y = 7x – 13.

Contoh 5

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² + 6x – 8  yang sejajar dengan garis y – 2x + 3 = 0.

Jawaban:

Kurva y = x² + 6x – 8 memiliki gradien garis singgung di setiap titik sebagai berikut.

m = y' = 2x + 6.

Garis y – 2x + 3 = 0 memiliki gradien 2.

Titik singgung yang memiliki gradien 2 sebagai berikut

y' = 2

2x + 6  = 2

       2x = -4

         x = -2

Sehingga diperoleh nilai y = (-2)² + 6(-2) – 8 = 8

Dengan demikian titik singgungnya adalah (-2, -12)

Persamaan garis singgung yang sejajar garis y – 2x + 3 = 0 (m = 2) di titik (-2, -12)

Persamaan garis

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (-12) = 2(x – (-2))

   y + 12 = 2x + 4

           y = 2x – 8

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = 2x – 8.

Demikianlah sekilas materi singkat tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis singgung pada kurva menggunakan turunan fungsi.

Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Kurva pada Interval Tertutup Menggunakan Turunan Fungsi

Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu Kurva Menggunakan Turunan Fungsi

Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum pada IntervalTertutup Menggunakan Turunan Fungsi

Pada kesempatan ini kita akan membahas tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum atau minimum dalam interval tertutup. Misalnya pada permasalahan berikut.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi-fungsi berikut.

1.   y = x² + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2

2.   y = x² - 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5

3.   y = 2x² - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8

4.   y = x³ + 6x² – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3

5.   y = 2x³ - 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1

Kita tahu bahwa grafik fungsi bentuk kuadrat atau berderajat lebih pada umumnya memiliki titik puncak maupun titik belok. Pada interval tertentu, grafik fungsi akan memiliki nilai tertinggi (maksimum) atau nilai terendah (minimum).

Ketik diwujudkan dengan gambar, maka kita akan melihat dengan jelas nilai-nilai dimana kurva akan maksimum maupun minimum.

Coba perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut.

Grafik di atas adalah y = x² – 2x – 5.

1.  Jika tidak dibatasi dengan batasan nilai x,

     Nilai minimumnya adalah -6(pada titik balik minimum x = 1)

     Nilai maksimumnya adalah tak terhingga

2.  Pada interval -1 ≤ x ≤ 2,

     Nilai minimumnya adalah -6  pada titik x= 1

     Nilai maksimumnya adalah -2 pada titik x = -1

3.  Pada interval 0 ≤ x ≤ 2

     Nilai minimumnya adalah -6 pada titik x = 1

      Nilai maksimumnya adalah -5 pada titik x = 2.

4.  Pada interval 2 ≤ x ≤ 4

     Nilai minimumnya adalah -5 pada titik x = 2

     Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = 4

Perhatikan lagi gambar kurva berikut.

Grafik di atas adalah y = x³ – 3x + 1.

1.  Jika tidak dibatasi dengan batasan nilai x,

     Nilai minimumnya adalah min tak terhingga

     Nilai maksimumnya adalah tak terhingga

2.  Pada interval -2 ≤ x ≤ 0,

     Nilai minimumnya adalah -1  pada titik x = -2

     Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = -1

3.  Pada interval -1 ≤ x ≤ 1

     Nilai minimumnya adalah -1 pada titik x = 1

     Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = -1.

4.  Pada interval 0 ≤ x ≤ 2

     Nilai minimumnya adalah -1 pada titik x = 1

     Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = 2.

Kadang kala pada suatu titik bisa menjadi maksimum pada interval tertentu. Namun, bisa saja akan menjadi nilai minimum ketika interval kita ubah. Makanya dalam konteks ini dinamakan nilai maksimum dan nilai minimum relatif.

Ketika kita mengamati kurva, maka akan mudah kita menentukan nilai maksimum dan minimum. Nah, bagaimana jika kita membaca atau menentukan nilai maksimum/minimum relatif pada interval tertentu (Tertutup) tanpa adanya sajian gambar?

Untuk mengatasi permasalahan tentang maksimum dan minimum, maka ada konsep/materi turunan fungsi sebagai solusinya.

Bagaimana cara menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan permasalahan ini? Mari kita bahas di sini.

Materi ini adalah lanjutan dari materi turunan tentang grafik naik dan grafik turun. Oleh karena pentingnya materi ini, mari kita bahas satu persatu permasalahan tentang nilai maksimum/minimum suatu kura pada interval tertutup.

Coba simak lagi permasalahan di atas. KIta selesaikan satu persatu.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari persamaan kurva berikut yang dibatasi pada interval tertentu.

1.   y = x² + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2

Jawaban

y = x² + 4x – 7, maka y’ = 2x + 4

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

2x + 4 = 0

      2x = -4

       x = -2

Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 2.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, dan 2.

Kita hitung satu persatu.

f(x) = y = x² + 4x – 7

f(-3) = (-3)² + 4(-3) – 7 = 9 – 12 – 7 = -10

f(-2) = (-2)² + 4(-2) – 7 = 4 – 8 – 7 = -11 (minimum)

f(2) = 2² + 4(2) – 7 = 4 + 8 – 7 = 5 (maksimum)

Jadi, kurva/grafik y = x² + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2 memiliki nilai maksimum 5 dan nilai minimum -11.

2.   y = x² - 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5

Jawaban

y = x² - 6x + 8, maka y’ = 2x - 6

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

2x - 6 = 0

      2x = 6

       x = 3

Perhatikan bahwa x = 3 terletak pada interval -1 ≤ x ≤ 5.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -1, 3, dan 5.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = x² - 6x + 8

f(-1) = (-1)² - 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15

f(3) = (3)² - 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1

f(5) = 5² - 6(5) + 8 = 25 – 30 + 8 = 3

Jadi, kurva/grafik y = x² - 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5 memiliki nilai maksimum 15 dan nilai minimum -1.

3.   y = 2x² - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8

Jawaban

y = 2x² - 8x + 1, maka y’ = 4x - 8

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

4x - 8 = 0

      4x = 8

       x = 2

Perhatikan bahwa x = 2 terletak pada interval 1 ≤ x ≤ 8.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = 1, 2, dan 8.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = 2x² - 8x + 1

f(1) = 2(1)² - 8(1) + 1 = 2 – 8 + 1 = -5

f(2) = 2(2)² - 8(2) + 1 = 8 – 16 + 1 = -7

f(8) = 2(8)² - 8(8) + 1 = 128 – 64 + 1 = 65

Jadi, kurva/grafik y = 2x² - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 memiliki nilai maksimum 65 dan nilai minimum -7.

4.   y = x³ + 6x² – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3

Jawaban

y = x³ + 6x² – 15x + 6, maka y’ = 3x² + 12x – 15

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

3x² + 12x – 15 = 0

     x² + 4x – 5 = 0

 (x + 5)(x – 1) = 0

     x = -5 atau x = 1

Perhatikan bahwa x = 1 terletak pada interval -2 ≤ x ≤ 3. Sedangkan x = -5 tidak masuk dalam interval.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 (yang masuk dalam interval) dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -2, 1, dan 3.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = x³ + 6x² – 15x + 6

f(-2) = (-2)³ + 6(-2)² – 15(-2) + 6 = -8 + 24 + 30 + 6 = 52

f(1) = (1)³ + 6(1)² – 15(1) + 6 = 1 + 6 – 15 + 6 = -2

f(3) = (3)³ + 6(3)² – 15(3) + 6 = 27 + 54 - 45 + 6 = 42

Jadi, kurva/grafik y = 2x² - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 memiliki nilai maksimum 52 dan nilai minimum -2.

5.   y = 2x³ - 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1

Jawaban

y = 2x³ - 24x + 15, maka y’ = 6x² - 24

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

          6x² – 24 = 0

            x²  – 4 = 0

  (x + 2)(x – 2) = 0

     x = -2 atau x = 2

Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 1. Sedangkan x = 2 tidak masuk dalam interval.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 (yang masuk dalam interval) dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, dan 1.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = 2x³ - 24x + 15

f(-3) = 2(-3)³ - 24(-3) + 15 = -54 + 72 + 15 = 33

f(-2) = 2(-2)³ - 24(-2) + 15 = -16 + 48 + 15 = 47

f(1) = 2(1)³ - 24(1) + 15 = 2 – 24 + 15 = -7

Jadi, kurva/grafik y = 2x³ - 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1 memiliki nilai maksimum 47 dan nilai minimum -7.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan nilai maksimum dan minimum suatu kurva pada interval tertutup menggunakan turunan fungsi.

Semoga yang sedikit ini bisa memberikan manfaat.

Salam Sukses.

Artikel Terkait
Menentukan Interval Nilai x pada Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan

Menentukan Gradien dan Garis Singgung Kurva Menggunakan Turunan Fungsi