IMATH: Membuktikan Rumus Keterbagian Menggunakan Induksi Matematika

Kali ini kita akan membahas tentang penggunaan induksi matematika dalam keterbagian. Misalnya untuk membuktikan suatu bentuk fungsi aljabar dalam n yang dapat dibagi suatu bilangan tertentu. Atau suatu fungsi aljabar yang merupakan kelipatan bilangan tertentu.

Jika dipunyai bentuk P(n) adalah rumus yang ditetapkan n dalam bilangan asli, maka langkah langkah membuktikan suatu rumus atau pernyataan P(n) adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k dan harus dibuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk lebih jelasnya mari membuktikan suatu fungsi n dalam keterbagian menggunakan induksi matematika.

1. Tunjukkan bahwa 11ⁿ – 6 habis dibagi 5 untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Jawaban:

Misalkan P(n) = 11ⁿ – 6 habis dibagi 5.

Untuk n = 1

Maka P(1) = 11¹ – 6 = 11 – 6 = 5 (habis dibagi 5)

Untuk n = k

Maka P(k) = 11^k – 6 diasumsikan habis dibagi 5.

Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:

11^k – 6 = 5m atau 11^k = 5m + 6 ...... (1)

Untuk n = k + 1

Maka P(k + 1) = 11^{k + 1} – 6 akan dibuktikan habis dibagi 5.

P(k + 1) = 11^{k + 1} – 6

= 11^k 11¹ – 6

= 11 × 11^k – 6

= 11 × (5m + 6) – 6

= (55m + 66) – 6

= 55m – 60

= 5 × (11m – 12) (menunjukkan bilangan kelipatan 5 atau habis dibagi 5)

Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar.

Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa 11^k – 6 habis dibagi 5.

2. Tunjukkan bahwa 4.007ⁿ – 1 habis dibagi 2.003 untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Jawaban:

Misalkan P(n) = 4.007ⁿ – 1 habis dibagi 2.003.

Untuk n = 1

Maka P(1) = 4.007¹ – 1 = 4.007 – 1 = 4.006 (habis dibagi 2.003)

Untuk n = k

Maka P(k) = 4.007^k – 1 diasumsikan habis dibagi 2.003.

Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:

4.007^k – 1 = 2.003m atau 4.007^k = 2.003m + 1 ...... (1)

Untuk n = k + 1

Maka P(k + 1) = 4.007^k+1 – 1 akan dibuktikan habis dibagi 2.003.

P(k + 1) = 4.007^k+1 – 1

= 4.007^k× 4.007 – 1

= (2.003m + 1)× 4.007 – 1

= (2.003m × 4.007 + 4.007) – 1

= (2.003m × 4.007 + 4.006

= (2.003 × 4.007m + 2.003 × 2)

= 2.003 × (4.007m + 2) (menunjukkan bilangan kelipatan 2003 atau habis dibagi 2.003)

Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar.

Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa 4.007ⁿ – 1 habis dibagi 2.003.

3. Tunjukkan bahwa xⁿ – 1 habis dibagi x - 1 untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Jawaban:

Misalkan P(n) = xⁿ – 1 habis dibagi x - 1.

Untuk n = 1

Maka P(1) = x¹ – 1 = x – 1 (habis dibagi x – 1)

Untuk n = k

Ingat bahwa: x² – 1 = (x – 1)(x + 1)

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

x⁴ – 1 = (x – 1)(x³ + x² + x + 1)

Maka P(k) = x^k – 1 diasumsikan habis dibagi (x – 1).

Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:

x^k – 1 = m(x – 1) maka x^k = m(x – 1) + 1 atau x^k = mx – m + 1 ...... (1)

Untuk n = k + 1

Maka P(k + 1) = x^k+1 – 1 akan dibuktikan habis dibagi x - 1.

P(k + 1) = x^k+1 – 1

= x^k · x– 1

= (mx – m + 1) × x – 1

= mx² – mx + x – 1

= mx(x – 1) + (x – 1)

= (mx + 1)(x – 1)

= (x – 1)(mx + 1) (menunjukkan bentuk ini dapat dibagi x - 1)

Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar dapat dibagi (x – 1).

Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa xⁿ – 1 habis dibagi x - 1.

4. Tunjukkan bahwa xⁿ – yⁿ habis dibagi x - y untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Jawaban:

Misalkan P(n) = xⁿ – yⁿ habis dibagi x - y.

Untuk n = 1

Maka P(1) = x¹ – y¹ = x – y (habis dibagi x – y)

Untuk n = k

Ingat bahwa: x² – y² = (x – y)(x + y)

x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

x⁴ – y⁴ = (x – y)(x³ + x²y + xy² + y³)

Maka P(k) = x^k – y^k diasumsikan habis dibagi (x – y).

Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:

x^k – y^k = m(x – y) maka x^k = m(x – y) + y^k .....(1) dan

y^k = x^k – m(x – y) ..... (2)

Untuk n = k + 1

Maka P(k + 1) = x^k+1 – y^k+1 akan dibuktikan habis dibagi x - y.

P(k + 1) = x^k+1 – y^k+1

= x · x^k– y · y^k

= x · (m(x – y) + y^k)– y · (x^k – m(x – y)

= x · (mx – my + y^k)– y · (x^k – mx + my)

= mx² – mxy + xy^k– yx^k + mxy – my²

= mx² – my²+ xy^k– yx^k

= m(x² – y²)+ xy(y^k-1– x^k-1)

= m(x – y)(x + y)- xy(x^k-1– y^k-1)

Perhatikan bahwa: m(x – y)(x + y) habis dibagi (x – 1) dan xy(x^k-1– y^k-1) habis dibagi (x – 1).

Dengan demikian m(x – y)(x + y)- xy(x^k-1– y^k-1) habis dibagi (x – 1).

Jadi, P(k + 1) = x^k+1 – y^k+1 habis dibagi (x – 1) terbukti benar.

Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa xⁿ – yⁿ habis dibagi x - y untuk setiap nilai n bilangan asli.

5. Tunjukkan bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) merupakan kelipatan 3 untuk n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Jawaban:

Misalkan P(n) = n(n + 1)(n + 5)

Untuk n = 1

Maka P(1) = 1(1 + 1)(1 + 5) = 1 x 2 x 6 = 12 (12 merupakan kelipatan 3)

Untuk n = k

Maka P(k) = k(k + 1)(k + 5) diasumsikan kelipatan 3.

Untuk n = k + 1

Maka P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5) akan dibuktikan kelipatan 3.

P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5)

= (k + 1)(k + 2)(k + 6)

= (k² + 3k + 2)(k + 6)

= k³ + 3k² + 2k + 6k² + 18k + 12

= k³ + 9k² + 20k + 12

= (k³ + 6k² + 5k) + (3k² + 15k + 12)

= k(k² + 6k + 5) + 3(k² + 5k + 4)

= k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4)

Perhatikan bahwa: k(k + 1)(k + 5) habis dibagi 3 dan 3(k + 1)(k + 4) habis dibagi 3.

Dengan demikian P(k + 1) habis dibagi 3.(benar)

Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) habis dibagi 3 untuk setiap nilai n bilangan asli.

Demikian sekilas tentang penggunaan induksi matematika dalam pembuktian keterbagian.