23 July 2018

Membuktikan Rumus Keterbagian Menggunakan Induksi Matematika


Kali ini kita akan membahas tentang penggunaan induksi matematika  dalam keterbagian. Misalnya  untuk membuktikan suatu bentuk fungsi aljabar dalam n yang dapat dibagi suatu bilangan tertentu. Atau suatu fungsi aljabar yang merupakan kelipatan bilangan tertentu.

Jika dipunyai bentuk P(n) adalah rumus yang ditetapkan n dalam bilangan asli, maka langkah langkah  membuktikan suatu rumus atau pernyataan P(n) adalah :
1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k dan harus dibuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk lebih jelasnya mari membuktikan suatu fungsi n dalam keterbagian menggunakan induksi matematika.


1. Tunjukkan bahwa 11n – 6 habis dibagi 5 untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan P(n) = 11n – 6  habis dibagi 5.
Untuk n = 1
Maka P(1) = 111 – 6 = 11 – 6 = 5   (habis dibagi 5)

Untuk n = k
Maka P(k) = 11k – 6  diasumsikan habis dibagi 5.
Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:
11k – 6  = 5m  atau 11k = 5m + 6     ...... (1)

Untuk n = k + 1
Maka P(k + 1) = 11k + 1 – 6  akan dibuktikan habis dibagi 5.
P(k + 1) = 11k + 1 – 6
             = 11k 111 – 6 
             = 11 × 11k  – 6 
             = 11 × (5m + 6)  – 6
             =  (55m + 66)  – 6
             =  55m – 60
             =  5 × (11m – 12)   (menunjukkan bilangan kelipatan 5 atau habis dibagi 5)
Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar.
Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa  11k – 6   habis dibagi 5.


2. Tunjukkan bahwa 4.007n – 1 habis dibagi 2.003 untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan P(n) = 4.007n – 1  habis dibagi 2.003.
Untuk n = 1
Maka P(1) = 4.0071 – 1  = 4.007 – 1 = 4.006   (habis dibagi 2.003)

Untuk n = k
Maka P(k) = 4.007k – 1  diasumsikan habis dibagi 2.003.
Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:
4.007k – 1  = 2.003m  atau 4.007k = 2.003m + 1     ...... (1)

Untuk n = k + 1
Maka P(k + 1) = 4.007k+1 – 1  akan dibuktikan habis dibagi 2.003.
P(k + 1) = 4.007k+1 – 1 
             = 4.007k × 4.007 – 1
             = (2.003m + 1)× 4.007 – 1 
             = (2.003m × 4.007 +  4.007) – 1 
             =  (2.003m × 4.007 +  4.006 
             =  (2.003 × 4.007m +  2.003 × 2) 
             =  2.003 × (4.007m + 2)   (menunjukkan bilangan kelipatan 2003 atau habis dibagi 2.003)
Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar.
Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa  4.007n – 1 habis dibagi 2.003.



3. Tunjukkan bahwa xn – 1 habis dibagi x - 1 untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan P(n) = xn – 1  habis dibagi x - 1.
Untuk n = 1
Maka P(1) = x1 – 1  = x – 1       (habis dibagi x – 1)

Untuk n = k
Ingat bahwa: x2 – 1  = (x – 1)(x + 1)
                    x3 – 1  = (x – 1)(x2 + x + 1)
                    x4 – 1  = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
Maka P(k) = xk – 1  diasumsikan habis dibagi (x – 1).
Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:
xk – 1  = m(x – 1) maka xk  = m(x – 1) + 1  atau  xk  = mx – m + 1  ...... (1)

Untuk n = k + 1
Maka P(k + 1) = xk+1 – 1  akan dibuktikan habis dibagi x - 1.
P(k + 1) = xk+1 – 1 
             = xk · x  – 1
             = (mx – m + 1) × x – 1 
             = mx2 – mx + x – 1 
             =  mx(x – 1) + (x – 1) 
             =  (mx + 1)(x – 1)
             =  (x – 1)(mx + 1)  (menunjukkan bentuk ini dapat dibagi x - 1)
Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar dapat dibagi (x – 1).
Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa  xn – 1  habis dibagi x - 1.


4. Tunjukkan bahwa xn – yn habis dibagi x - y untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan P(n) = xn – yn habis dibagi x - y.
Untuk n = 1
Maka P(1) = x1 – y1  = x – y       (habis dibagi x – y)

Untuk n = k
Ingat bahwa: x2 – y2  = (x – y)(x + y)
                    x3 – y3  = (x – y)(x2 + xy + y2)
                    x4 – y4  = (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3)
Maka P(k) = xk – yk  diasumsikan habis dibagi (x – y).
Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku:
xk – yk  = m(x – y) maka xk  = m(x – y) + yk .....(1) dan 
                                   yk  = xk – m(x – y)  ..... (2)

Untuk n = k + 1
Maka P(k + 1) = xk+1 – yk+1  akan dibuktikan habis dibagi x - y.
P(k + 1) = xk+1 – yk+1 
             = x · xk  – y · yk
             = x · (m(x – y) + yk)  – y · (xk – m(x – y)
             = x · (mx – my + yk)  – y · (xk – mx + my)
             = mx2 – mxy + xyk  – yxk + mxy – my2
             =  mx2 – my2 + xyk  – yxk
             =  m(x2 – y2) + xy(yk-1  – xk-1)
             =  m(x – y)(x + y) - xy(xk-1  – yk-1)
Perhatikan bahwa: m(x – y)(x + y) habis dibagi (x – 1) dan xy(xk-1  – yk-1) habis dibagi (x – 1).
Dengan demikian m(x – y)(x + y) - xy(xk-1  – yk-1)  habis dibagi (x – 1).
Jadi, P(k + 1) = xk+1 – yk+1 habis dibagi (x – 1) terbukti benar.
Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa  xn – yn habis dibagi x - y untuk setiap nilai n bilangan asli.


5. Tunjukkan bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) merupakan kelipatan 3 untuk n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan P(n) = n(n + 1)(n + 5)
Untuk n = 1
Maka P(1) = 1(1 + 1)(1 + 5) = 1 x 2 x 6 = 12      (12 merupakan kelipatan 3)

Untuk n = k
Maka P(k) = k(k + 1)(k + 5) diasumsikan kelipatan 3.

Untuk n = k + 1
Maka P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5) akan dibuktikan kelipatan 3.
P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5)  
             = (k + 1)(k + 2)(k + 6)  
             = (k2 + 3k + 2)(k + 6)  
             = k3 + 3k2 + 2k + 6k2 + 18k + 12  
             = k3 + 9k2 + 20k + 12  
             =  (k3 + 6k2 + 5k) + (3k2 + 15k + 12)  
             =  k(k2 + 6k + 5) + 3(k2 + 5k + 4)  
             =  k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4)   

Perhatikan bahwa: k(k + 1)(k + 5) habis dibagi 3 dan 3(k + 1)(k + 4) habis dibagi 3.
Dengan demikian P(k + 1) habis dibagi 3.(benar)
Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa  P(n) = n(n + 1)(n + 5) habis dibagi 3 untuk setiap nilai n bilangan asli.

Demikian sekilas tentang penggunaan induksi matematika dalam pembuktian keterbagian.


No comments:

Post a Comment