Menggunakan Teorema Sisa Dalam Pembagian Suku Banyak

Kali ini kita akan membahas tentang teorema sisa dan teorema faktor pada suku banyak.

Suku banyak disini adalah bentuk aljabar variabel tunggal berderajat n. Bntuk umum suku banyak ditulis:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + . . . . + a₁x₁ + a_o

Teorema sisa adalah sebuah penentuan sisa pembagian suatu suku banyak berderajat n yang dibagi oleh suku-suku berderajat dibawahnya. Dalam hal ini kita dapat menentukan sisa pembagian suku banyak tanpa harus melakukan pembagian (pembagian cara Horner atau cara susun).

Jika ada suatu suku banyak P(x) dibagi dengan (x – a) maka hasil baginya adalah suatu suku banyak yang lain yang dapat dinyataan dengan h(x)

P(x) = (x – a) h(x) + S

S adalah berupa konstanta (tidak memuat x).

Selanjutnya mari mempelajari teorema sisa berikut.

Bukti:

Misalkan hasil bagi suku banyak P(x) oleh suatu h(x) dan sisanya S(x). Derajat suku banyak S(x) lebih rendah daripada derajat (x – a). Oleh karena itu, S adalah konstanta. Sehingga dapat ditulis:

P(x) = (x – a) h(x) + S

Jika x = a, maka diperoleh:

P(a) = (a – a) h(x) + S

P(a) = 0 h(x) + S

P(a) = 0 + S

P(a) = S

Jadi, sisanya adalah P(a). Terbukti.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan sisa pembagian suku banyak berikut.

a.   P(x) = x³ + 4x² - 2x + 7  dibagi oleh (x – 2)

b.   P(x) = 2x⁴ - 3x² + 7x - 2  dibagi oleh (x + 3)

Jawaban:

a.   P(x) = x³ + 4x² - 2x + 7  dibagi oleh (x – 2)

      Maka sisanya adalah P(2).

      P(2) =  (2)³ + 4(2)² – 2(2) + 7 

             =  8 + 16 – 4 + 7

             = 27

        Jadi,  P(x) = x³ + 4x² - 2x + 7  dibagi oleh (x – 2) memiliki sisa pembagian 27.

b.   P(x) = 2x⁴ - 3x² + 7x - 2  dibagi oleh (x + 3)

      Maka sisanya adalah P(-3).

      P(2) =  2(-3)⁴ – 3(-3)² + 7(-3) - 2 

             =  2(81) – 3(9) + 7(-3) – 2

             = 162 – 27 – 21 - 2 

             = 112

   Jadi,  P(x) = 2x⁴ - 3x² + 7x - 2  dibagi oleh (x + 3) memiliki sisa pembagian 112.

Mari melanjutkan  dengan teorema 2.

Bukti:

Misalkan hasil bagi suku banyak P(x) oleh suatu h(x) dan sisanya S(x). Derajat suku banyak S(x) lebih rendah daripada derajat (ax – b). Oleh karena itu, S adalah konstanta. Sehingga dapat ditulis:

P(x) = (ax – b) h(x) + S

Jika x = b/a, maka diperoleh:

P(b/a) = (a(b/a) – b) h(x) + S

P(b/a) = (b – b) h(x) + S

P(b/a) = 0 × h(x) + S

P(b/a) = 0 + S

P(b/a) = S

Jadi, sisanya adalah P(b/a). Terbukti.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 2

Tentukan sisa pembagian suku banyak berikut.

a.   P(x) = 2x⁴ + 4x³ - 5x + 2  dibagi oleh (2x – 1)

b.   P(x) = 3x³ - 6x² + x - 6  dibagi oleh (3x + 1)

Pembagian suku banyak menggunakan teorema sisa di atas untuk pembagi suku banyak berderajat satu. Masih ada lagi pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat dua atau lebih.

Bagaimana cara menentukan hasil pembagian suku banyak oleh pembagi berderajat dua atau lebih?

Nanti kita bahas lebih lanjut di bawah ini.

Semoga bermanfaat.


Artikel Terkait

Menyelesaikan Masalah Tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Pada Suku Banyak (Polinomial)

Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Pembagian pada Suku Banyak dengan Cara Horner