Menggunakan Integral dalam Menentukan Volume Benda Putar (Penerapan Integral)

(Use integration to find the volume of a solid  revolution)

Setelah mempelajari integral tentu dan penerapannya dalam menentukan luas daerah yang dibatasi kurva, mari melanjutkan materi tentang penerapan Integral dalam menentukan volume benda putar.

Mungkin kita tahu bentuk gerabah dari tanah liat atau bentuk guci, bukan? Bentuknya seperti di bawah ini.

Nah,bagaimana cara membuatnya? Jika kita sering melihat pembuatan gerabah, media yang digunakan adalah sejenis alat yang berputar. Adapun bentuk gerabah dibuat sesuai selera pembuat dengan keahlian tangannya. Bentuk-bentuk lengkungan yang indah itu memberikan daya tarik tersendiri. Hubungannya dengan Integral, kita akan membahas tentang volume benda-benda putar seperti bentuk di atas.

Jika kita mempunyai suatu fungsi y = f(x), yang dibatasi oleh x = a dan x = b, lalu diputar terhadap sumbu X, maka akan diperoleh bentuk benda putar seperti di bawah ini.

Jika kita mempunyai suatu fungsi y = f(x), yang dibatasi oleh y = c dan y = b, lalu diputar terhadap sumbu Y, maka akan diperoleh bentuk benda putar seperti di bawah ini.

Seperti bentuk benda putar di atas, kita dapat menghitung volumenya dengan cara menggunakan integral fungsi.

Beberapa rumus yang dapat digunakan untuk menghitung volume benda putar dari suatu kurva fungsi y = f(x) yang diputar terhadap sumbu X dan Y sebagai berikut.

1.  Rumus Volume benda putar dari kurva yang dibatasi fungsi y= f(x) dan sumbu X, dan diputar terhadap sumbu X satu putaran penuh.

2.  Rumus Volume benda putar dari kurva yang dibatasi fungsi x = f(y) dan sumbu Y, dan diputar terhadap sumbu Y satu putaran penuh.

3.  Rumus Volume benda putar dari kurva yang dibatasi fungsi y = f(x) dan sumbu X, garis x = a, garis x = b, dan diputar terhadap sumbu X satu putaran penuh.

4.  Rumus Volume benda putar dari kurva yang dibatasi fungsi x = f(y) dan sumbu Y, garis y = c, garis y = d, dan diputar terhadap sumbu Y satu putaran penuh.

5.  Rumus Volume benda putar dari kurva yang dibatasi fungsi y = f(x) dan y = g(x), dan  garis x = a, garis x = b, dan diputar terhadap sumbu X satu putaran penuh.

6.  Rumus Volume benda putar dari kurva yang dibatasi fungsi x = f(y) dan y = g(y), garis y = c, garis y = d dan diputar terhadap sumbu Y satu putaran penuh.

Demikian rumus-rumus dasar integral dalam penerapannya menghitung Volume Benda Putar. Untuk memperjelas penggunaannya akan kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut.

Materi Berikutnya

Contoh Soal danPembahasan Integral untuk Menghitung Volume Benda Putar

Menghitung Sudut Terkecil Yang Dibentuk Kedua Jarum Jam

Dalam kesempatan ini akan kami berikan materi tentang cara menentukan atau menghitung besar sudut yang ditunjukkan oleh kedua jarum jam analog. Materi  pengukuran sudut ini dipelajari di sekolah dasar maupun di sekolah menengah pertama.

Sebelum menghitung mari mengenal dahulu bentuk jam yang akan kita pelajari.

 

Jam tersebut memiliki dua jarum jam, yang bergerak melingkar dengan kata lain, lintasan ujung jarum berupa lingkaran. Pada jam terdapat angka 1 sampai  dengan 12. Sehingga jarak (sudut yang dibentuk dua jarum) antara dua angka berdekatan sebesar 30^o.

Menghitung Sudut pada Kedua Jarum Pada  Pukul  01.00, Pukul 02.00, Pukul 03.00, dan seterusnya.

Perhatikan gambar berikut.

 

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 01.00

= 1 × 30^o = 30^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 02.00

= 2 × 30^o = 60^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 03.00

= 3 × 30^o = 90^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 04.00

= 4 × 30^o = 120^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 05.00

= 5 × 30^o = 150^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 06.00

= 6 × 30^o = 180^o

Disini sudut yang terbentuk sudah merupakan sudut lurus. Jika dilanjutan maka akan diperoleh sudut yang tumpul (sudut terbesar). Sehingga untuk menentukan sudut terkecil dilakukan dengan cara berikut.

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 07.00

= 360^o – (7 × 30^o) = 360^o – 210^o = 150^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 08.00

= 360^o  – (8 × 30^o) = 360^o – 240^o = 120^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 09.00

= 360^o  – (9 × 30^o) = 360^o – 270^o = 90^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 10.00

= 360^o  – (10 × 30^o) = 360^o – 300^o = 60^o

Sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam pada pukul 11.00

= 360^o  – (11 × 30^o) = 360^o – 330^o = 30^o

Perlu diketahui bahwa besar sudut terkecil adalah 0^o ≤ a ≤ 180^o.

Cara menentukan Besar Sudut Pada Jam Perempatan

Selanjutnya, bagaimana cara menentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum jam yang menunjuk pada jam perempatan.

Misalnya :

 

Mari menentukan sudut yang terbentuk kedua jarum jam yang menunjukkan Pukul 01.15, Pukul 02.30, dan  Pukul 05.45.

 

 

TUGAS

Tentukan sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam yang ditunjukkan oleh waktu berikut.

1.   Pukul 01.30

2.   Pukul 03.45

3.   Pukul 06.15

4.   Pukul 08.15

5.   Pukul 11.45

6.   Pukul 10.30

Selamat Mencoba

 

Untuk menentukan sudut pada jarum jam yang menunjukkan  jam lebih detail lagi, akan kita bahas berikutnya.

Klik Materi di bawah ini:

Sudut pada Jarum Jamyang Menunjukkan jam Menitan