Setelah
di awal materi kita belajar pembagian suku banyak dengan suku berderajat satu
(ax + b), Mari melanjutkan materi tentang pembagian suku banyak oleh suku
banyak berderajat dua (Kuadrat).
Dalam
pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua (kuadrat) kita akan menggunakan
bantuan Teorema Sisa. Dengan Teorema sisa kita hanya akan menemukan sisa dari
pembagian tersebut.
Bagimana
cara menentukan pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua ini?
Coba
kita perhatikan kesepakatan ini.
Jika
kita mempunyai suku banyak yang ditulis:
P(x)
= anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2
+ . . . . + a1x1 + ao
lalu
dibagi oleh suku aljabar kuadrat ax2 + bx + c atau (px + q)(rx + s),
maka memperoleh sisa bentuk aljabarlinear S(x) = mx + n.
Untuk
menentukan sisa pembagian suku banyak bentuk pertama (pembagi ax2 +
bx + c yang tidak bisa difaktorkan), caranya adalah dengan pembagian bersusun.
Adapun
untuk menentukan sisa pembagian suku banyak bentuk kedua (pembagi yang dapat
difaktorkan), caranya dapat menggunakan Teorema sisa.
Lebih
jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Suku
banyak P(x) dibagi oleh x – 2 memiliki sisa 7 dan dibagi oleh x – 1 memiliki
sisa 3. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x – 2)(x – 1).
Jawaban:
P(x)
dibagi oleh x – 2 memiliki sisa 7, sehingga P(2) = 7.
P(x)
dibagi oleh x – 1 memiliki sisa 3, sehingga P(1) = 3.
Misalkan
dibagi oleh (x – 2)(x – 1) memiliki sisa pembagian adalah S(x) = mx + n.
Selanjutnya
kita menentukan m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.
P(2)
= S(2), maka 7 = 2m + n atau 2m + n = 7
....... (1)
P(1)
= S(1), maka 4 = m + n atau m + n = 3
....... (2)
Selesaikan
dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)
2m
+ n = 7
m
+ n = 3 -
m
= 4, dan akhirnya diperoleh n = -1.
Substitusikan
nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = 4x – 1.
Jadi,
suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2)(x – 1) memiliki sisa 4x – 1.
Contoh 2
Suku
banyak P(x) dibagi oleh x + 2 memiliki sisa 12 dan dibagi oleh x – 3 memiliki
sisa -13. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3).
Jawaban:
P(x)
dibagi oleh x + 2 memiliki sisa 12, sehingga P(-2) = 12.
P(x)
dibagi oleh x – 3 memiliki sisa -13, sehingga P(3) = -13.
Misalkan
P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3) memiliki sisa pembagian adalah S(x) = mx + n.
Selanjutnya
kita menentukan m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.
P(-2)
= S(-2), maka 12 = -2m + n atau -2m + n
= 12 ....... (1)
P(3)
= S(3), maka -13 = 3m + n atau 3m + n = -13
....... (2)
Selesaikan
dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)
-2m
+ n = 12
3m
+ n = -13 -
-5m
= 25
m
= -5
Substitusikan
m = -5 ke persamaan -2m + n = 12.
Sehingga
-2(-5) + n = 12, atau 10 + n = 12, dan nilai n = 2.
Substitusikan
nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = -5x + 2.
Jadi,
suku banyak P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3) memiliki sisa -5x + 2.
Contoh 3
Suku
banyak P(x) dibagi oleh x - 4 memiliki sisa -3 dan dibagi oleh x – 1 memiliki
sisa 6. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x - 4)(x – 1).
Jawaban:
P(x)
dibagi oleh x - 4 memiliki sisa -3, sehingga P(4) = -3.
P(x)
dibagi oleh x – 1 memiliki sisa 7, sehingga P(1) = 6.
Misalkan
P(x) dibagi oleh (x - 4)(x – 1) memiliki sisa pembagian adalah S(x) = mx + n.
Selanjutnya
kita menentukan m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.
P(4)
= S(4), maka -3 = 4m + n atau 4m + n = -3
....... (1)
P(1)
= S(1), maka 6 = m + n atau m + n = 6
....... (2)
Selesaikan
dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)
4m
+ n = -3
m + n = 6
-
3m
= -9
m
= -3
Substitusikan
m = -3 ke persamaan m + n = 6.
Sehingga
-3 + n = 6 atau nilai n = 9.
Substitusikan
nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = -3x + 9.
Jadi,
suku banyak P(x) dibagi oleh (x - 4)(x – 1) memiliki sisa -3x + 9.
Contoh 4
Suku
banyak P(x) dibagi oleh x - 1 memiliki sisa 6, dibagi oleh x + 1 memiliki sisa
2, dan dibagi oleh x + 2 memiliki sisa -6. Tentukan sisa pembagian apabila P(x)
dibagi oleh x2 + x - 2.
Jawaban:
P(x)
dibagi oleh x - 1 memiliki sisa 6, sehingga P(1) = 6.
P(x)
dibagi oleh x + 1 memiliki sisa 2, sehingga P(1) = 2.
P(x)
dibagi oleh x + 2 memiliki sisa -6, sehingga P(-2) = -6.
Perhatikan
bahwa x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2)
Artinya:
Jika
P(x) dibagi oleh x2 + x – 2 sama nilaianya/maksudnya dengan P(x)
dibagi oleh (x – 1)(x + 2).
Nah
sekarang setelah pembagi bisa difaktorkan, langkah-langkah pengerjaan seperti
pada contoh di atas.
Misalkan
P(x) dibagi oleh x2 + x – 2 (atau dibagi (x – 1)(x + 2)) memiliki sisa pembagian
adalah S(x) = mx + n.
Selanjutnya
kita menentukan m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut. Kita cukup menentukan P(1) dan P(-2) sesuai dengan faktornya
saja.
P(1)
= S(1), maka 6 = m + n atau m + n = 6
....... (1)
P(-2)
= S(-2), maka -6 = -2m + n atau -2m + n
= -6 ....... (2)
Selesaikan
dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)
m + n = 6
-2m + n = -6
-
3m
= 12
m
= 4
Substitusikan
m = 4 ke persamaan m + n = 6.
Sehingga
4 + n = 6 atau nilai n = 2.
Substitusikan
nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = 4x + 2.
Jadi,
suku banyak P(x) dibagi oleh x2 + x – 2 memiliki sisa 4x + 2.
Contoh 5
Suku
banyak P(x) dibagi oleh x2 - 4 memiliki sisa 2x + 3 dan dibagi oleh
x2 – 9 memiliki sisa 3x - 5. Tentukan sisa pembagian apabila P(x)
dibagi oleh (x2 - x – 6).
Jawaban:
Ingat:
x2
– 4 = (x + 2)(x – 2)
x2
– 9 = (x + 3)(x – 3)
x2
– x - 6 = (x + 2)(x – 3)
P(x)
dibagi oleh x2 – 4 atau (x +
2)(x – 2) memiliki sisa 2x + 3, sehingga
P(-2)
= 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1
P(2)
= 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
P(x)
dibagi oleh x2 – 9 atau (x + 3)(x – 3) memiliki sisa 3x - 5,
sehingga
P(-3)
= 3(-3) - 5 = -9 + 5 = -4
P(3)
= 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4
Misalkan
P(x) dibagi oleh (x2 - x – 6)
atau (x + 2)(x – 3) memiliki sisa pembagian adalah S(x) = mx + n.
Selanjutnya
kita menentukan m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut. Kita cukup menentukan P(-2) dan P(3) sesuai dengan faktornya
saja.
P(-2)
= S(-2), maka -1 = -2m + n atau -2m + n
= -1 ....... (1)
P(3)
= S(3), maka 4 = 3m + n atau 3m + n = 4
....... (2)
Selesaikan
dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)
-2m
+ n = -1
3m + n = 4
-
-5m
= -5
m
= 1
Substitusikan
m = 1 ke persamaan 3m + n = 4.
Sehingga
3(1) + n = 4 atau 3 + n = 4 atau nilai n = 1.
Substitusikan
nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = x + 1.
Jadi,
suku banyak P(x) dibagi oleh x2 - x – 6 memiliki sisa x + 1.
Demikianlah
sekilas materi tentang pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua
(kuadrat).
No comments:
Post a Comment