11 Desember

ARITMETIKA SOSIAL DALAM JUAL BELI

Dalam kesempatan ini akan kami berikan materi tentang aritmetika sosial dalam jual beli. Dalam kehidupan sehari-hari kegiatan jual beli bukan hal asing bagi kita. Karena ini merupakan aktifitas yang bisa dibilang aktifitas pokok. Karena kegiatan jual beli ini menyangkut kebutuhan primer dan kebutuhan penting lainnya. Dalam kegiatan jual beli ini juga dipelajari dalam matematika, misalnya membahas tentang harga pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi. Bahkan dalam matematika dibahas juga persentase untung dan persentase rugi. Nah, kali mari menerapkan Matematika dalam kegiatan jual beli.

Sebelumnya kita ingat dulu istilah-istilah penting dalam jual beli.

Harga pembelian adalah harga atau biaya yang kita keluarkan untuk membeli barang, biasanya juga termasuk biaya transport dan jasa lainnya.

Harga penjualan adalah harga atau biaya yang kita peroleh dari menjual barang, baik secara satuan atau secara menyeluruh (Kelompok)

Keuntungan adalah besarnya selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian. Di sini harga penjualan lebih besar daripada harga pembelian.

Keuntungan (untung) = Harga penjualan - harga pembelian

Kerugian adalah besarnya selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian. Di sini harga penjualan lebih sedikit daripada harga pembelian.

Kerugian (rugi) = Harga pembelian - harga penjualan

Untuk menambah pemahaman tentang aritmetika sosial dalam jual beli, simak beberapa contoh soal dan pembahasn berikut ini.

1. Pedagang buah apel fuji membeli dengan harga Rp40.000,00 per kg. Jka apel tersebut dijual dengan harga Rp50.000,00 per kg, maka hitung untung atau rugi pedagang tersebut? Jika untung, berapa keuntungannya? Dan jika rugi, berapa kerugiannya?

Pembahasan:

Harga pembelian Rp40.000,00

Harga penjualan Rp50.000,00

Rp40.000,00 < Rp50.000,00

Tampak bahwa harga pembelian < harga penjualan

Berarti pedagang mengalami untung.

Besar keuntungan

= harga jual - harga beli

= Rp50.000,00 - Rp40.000,00

= Rp10.000,00

Jadi, pedagang mendapatkan keuntungan sebesar Rp10.000,00.

2. Adam menjual roti dengan modal awal Rp240.000,00 dan hasil yang didapatkan dari penjualan roti adalah Rp300.000,00. Berapa persen keuntungan Adam?

Pembahasan:

Keuntungan = harga jual - modal awal

= Rp300.000,00 - Rp240.000,00

= Rp60.000,00

3. Seorang pedagang es keliling setiap hari mendapatkan keuntungan 30% atau Rp36.000,00. Hitunglah harga pembelian dan penjualannya!

Pembahasan:

Harga Penjualan = harga pembelian + untung

= Rp120.000,00 + Rp36.000,00

= Rp156.000,00

Jadi, harga pembelian Rp120.000,00 dan dijual dengan harga Rp156.000,00.

4. Satu lusin pulpen dibeli seharga Rp20.000,00. Kemudian, setiap pulpen dijual dengan harga Rp2.000,00 per buah. Berapa persen keuntungan yang diperoleh dari penjualan satu lusin pulpen tersebut?

Pembahasan:

Diketahui

Harga pembelian: Rp20.000,00

Harga penjualan: 12 x Rp2.000,00 = Rp24.000,00

Nilai keuntungan = Rp24.000,00 – Rp20.000,00

= Rp4.000,00.

5. Seorang pedagang membeli 12 buah durian untuk bahan jualannya. Kemudian, ia membayar pakai 3 lembar uang Rp100.000,00 dan mendapatkan uang kembalian Rp60.000,00. Jika si pedagang menjualnya lagi dengan berharap untung 30%. Jika harga jual tiap durian sama, tentukan harga jual setiap durian.

Pembahasan:

Harga pembelian 12 buah durian adalah:

(3 × Rp100.000,00) – Rp60.000,00

= Rp300.000,00 – Rp60.000,00

= Rp240.000,00.

Harga pembelian durian per buah = Rp240.000,00 / 12 = Rp20.000,00

Pedagang ingin mendapat untung 30%.

6. Hatta membeli 1 kuintal beras seharga Rp6.000,00 per kg. Dia lalu menjual beras itu dengan hasil penjualan Rp672.000,00. Berapa persentase untung atau rugi yang didapatkan oleh Hatta?

Pembahasan:

Harga pembelian = (100 × Rp6.000,00) = Rp600.000,00

Harga penjualan = Rp672.000,00

Karena nilai harga penjualan lebih dari harga pembelian, berarti Hatta mendapatkan untung.

Besar keuntungan dari penjualan beras 1 kuintal

= Rp672.000,00 – Rp600.000,00

= Rp72.000,00.

Persentase keuntungan yang diperoleh Hatta bisa dihitung dengan membagi untung dengan harga beli lalu dikalikan 100%.

Persentase keuntungan

Demikian yang dapat disampaikan semoga bermanfaat.

06 Desember

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Rumus Deret Geometri

Rumus deret geometri mencakup beberapa rumus yang terkait dengan deret geometri. Sebelum mempelajari rumus-rumus ini, mari kita ingat kembali apa yang yang dimaksud deret geometri. Deret geometri adalah deret angka yang rasio (pembanding) setiap dua angka (suku) berurutan selalu konstan.

Contoh:

2, 4, 8, 16, ... adalah deret geometri karena rasio umum setiap dua suku berurutan di sini adalah 2. Rasio = 4/2 = 8/4 = 16/8 = ... = 2.

2, 6, 18, 54, ... adalah deret geometri karena rasio umum setiap dua suku berurutan di sini adalah 3. Rasio = 6/2 = 18/6 = 54/18 = ... = 3.

Mari kita pelajari rumus deret geometri secara terperinci bersama dengan beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Apa Rumus Deret Geometri?

Rumus deret geometri mencakup rumus untuk mencari suku ke-n dan jumlah suku ke-n. Kita juga dapat menemukan jumlah suku tak hingga dari suatu deret geometri ketika rasio umumnya kurang dari 1. Kita akan melihat rumus deret geometri yang terkait dengan deret geometri dengan suku pertamanya 'a' dan rasio umumnya 'r' (yaitu, deret geometri berbentuk a, ar, ar², ar³, ....).

Berikut adalah rumus deret geometri.

Marilah kita lihat masing-masing rumus ini secara terperinci.

Rumus Suku ke-n Deret Geometri

Kita telah menyepakati bahwa barisan/deret tersebut sebagai a, ar, ar², ar³, .... . Suku pertamanya adalah a (atau ar^1-1), suku keduanya adalah ar (atau ar^2-1), suku ketiganya adalah ar² (atau ar^3-1).

Dengan demikian,

Suku ke-n dari barisan geometri adalah, U_n = ar^{n - 1}.

Rumus Jumlah n Suku Barisan Geometri

Maka jumlah suku pertama 'n' barisan geometri a, ar, ar², ar³, .... adalah,

Sn = a + ar + ar² + ... + ar^n-1 ... (1)

Mengalikan kedua ruas dengan 'r',

r S_n = ar + ar² + ... + arⁿ ... (2)

Mengurangi persamaan (2) dari persamaan (1),

S_n - r S_n = a - arⁿ

S_n (1 - r) = a (1 - rⁿ)

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Terhingga

Terkadang, kita perlu mencari jumlah deret geometri tak terhingga ketika nilai absolut rasio umum kurang dari 1. Jumlah deret geometri tak terhingga a, ar, ar², ar³, .... adalah :

Perhatikan bahwa rumus ini hanya dapat diterapkan ketika |r| < 1. Ketika r > 1, deret geometri tak terhingga divergen (yaitu, kita tidak dapat menemukan jumlahnya).

Pada bagian berikutnya, kita akan melihat penerapan rumus deret geometri.

Perhatikan beberapa contoh soal dan jawaban penggunaan rumus deret geometri

Contoh 1:

Carilah suku ke-10 dari deret geometri 1, 3, 9, 27, .....

Solusi:

Dalam deret geometri yang diberikan,

Suku pertama adalah, a = 1.

Rasio yang sama adalah, r = 3/1 = 9/3 = 27/9 = ... = 3.

Dengan menggunakan rumus deret geometri, suku ke-n dari deret geometri adalah:

U_n = ar^n-1

Untuk mencari suku ke-10, kita substitusikan n = 10 dalam rumus di atas.

Maka kita peroleh:

U₁₀ = 1 × (3)^{10 - 1} = 3⁹ = 19.683

Jadi, suku ke-10 dari deret geometri yang diberikan adalah 19.683.

Contoh 2:

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ....

Solusi:

Dalam deret geometri yang diberikan,

Suku pertama adalah, a = 3.

Rasio umumnya adalah, r = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2

Dengan menggunakan rumus deret geometri, jumlah n suku deret geometri ketika r > 1 adalah:

Contoh 3:

Carilah jumlah deret geometri tak terhingga 4, 1, 1/4, 1/16, 1/64, ...

Solusi:

Dalam deret geometri yang diberikan,

Suku pertama adalah, a = 4.

Rasio umumnya adalah, r = (1/4) / 1 = (1/16) / (1/4) = (1/64) / (1/16) = ... = 1/4.

Perhatikan bahwa di sini |r| < 1.

Dengan menggunakan rumus deret geometri, diperoleh:

Demikian yang dapat disampaikan semoga bermanfaat.

04 Desember

Turunan Fungsi Trigonometri (Trigonometri Dasar)

Diferensiasi Fungsi Trigonometri

Proses menemukan turunan fungsi trigonometri dikenal sebagai diferensiasi fungsi trigonometri. Dengan kata lain, diferensiasi fungsi trigonometri adalah menemukan laju perubahan fungsi terhadap variabel. Enam fungsi trigonometri memiliki rumus diferensiasi yang dapat digunakan dalam berbagai masalah aplikasi turunan.

Enam fungsi trigonometri dasar meliputi: sinus (sin x), kosinus (cos x), tangen (tan x), kotangen (cot x), sekan (sec x) dan kosekan (cosec x). Dalam artikel ini, kita akan menemukan turunan fungsi trigonometri. Diferensiasi (turunan) fungsi trigonometri memiliki aplikasi di berbagai bidang seperti elektronika, pemrograman komputer, dan pemodelan berbagai fungsi siklik.

Apa itu Diferensiasi Fungsi Trigonometri?

Dalam trigonometri, diferensiasi fungsi trigonometri adalah proses matematika untuk menentukan laju perubahan fungsi trigonometri terhadap sudut variabel. Diferensiasi fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan turunan sin x dan cos x dengan menerapkan aturan hasil bagi. Rumus diferensiasi (tururunan) dari enam fungsi trigonometri tercantum di bawah ini:

Turunan sin x: (sin x)' = cos x atau jika y = sin x maka y' = cos x

Turunan cos x: (cos x)' = -sin x atau jika y = cos x maka y' = -sin x

Turunan tan x: (tan x)' = sec² x atau jika y = tan x maka y' = sec² x

Turunan cot x: (cot x)' = -cosec² x atau jika y = cot x maka y' = -cosec² x

Turunan sec x: (sec x)' = sec x.tan x atau jika y = sec x maka y' = sec x.tan x

Turunan cosec x: (cosec x)' = -cosec x.cot x atau jika y = cosec x maka y' = -cosec x.cot x

Rumus-rumus di atas dapat dikembangkan lagi untuk bentuk fungsi trigonometri yang lebih umum.

1. Jika y = sin (ax + b) maka y' = a cos (ax + b)

2. Jika y = cos (ax + b) maka y' = -a sin (ax + b)

3. Jika y = tan (ax + b) maka y' = a sec² (ax + b)

4. Jika y = cot (ax + b) maka y' = -a cosec² (ax + b)

5. Jika y = sec (ax + b) maka y' = a sec (ax + b).tan (ax + b)

6. Jika y = cosec (ax + b) maka y' = -a cosec (ax + b) cot (ax + b)

Contoh:

1. Jika y = sin (6x + 2) maka y' = 6 cos (6x + 2)

2. Jika y = cos (3x - 5) maka y' = -3 sin (3x - 5)

3. Jika y = tan (2x + 10) maka y' = 2 sec² (2x + 10)

4. Jika y = cot (5x - 4) maka y' = -5 cosec² (5x - 4)

5. Jika y = sec (7x + 3) maka y' = 7 sec (7x + 3).tan (7x + 3)

6. Jika y = cosec (8x - 15) maka y' = -8 cosec (8x - 15) cot (8x - 15)

Selain beberapa rumus turunan fungsi trigonometri dasar di atas, terdapat beberapa rumus perluasan yang tak kalah penting untuk diketahui.

Fungsi perluasan ini digunakan jika ditemukan beberapa kondisi tertentu. Pertama, rumus turunan yang didapat dari turunan u terhadap x, dan fungsi perluasan kedua didapat jika variabel sudut trigonometrinya adalah fungsi x atau u(x). Berikut penjelasan rumusnya.

Rumus perluasan turunan fungsi trigonometri untuk u sebagai fungsi x atau ditulis u(x)

1. Turunan dari y = sin u adalah y' = cos u . u’

2. Turunan dari y = cos u adalah y' = -sin u . u’

3. Turunan dari y = tan u adalah y' = sec² u . u’

4. Turunan dari y = cot u adalah y' = -cosec² u . u’

5. Turunan dari y = sec u adalah y' = sec u tan u . u’

6. Turunan dari y = cosec u adalah y' = -cosec u cot u . u’

Contoh:

1. y = sin (x² + 3)

Misal u = x² + 3, maka u' = 2x

Sehingga:

y' = cos u . u’

y' = cos (x² + 3) . 2x

= 2x cos (x² + 3)

Jadi, turunan dari y = sin (x² + 3) adalah y' = 2x cos (x² + 3).

2. y = sin (2x² - 5x)

Misal u = 2x² - 5x, maka u' = 4x - 5

Sehingga:

y' = cos u . u’

y' = cos (2x² - 5x) . (4x - 5)

= (4x - 5) cos (2x² - 5x)

Jadi, turunan dari y = sin (2x² - 5x) adalah y' = (4x - 5) cos (2x² - 5x).

3. y = cos (3x² + 7x)

Misal u = 3x² + 7x, maka u' = 6x + 7

Sehingga:

y' = -sin u . u’

y' = -sin (3x² + 7x) . (6x + 7)

= -(6x + 7) sin (3x² + 7x)

Jadi, turunan dari y = cos (3x² + 7x) adalah y' = -(6x + 7) sin (3x² + 7x).

4. y = tan (x³ + 7x²+ 2)

Misal u = x³ + 7x²+ 2, maka u' = 3x²+ 14x

Sehingga:

y' = sec² u . u’

y' = sec² (x³ + 7x²+ 2) . (3x²+ 14x)

= (3x²+ 14x) sec² (x³ + 7x²+ 2)

Jadi, turunan dari y = tan (x³ + 7x²+ 2) adalah y' = (3x²+ 14x) sec² (x³ + 7x²+ 2).

5. y = cot (4x³ + 5x)

Misal u = 4x³ + 5x, maka u' = 12x²+ 5

Sehingga:

y' = -cosec² u . u’

y' = -cosec² (4x³ + 5x) . (12x²+ 5)

= -(12x²+ 5) cosec² (4x³ + 5x)

Jadi, turunan dari y = cot (4x³ + 5x) adalah y' = -(12x²+ 5) cosec² (4x³ + 5x).

Demikian yang dapat disampaikan semoga bermanfaat.

Dapatkan Segera

Buku Rekomendasi Matematika SMA/MA

03 Desember

Soal LATIHAN Ujian Nasional atau Ujian Sekolah Matematika SD/MI

Berikut ini akan admin berikan beberapa contoh soal standar Ujian Sekolah dan Ujian Nasional Tingkat SD. Silahkan untuk belajar sebagai persiapan menghadapi Ujian.

1. Hasil 38.332 - 28.392 : 14 x 12 + 2.332 = ....

A. 11.664

B. 16.328

C. 35.831

D. 37.928

Jawaban: B

38.332 - 28.392 : 14 x 12 + 2.332

= 38.332 – 2.028 x 12 + 2.332

= 38.332 – 24.336 + 2.332

= 13.996 + 2.332

= 16.328

Jadi, hasil 38.332 - 28.392 : 14 x 12 + 2.332 adalah 16.328.

2. Hasil 1.534 : (-26) + 1.138 x 12 - 3.789 =....

A. 9.818

B. 9.867

C. 9.808

D. 9.926

Jawaban: C

1.534 : (-26) + 1.138 x 12 - 3.789

= -59 + 13.656 - 3.789

= 13.597 – 3.789

= 9.808

Jadi, hasil 1.534 : (-26) + 1.138 x 12 - 3.789 adalah 9.808.

3. Seorang pedagang membeli beras 98 karung. Setiap karung berisi 25 kg. Beras tersebut terjual 1.987 kg. Untuk menambah persediaan, pedagang membeli lagi 1.125 kg. Beras pedagang tersebut sekarang ada...

A. 1.150 kg

B. 1.474 kg

C. 1.588 kg

D. 1.512 kg

Jawaban: C

Operasi hitung bilangannya sebagai berikut.

98 x 25 – 1.987 + 1.125

= 2.450 – 1.987 + 1.125

= 463 + 1.125

= 1.588

Jadi, persediaan beras adalah 1.588 kg.

Semoga Bermanfaat.

01 Desember

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Dengan Cara RUmus Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat dua dan berbentuk ax² + bx + c = 0. Istilah "kuadrat" berasal dari kata Latin "quadratus" yang berarti kuadrat, yang mengacu pada fakta bahwa variabel x dikuadratkan dalam persamaan. Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah "persamaan derajat 2." Ada banyak skenario di mana persamaan kuadrat digunakan. Tahukah Anda bahwa ketika roket diluncurkan, lintasannya dijelaskan oleh persamaan kuadrat? Lebih jauh, persamaan kuadrat memiliki banyak aplikasi dalam fisika, teknik, astronomi, dll.

Persamaan kuadrat memiliki maksimal dua solusi, yang dapat berupa bilangan riil atau kompleks. Kedua solusi ini (nilai x) juga disebut akar persamaan kuadrat dan ditetapkan sebagai (α, β). Kita akan mempelajari lebih lanjut tentang akar persamaan kuadrat dalam konten di bawah ini.

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat dua dalam x. Persamaan kuadrat dalam bentuk baku adalah ax2 + bx + c = 0, di mana a dan b adalah koefisien, x adalah variabel, dan c adalah suku konstanta. Syarat penting agar suatu persamaan menjadi persamaan kuadrat adalah koefisien x² bukan suku nol (a ≠ 0). Untuk menulis persamaan kuadrat dalam bentuk baku, suku x² ditulis terlebih dahulu, diikuti oleh suku x, dan terakhir, suku konstanta ditulis.

Lebih lanjut, dalam soal matematika nyata persamaan kuadrat disajikan dalam berbagai bentuk:

Misalnya: (x - 1)(x + 2) = 0,

-x² = -3x + 1,

5x(x + 3) = 12x,

x³ = x(x² + x - 3).

Semua persamaan ini perlu diubah ke dalam bentuk baku persamaan kuadrat sebelum melakukan operasi lebih lanjut.

Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat adalah dua nilai x yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Akar persamaan kuadrat ini juga disebut sebagai nol persamaan.

Misalnya, akar persamaan x² - 3x - 4 = 0 adalah x = -1 dan x = 4 karena masing-masing memenuhi persamaan.

Yaitu,

Pada x = -1, (-1)² - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

Pada x = 4, (4)² - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0

Ada berbagai metode untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Penggunaan rumus kuadrat adalah salah satunya.

Rumus Kuadrat

Rumus kuadrat adalah cara paling sederhana untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Ada persamaan kuadrat tertentu yang tidak dapat difaktorkan dengan mudah, dan di sini kita dapat dengan mudah menggunakan rumus kuadrat ini untuk menemukan akar-akarnya dengan cara secepat mungkin. Dua akar dalam rumus kuadrat disajikan sebagai satu ekspresi. Tanda positif dan tanda negatif dapat digunakan secara bergantian untuk mendapatkan dua akar persamaan yang berbeda.

Rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah: