Turunan Fungsi Trigonometri (Trigonometri Dasar)

 

Diferensiasi Fungsi Trigonometri

Proses menemukan turunan fungsi trigonometri dikenal sebagai diferensiasi fungsi trigonometri. Dengan kata lain, diferensiasi fungsi trigonometri adalah menemukan laju perubahan fungsi terhadap variabel. Enam fungsi trigonometri memiliki rumus diferensiasi yang dapat digunakan dalam berbagai masalah aplikasi turunan.

 

Enam fungsi trigonometri dasar meliputi: sinus (sin x), kosinus (cos x), tangen (tan x), kotangen (cot x), sekan (sec x) dan kosekan (cosec x). Dalam artikel ini, kita akan menemukan turunan fungsi trigonometri. Diferensiasi (turunan) fungsi trigonometri memiliki aplikasi di berbagai bidang seperti elektronika, pemrograman komputer, dan pemodelan berbagai fungsi siklik.

 

Apa itu Diferensiasi Fungsi Trigonometri?

Dalam trigonometri, diferensiasi fungsi trigonometri adalah proses matematika untuk menentukan laju perubahan fungsi trigonometri terhadap sudut variabel. Diferensiasi fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan turunan sin x dan cos x dengan menerapkan aturan hasil bagi. Rumus diferensiasi (tururunan) dari enam fungsi trigonometri tercantum di bawah ini:

 

Turunan sin x: (sin x)' = cos x  atau jika y = sin x maka y' = cos x

Turunan cos x: (cos x)' = -sin x atau jika y = cos x maka y' = -sin x

Turunan tan x: (tan x)' = sec² x atau jika y = tan x maka y' = sec² x

Turunan cot x: (cot x)' = -cosec² x atau jika y = cot x maka y' = -cosec² x

Turunan sec x: (sec x)' = sec x.tan x atau jika y = sec x maka y' = sec x.tan x

Turunan cosec x: (cosec x)' = -cosec x.cot x atau jika y = cosec x maka y' = -cosec x.cot x

 

Rumus-rumus di atas dapat dikembangkan lagi untuk bentuk fungsi trigonometri yang lebih umum.

1. Jika y = sin (ax + b) maka y' = a cos (ax + b)

2. Jika y = cos (ax + b) maka y' = -a sin (ax + b)

3. Jika y = tan (ax + b) maka y' = a sec² (ax + b)

4. Jika y = cot (ax + b) maka y' = -a cosec² (ax + b)

5. Jika y = sec (ax + b) maka y' = a sec (ax + b).tan (ax + b)

6. Jika y = cosec (ax + b) maka y' = -a cosec (ax + b) cot (ax + b)

Contoh:

1. Jika y = sin (6x + 2) maka y' = 6 cos (6x + 2)

2. Jika y = cos (3x - 5) maka y' = -3 sin (3x - 5)

3. Jika y = tan (2x + 10) maka y' = 2 sec² (2x + 10)

4. Jika y = cot (5x - 4) maka y' = -5 cosec² (5x - 4)

5. Jika y = sec (7x + 3) maka y' = 7 sec (7x + 3).tan (7x + 3)

6. Jika y = cosec (8x - 15) maka y' = -8 cosec (8x - 15) cot (8x - 15)

 

Selain beberapa rumus turunan fungsi trigonometri dasar di atas, terdapat beberapa rumus perluasan yang tak kalah penting untuk diketahui.

 

Fungsi perluasan ini digunakan jika ditemukan beberapa kondisi tertentu. Pertama, rumus turunan yang didapat dari turunan u terhadap x, dan fungsi perluasan kedua didapat jika variabel sudut trigonometrinya adalah fungsi x atau u(x). Berikut penjelasan rumusnya.

 

Rumus perluasan turunan fungsi trigonometri untuk u sebagai fungsi x atau ditulis u(x)

 

1. Turunan dari y = sin u adalah y' = cos u . u’

2. Turunan dari y = cos u adalah y' = -sin u . u’

3. Turunan dari y = tan u adalah y' = sec² u . u’

4. Turunan dari y = cot u adalah y' = -cosec² u . u’

5. Turunan dari y = sec u adalah y' = sec u tan u . u’

6. Turunan dari y = cosec u adalah y' = -cosec u cot u . u’

 

Contoh:

1. y = sin (x² + 3)

   Misal u = x² + 3, maka u' = 2x

   Sehingga:  

   y' = cos u . u’

   y' = cos (x² + 3) . 2x

      = 2x cos (x² + 3)

  Jadi, turunan dari y = sin (x² + 3) adalah y' = 2x cos (x² + 3).

 

2. y = sin (2x² - 5x)

   Misal u = 2x² - 5x, maka u' = 4x - 5

   Sehingga:  

   y' = cos u . u’

   y' = cos (2x² - 5x) . (4x - 5)

      = (4x - 5) cos (2x² - 5x)

  Jadi, turunan dari y = sin (2x² - 5x) adalah y' = (4x - 5) cos (2x² - 5x).

 

3. y = cos (3x² + 7x)

   Misal u = 3x² + 7x, maka u' = 6x + 7

   Sehingga:  

   y' = -sin u . u’

   y' = -sin (3x² + 7x) . (6x + 7)

      = -(6x + 7) sin (3x² + 7x)

  Jadi, turunan dari y = cos (3x² + 7x) adalah y' = -(6x + 7) sin (3x² + 7x).

 

4. y = tan (x³ + 7x² + 2)

   Misal u = x³ + 7x² + 2, maka u' = 3x² + 14x

   Sehingga:  

   y' = sec² u . u’

   y' = sec² (x³ + 7x² + 2) . (3x² + 14x)

      = (3x² + 14x) sec² (x³ + 7x² + 2)

  Jadi, turunan dari y = tan (x³ + 7x² + 2) adalah y' = (3x² + 14x) sec² (x³ + 7x² + 2).

 

5. y = cot (4x³ + 5x)

   Misal u = 4x³ + 5x, maka u' = 12x² + 5

   Sehingga:  

   y' = -cosec² u . u’

   y' = -cosec² (4x³ + 5x) . (12x² + 5)

      = -(12x² + 5) cosec² (4x³ + 5x)

  Jadi, turunan dari y = cot (4x³ + 5x) adalah y' = -(12x² + 5) cosec² (4x³ + 5x).

 

Demikian yang dapat disampaikan semoga bermanfaat.

Dapatkan Segera

Buku Rekomendasi Matematika SMA/MA