BARISAN DAN DERET GEOMETRI

 

Rumus Deret Geometri

Rumus deret geometri mencakup beberapa rumus yang terkait dengan deret geometri. Sebelum mempelajari rumus-rumus ini, mari kita ingat kembali apa yang yang dimaksud deret geometri. Deret geometri adalah deret angka yang rasio (pembanding) setiap dua angka (suku) berurutan selalu konstan.

Contoh:

 2, 4, 8, 16, ... adalah deret geometri karena rasio umum setiap dua suku berurutan di sini adalah 2. Rasio = 4/2 = 8/4 = 16/8 = ... = 2.

 

2, 6, 18, 54, ... adalah deret geometri karena rasio umum setiap dua suku berurutan di sini adalah 3. Rasio = 6/2 = 18/6 = 54/18 = ... = 3.

 

 

Mari kita pelajari rumus deret geometri secara terperinci bersama dengan beberapa contoh soal dan pembahasannya.

 

Apa Rumus Deret Geometri?

Rumus deret geometri mencakup rumus untuk mencari suku ke-n dan jumlah suku ke-n. Kita juga dapat menemukan jumlah suku tak hingga dari suatu deret geometri ketika rasio umumnya kurang dari 1. Kita akan melihat rumus deret geometri yang terkait dengan deret geometri dengan suku pertamanya 'a' dan rasio umumnya 'r' (yaitu, deret geometri berbentuk a, ar, ar², ar³, ....).

Berikut adalah rumus deret geometri.

Marilah kita lihat masing-masing rumus ini secara terperinci.

 

Rumus Suku ke-n Deret Geometri

Kita telah menyepakati bahwa barisan/deret tersebut sebagai a, ar, ar², ar³, .... . Suku pertamanya adalah a (atau ar^1-1), suku keduanya adalah ar (atau ar^2-1​​​​​), suku ketiganya adalah ar² (atau ar^3-1).

Dengan demikian,

Suku ke-n dari barisan geometri adalah, U_n = ar^{n - 1}.

 

Rumus Jumlah n Suku Barisan Geometri

Maka jumlah suku pertama 'n' barisan geometri a, ar, ar², ar³, .... adalah,

 

Sn = a + ar + ar² + ... + ar^n-1 ... (1)

 

Mengalikan kedua ruas dengan 'r',

 

r S_n = ar + ar² + ... + arⁿ ... (2)

 

Mengurangi persamaan (2) dari persamaan (1),

S_n - r S_n = a - arⁿ

S_n (1 - r) = a (1 - rⁿ)

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Terhingga

Terkadang, kita perlu mencari jumlah deret geometri tak terhingga ketika nilai absolut rasio umum kurang dari 1. Jumlah deret geometri tak terhingga a, ar, ar², ar³, .... adalah :

Perhatikan bahwa rumus ini hanya dapat diterapkan ketika |r| < 1. Ketika r > 1, deret geometri tak terhingga divergen (yaitu, kita tidak dapat menemukan jumlahnya). 

Pada bagian berikutnya, kita akan melihat penerapan rumus deret geometri.

Perhatikan beberapa contoh soal dan jawaban penggunaan rumus deret geometri

Contoh 1:

Carilah suku ke-10 dari deret geometri 1, 3, 9, 27, .....

Solusi:

Dalam deret geometri yang diberikan,

Suku pertama adalah, a = 1.

Rasio yang sama adalah, r = 3/1 = 9/3 = 27/9 = ... = 3.

 

Dengan menggunakan rumus deret geometri, suku ke-n dari deret geometri adalah:

U_n = ar^n-1

Untuk mencari suku ke-10, kita substitusikan n = 10 dalam rumus di atas.

Maka kita peroleh:

U₁₀ = 1 × (3)^{10 - 1} = 3⁹ = 19.683

Jadi, suku ke-10 dari deret geometri yang diberikan adalah 19.683.

 

Contoh 2:

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ....

Solusi:

Dalam deret geometri yang diberikan,

Suku pertama adalah, a = 3.

Rasio umumnya adalah, r = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2

Dengan menggunakan rumus deret geometri, jumlah n suku deret geometri ketika r > 1 adalah:

Contoh 3:

Carilah jumlah deret geometri tak terhingga 4, 1, 1/4, 1/16, 1/64, ...

Solusi:

Dalam deret geometri yang diberikan,

Suku pertama adalah, a = 4.

Rasio umumnya adalah, r = (1/4) / 1 = (1/16) / (1/4) = (1/64) / (1/16) = ... = 1/4.

Perhatikan bahwa di sini |r| < 1.

Dengan menggunakan rumus deret geometri, diperoleh:

Demikian yang dapat disampaikan semoga bermanfaat.