Menentukan Persamaan Lingkaran yang Berpusat di (a, b) dan Melalui Titik yang Lain

 Bayangkan ketika kamu menggambar lingkaran menggunakan jangka. Pada jangka tertancap jarum sebagai titik pusat, dan ujung lain sebagai titik tepi yang bergerak melingkar. Artinya dengan cukup titik pusat dan satu titik di tepinya, maka seluruh bentuk lingkaran bisa dibuat dengan tepat. Dalam matematika, prinsip ini digunakan untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan melalui titik lain.

Dengan jangka kita bisa membuat lingkaran dengan jari-jari sesuai yang kita inginkan. Konsep ini sangat bermanfaat karena tidak hanya sering muncul dalam soal-soal ujian, tetapi juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari seperti membuat desain pola, merancang jalur lintasan, hingga sistem navigasi. Yuk, kita pahami bersama cara mudah menyusun persamaan lingkaran dari dua titik penting.

 

Nah, kali ini akan membahas tentang menentukan persamaan lingkaran pada  bidang koordinat. Secara umum, menentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (0, 0) dan memiliki jari-jari r. Selain itu,  kita akan belajar cara menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan melalui titik (p, q) pada lingkaran.

 

Lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r seperti gambar di bawah ini.

Persamaan lingkaran

 

        x² + y² = r²

Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (a, b) dan memiliki jari-jari r digambarkan di bawah ini.

Persamaan lingkaran

         (x – a)² + (y – b)² = r²

 

Lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan melalui titik (p, q) seperti gambar di bawah ini.

Apabila bentuk Persamaan (x – a)² + (y – b)² = r² dijabarkan maka diperoleh bentuk berikut.

(x – a)² + (y – b)² = r²

x² – 2ax + a² + y² – 2bx + b² = r²

x² + y² – 2ax – 2bx + a² + b² - r² = 0

atau ditulis

x² + y² + Ax + Bx + C = 0 

Jadi, jika terdapat persamaan lingkaran dengan bentuk persamaan x² + y² + Ax + Bx + C = 0, maka titik pusat dan jari-jarinya adalah sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki keadaan berikut.

a. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 3

b. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 7

c. Titik pusat (2, 3) dan berjari-jari 4

d. Titik pusat (3, -5) dan berjari-jari 2

e. Titik pusat (-4, -9) dan berjari-jari 5

Jawaban:

a. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 3

    Persamaan lingkaran:

    x² + y² = r²

    x² + y² = 3²

    x² + y² = 9 

 

b. Titik pusat (0, 0) dan berjari-jari 7

    Persamaan lingkaran:

    x² + y² = r²

    x² + y² = 7²

    x² + y² = 49 

 

c. Titik pusat (2, 3) dan berjari-jari 4

    Persamaan lingkaran:

    (x – a)² + (y – b)² = r²

    (x – 2)² + (y – 3)² = 4²

    x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 16

    x² + y² – 4x – 6y + 4 + 9 – 16 = 0

    x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0

 

d. Titik pusat (3, -5) dan berjari-jari 2

    Persamaan lingkaran:

    (x – a)² + (y – b)² = r²

    (x – 3)² + (y – (-5))² = 2²

    (x – 3)² + (y + 5)² = 2²

    x² – 6x + 9 + y² + 10y + 24 = 4

    x² + y² – 6x + 10y + 9 + 24 – 4 = 0

    x² + y² – 6x + 10y + 29 = 0

 

e. Titik pusat (-4, -9) dan berjari-jari 5

    Persamaan lingkaran:

    (x – a)² + (y – b)² = r²

    (x – (-4))² + (y – (-9))² = 5²

    (x + 4)² + (y + 9)² = 25

    x² + 8x + 16 + y² + 18y + 81 = 25

    x² + y² +  8x + 18y + 16 + 81 – 25 = 0

    x² + y² +  8x + 18y + 72 = 0

 

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki keadaan berikut.

a. Titik pusat (0, 0) dan melalui titik (4, 8)

b. Titik pusat (3, 0) dan melalui titik (3, 6)

c. Titik pusat (1, 5) dan melalui titik (4, 9)

d. Titik pusat (-4, 3) dan melalui titik (0, -3)

Jawaban:

 Jarak antara titik Pusat dan titik yang dilalui sama dengan jari-jari.

a. Titik pusat (0, 0) dan melalui titik (4, 8)

    Menentukan jarak antara titik pusat ke titik yang dilalui.

Persamaan lingkaran

          x² + y² = r²

          x² + y² = 80

 

b. Titik pusat (3, 0) dan melalui titik (3, 6)

    Menentukan jarak antara titik pusat ke titik yang dilalui.

Persamaan lingkaran

        (x – a)² + (y – b)² = r²

        (x – 3)² + (y – 0)² = 36

           x² – 6x + 9 + y² = 36

    x² + y² – 6x + 9 – 36 = 0

          x² + y² – 6x – 27 = 0

 

c. Titik pusat (1, 5) dan melalui titik (4, 9)

    Menentukan jarak antara titik pusat ke titik yang dilalui.

 

Persamaan lingkaran

                       (x – a)² + (y – b)² = r²

                       (x – 1)² + (y – 5)² = 25

           x² – 2x + 1 + y² – 10y + 25 = 25

    x² + y² – 2x – 10y + 1 + 25 – 25 = 0

                  x² + y² – 2x – 10y + 1 = 0

 

Nah, untuk soal pada nomor d, cobalah Anda kerjakan seperti langkah-langkah di atas.

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan persamaan lingkaran pada bidang koordinat. Semoga Bermanfaat.