Menentukan Grafik Fungsi Kuadrat: Diketahui Titik Puncak dan Sebuah Titik

Salah satu bentuk persamaan grafik fungsi kuadrat adalah y = ax² + bx + c. Adapun bentuk kurva fungsi kuadrat berupa parabola.

Perhatikan bentuk kurva fungsi kuadrat y = f(x) di bawah ini.

Tampak bahwa kurva grafik fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik puncak. Kurva grafik fungsi kuadrat membuka ke atas ataupun membuka ke bawah.

Sekarang, bagaimana cara menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu titik yang dilaluinya?

 

Nah, perhatikan rumus cara menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu titik yang dilaluinya.

Jika grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (p, q) dan melalui titik (x₁, y₁) maka persamaan umumnya adalah:

 

     y = a(x – p)² + q

 

Langkah-langkah menentukan persamaan kurva (grafik)  fungsi kuadrat.

1. Substitusikan nilai p dan q pada titik puncak ke persamaan umum.

2. Menentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x = x₁ dan y = y₁ pada persamaan yang diperoleh pada langkah 1.

3. Diperoleh persamaan grafik fungsi kuadrat.

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0) dan memiliki titik puncak (3, 8).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (3, 8) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 3)² + 8

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (1, 0) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

0 = a(1 – 3)² + 8

0 = a × 4 + 8

0 = 4a + 8

4a = -8

  a = -2

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-2)(x – 3)² + 8

y = (-2)(x² – 6x + 9) + 8

y = -2x² + 12x - 18 + 8

y = -2x² + 12x - 10

 

Jadi, persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat adalah y = -2x² + 12x - 10.

 

Contoh 2

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (2, 1) dan memiliki titik puncak (4, 17).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (4, 17) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 4)² + 17

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (2, 1) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

1 = a(2 – 4)² + 17

1 = a × 4 + 17

1 = 4a + 17

4a = -16

  a = -4

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-4)(x – 4)² + 17

y = (-4)(x² – 8x + 16) + 17

y = -4x² + 32x - 64 + 17

y = -4x² + 32x - 47

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = -4x² + 32x - 47.

 

Contoh 3

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (3, -21) dan melalui titik (-2, 4).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (3, 21) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 3)² - 21

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (-2, 4) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

4 = a(–2 – 3)² – 21

4 = a × 25 – 21

4 = 25a – 21

25a = 25

  a = 1

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (1)(x – 3)² – 21

y = (x² – 6x + 9) – 21

y = x² – 6x + 9 – 21

y = x² – 6x  – 12

 

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat adalah y = x² – 6x  – 12.

 

Contoh 4

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (2, 10) dan melalui titik (1, 9).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (2, 10) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 2)² + 10

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (1, 9) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

9 = a(1 – 2)² + 10

9 = a × 1 + 10

9 = a + 10

a = -1

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-1)(x – 2)² + 10

y = -(x² – 4x + 4) + 10

y = -x² + 4x - 4 + 10

y = -x² + 4x + 6

 

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat adalah y = -x² + 4x + 6.

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan melalui salah satu titik lainnya.

Semoga Bermanfaat.