IMATH: Barisan dan Deret Aritmetika : Rumus Suku Ke-n dan Jumlah n Suku Pertama

Penerapan barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan keseharian sangat banyak. Selain itu, dalam hal bilangan penggunaan deret aritmetika juga diperlukan. Perlu diketahui bahwa barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda antarsuku selalu sama (tetap).

Jika pola barisan aritmetika memiliki suku awal (a) dan beda (Selisih) = b, maka pola bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut.

a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, ....... atau dapat ditulis

U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, ....

Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan:

U_n = a + (n - 1)b

Adapun deret aritmetika adalah jumlah bilangan-bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Deret aritmetika dituliskan sebagai berikut.

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + .......+ a + (n – 1)b

atau

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + .... + U_n

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dirumuskan:

Untuk mempelajari penerapan dan menyelesaikan masalah barisan dan deret aritmetika, mari menyelesaikan permasalahan di bawah ini.

Permasalahan 1

Diketahui jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.

Jika terdapat tiga bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5.

Jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 5.001

6n + 9 = 5.001

6n = 5.001 – 9

6n = 4.992

n = 4.992 : 6

n = 832

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n + 1 = 2(832) + 1 = 1.664 + 1 = 1.665

2n + 3 = 2(832) + 3 = 1.664 + 3 = 1.667

2n + 5 = 2(832) + 5 = 1.664 + 5 = 1.669

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 1.665, 1.667, dan 1.669.

Permasalahan 2

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n, atau 2n + 2.

Jika terdapat tiga bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4.

Jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000.

2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 12.000

6n + 6 = 12.000

6n = 12.000 – 6

6n = 11.994

n = 11.994 : 6

n = 1.999

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n = 2(1.999) = 3.998

2n + 2 = 2(1.999) + 2 = 3.998 + 2 = 4.000

2n + 4 = 2(1.999) + 4 = 3.998 + 4 = 4.002

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 3.998, 4.000, dan 4.002.

Permasalahan 3

Diketahui jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.

Jika terdapat lima bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9.

Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 9.005

10n + 15 = 9.005

10n = 9.005 – 15

10n = 8.990

n = 8.990 : 10

n = 899

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n + 1 = 2(899) + 1 = 1.798 + 1 = 1.799

2n + 3 = 2(899) + 3 = 1.798 + 3 = 1.801

2n + 5 = 2(899) + 5 = 1.798 + 5 = 1.803

2n + 7 = 2(899) + 7 = 1.798 + 7 = 1.805

2n + 9 = 2(899) + 9 = 1.798 + 9 = 1.807

Jadi, kelima bilangan itu adalah 1.799, 1.801, 1.803, 1.805, dan 1.807.

Permasalahan 4

Diketahui jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n atau 2n + 2.

Jika terdapat lima bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8.

Jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000.

(2n) + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 100.000

10n + 20 = 100.000

10n = 100.000 – 20

10n = 99.980

n = 99.980 : 10

n = 9.998

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n = 2(9.998) = 19.996

2n + 2 = 2(9.998) + 2 = 19.996 + 2 = 19.998

2n + 4 = 2(9.998) + 4 = 19.996 + 4 = 20.000

2n + 6 = 2(9.998) + 6 = 19.996 + 6 = 20.002

2n + 8 = 2(9.998) + 8 = 19.996 + 8 = 20.004

Jadi, kelima bilangan itu adalah 19.996, 19.998, 20.000, 20.002, dan 20.004.

Permasalahan 5

Diketahui panjang tali mula-mula adalah 950 cm. Tali itu akan dipotong menjadi 5 tali dan panjang tali membentuk barisan aritmetika. Tentukan panjang setiap tali jika selisih antartali adalah 5 cm.

Penyelesaian

Permasalahan tentang deret aritmetika dengan jumlah 5 bilangan.

Diketahui Jumlah lima tali (Sn) = 950 dan beda (b) = 5.

Sehingga dapat ditulis:

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = S₅

a + (a + 5) + (a + 2(5)) + (a + 3(5)) + (a + 4(5)) = 950

a + (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20) = 950

5a + 50 = 950

5a = 950 – 50

5a = 900

a = 900 : 5

a = 180

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

a ; (a + 5) ; (a + 10) ; (a + 15) dan (a + 20)

180 ; (180 + 5) ; (180 + 10) ; (180 + 15) dan (180 + 20)

180, 185, 190, 195, dan 200.

Jadi, kelima bilangan itu adalah 180, 185, 190, 195, dan 200.

Permasalahan 6

Ani menabung di Bank setiap bulan. Pada bulan Januari ia menabung Rp200.000,00. Pada bulan Februari ia menabung Rp220.000,00. Pada bulan Maretia menabung Rp240.000,00. Dan seterusnya setiap bulan bertambah sacara tetap. Tentukan:

1. Besar uang yang ditabung pada bulan Agustus.

2. Jumlah uang tabungan selama setahun.

Penyelesaian

Permasalahan tentang barisan dan deret aritmetika.

Misalkan:

Suku pertama (U₁) adalah besar yang ditabung pada bulan Januari.

Suku pertama (U₂) adalah besar yang ditabung pada bulan Februari.

Dan seterusnya.

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

U1 = 200.000

b = 20.000

1. Menentukan uang yang ditabung pada bulan Agustus (U8)