Turunan (Diferensial) Fungsi Aljabar (Kalkulus)

Kalkulus diferensial membahas laju perubahan satu kuantitas terhadap kuantitas lain. Atau Anda dapat menganggapnya sebagai studi tentang laju perubahan kuantitas. Misalnya, kecepatan adalah laju perubahan jarak terhadap waktu dalam arah tertentu. Jika f(x) adalah suatu fungsi, maka f'(x) = dy/dx adalah persamaan diferensial, di mana f’(x) adalah turunan fungsi dari f(x), y adalah variabel dependen dan x adalah variabel independen. Dependen dapat diartikan sebagai ketergantungan (variabel terikat). Independen dapat diartikan sebagai kebebasan (variabel bebas).

 

Turunan fungsi (diferensial) dapat ditulis:

f'(x) = dy/dx ; x≠0

 

Pengertian Kalkulus

Dalam matematika, kalkulus adalah cabang ilmu yang membahas tentang pencarian berbagai sifat integral dan turunan fungsi. Kalkulus didasarkan pada penjumlahan perbedaan infinitesimal. Kalkulus adalah studi tentang perubahan kontinu suatu fungsi atau laju perubahan suatu fungsi. Kalkulus memiliki dua cabang utama dan kedua bidang tersebut saling terkait oleh teorema dasar kalkulus. Dua cabang yang berbeda adalah Kalkulus Diferensial dan Kalkulus Integral.

 

Dalam artikel ini, kita akan membahas dasar-dasar kalkulus diferensial, rumus, dan contoh kalkulus diferensial secara terperinci.

 

Dasar-dasar Kalkulus Diferensial

Dalam dasar-dasar kalkulus diferensial, Anda mungkin telah mempelajari tentang persamaan diferensial, turunan, dan aplikasi turunan. Untuk setiap nilai yang diberikan, turunan fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi terhadap nilai yang diberikan. Diferensiasi adalah proses di mana kita menemukan turunan suatu fungsi. Mari kita bahas istilah-istilah penting yang terlibat dalam dasar-dasar kalkulus diferensial.

 

Fungsi

Fungsi didefinisikan sebagai relasi dari sekumpulan masukan ke sekumpulan keluaran di mana setiap masukan dikaitkan secara tepat dengan satu keluaran. Fungsi tersebut direpresentasikan oleh “f(x)”.

 

Variabel Terikat

 Variabel terikat adalah variabel yang nilainya selalu bergantung dan ditentukan dengan menggunakan variabel lain yang disebut variabel bebas. Variabel terikat juga disebut variabel hasil. Hasilnya dievaluasi dari ekspresi matematika menggunakan variabel independen (variabel bebas)  yang disebut variabel dependen.

 

Variabel Independen (Variabel Bebas)

Variabel independen adalah input ke fungsi yang menentukan kuantitas yang sedang dimanipulasi dalam suatu eksperimen. Mari kita perhatikan contoh y= 3x. Di sini, x dikenal sebagai variabel independen dan y dikenal sebagai variabel dependen karena nilai y sepenuhnya bergantung pada nilai x.

 

Domain dan Daerah Hasil (range)

Domain suatu fungsi didefinisikan secara sederhana sebagai nilai input suatu fungsi dan rentang didefinisikan sebagai nilai output suatu fungsi. Ambil contoh, jika f(x) = 3x merupakan suatu fungsi, nilai domain atau nilai inputnya adalah {1, 2, 3} maka range (daerah hasil) suatu fungsi diberikan sebagai

f(1) = 3(1) = 3

f(2) = 3(2) = 6

f(3) = 3(3) = 9

Oleh karena itu, untuk domain {1, 2, 3} diperoleh range fungsi tersebut adalah {3, 6, 9}.

 

Limit

Limit merupakan hal penting dalam kalkulus. Limit digunakan untuk mendefinisikan kontinuitas, integral, dan turunan dalam kalkulus. Limit suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut:

 

Misalnya fungsi tersebut adalah “f” yang didefinisikan pada suatu interval terbuka yang memuat beberapa bilangan, katakanlah “a”, kecuali mungkin pada “a” itu sendiri, maka limit suatu fungsi f(x) ditulis sebagai:

 

Artinya limit f(x) saat “x” mendekati “a” adalah “L”

 

Interval

Interval didefinisikan sebagai rentang bilangan yang ada di antara dua bilangan yang diberikan. Interval dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis yaitu:

Interval Terbuka : Interval terbuka didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan riil x sehingga a < x < b. Direpresentasikan sebagai (a, b).

Interval Tertutup : Interval tertutup didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan riil x sehingga a ≤ x dan x ≤ b, atau lebih ringkasnya, a ≤ x ≤ b, dan direpresentasikan oleh [a, b]

 

Turunan (Diferensial)

Alat dasar kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan digunakan untuk menunjukkan laju perubahan. Turunan membantu menunjukkan jumlah perubahan fungsi untuk titik tertentu. Turunan disebut kemiringan. Turunan mengukur kecuraman/kemiringan grafik fungsi. Turunan mendefinisikan rasio perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabel independen. Turunan y terhadap x dinyatakan dengan dy/dx.

 

Secara grafis, kita mendefinisikan turunan sebagai kemiringan garis singgung, yang bertemu di suatu titik pada kurva atau yang memberikan turunan di titik tempat garis singgung bertemu kurva. Diferensial memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Memeriksa laju perubahan suhu atmosfer atau menurunkan persamaan fisika berdasarkan pengukuran dan satuan, dan lain sebagainya, merupakan contoh umum.

 

Secara umum rumus dasar turunan fungsi sebagai berikut.

f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n x^n-1

f(x) = axⁿ, maka f’(x) = anx^n-1

f(x) = kx, maka f’(x) = k

f(x) = c, maka f’(x) = 0

 

Contoh

f(x) = 6x² – 2 ⇒ f’(x) = 2 . 6x^2-1 – 0 =  12x

f(x) = 2x⁵ + 4x³ ⇒ f’(x) = 2 . 5x^5-1 + 4 . 3x^3-1  

                                  = 10x⁴ + 12x²

f(x) = x⁶ + 5x³ ⇒ f’(x) = 6x^6-1 + 5 . 3x^3-1  

                                = 6x⁵ + 15x²

 

Rumus Kalkulus Diferensial

Bagaimana kita mempelajari kalkulus diferensial? Diferensiasi didefinisikan sebagai laju perubahan kuantitas. Oleh karena itu, rumus kalkulus dapat diturunkan berdasarkan fakta ini. Di sini kami telah memberikan penjelasan terperinci tentang kalkulus diferensial yang membantu pengguna untuk lebih memahami.

Jadi, jika y = f(x) adalah suatu besaran, maka laju perubahan y terhadap x adalah sedemikian rupa sehingga, f'(x) adalah turunan dari fungsi f(x). Selain itu, jika x dan y bervariasi terhadap variabel t, maka dengan rumus aturan rantai, kita dapat menulis turunan dalam bentuk rumus persamaan diferensial.

 

Penerapan Kalkulus Diferensial (Turunan Fungsi)

Dalam matematika, kalkulus diferensial digunakan sebagai beriku.

·         Untuk menemukan laju perubahan suatu besaran terhadap yang lain.

·         Dalam hal menemukan suatu fungsi adalah fungsi yang meningkat atau menurun dalam suatu grafik.

·         Untuk menemukan nilai maksimum dan minimum suatu kurva.

·         Untuk menemukan nilai perkiraan perubahan kecil dalam suatu besaran.

 

Penerapan kalkulus diferensial dalam kehidupan nyata sebagai berikut.

·         Perhitungan laba rugi terhadap bisnis menggunakan grafik.

·         Perhitungan laju perubahan suhu.

·         Perhitungan kecepatan atau jarak yang ditempuh seperti mil per jam, kilometer per jam, dll.,

·         Untuk memperoleh banyak persamaan Fisika.

 

Semoga Bermanfaat.