KPK dan FPB pada Bentuk Aljabar (Matematika SMP/MTs)

 Pada kesempatan ini akan kita bahas tentang cara menentukan Kelipayan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari bentuk-bentuk aljabar. Dalam menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar ini caranya tidak terlalu jauh berbeda dengan cara menentukan KPK dan FPB dalam bilangan.

Seperti pada menentukan KPK dan FPB beberapa bilangan,langkah pertama yang haris dilakukan adalah memfaktorkan bentuk-bentuk aljabar tersebut. Memfaktorkan disini adalah mengubah ke bentuk perkalian bilangan prima dan variabel-variabelnya.

Perhatikan contoh memfaktorkan di bawah ini.

20pq = 2² × 5 × p × q

18a²bc³ = 2 × 3² × a² × b × c²

75p⁴q²r⁵ = 3 × 5² × p⁴ × q² × r⁵

Setelah Anda bisa memfaktorkan, maka untuk menentukan KPK dan FPB dapat Anda lakukan dengan mudah.

 

Langkah-langkah menentukan KPK dari dua atau lebih bentuk aljabar.

1. Faktorkan setiap bentuk aljabar.

2. Pilihlah bilangan-bilangan dan variabel-variabel pembentuknya.

Jika terdapat bilangan yang sama, pilihlah bilangan yang memiliki pangkat tinggi.

Jika terdapat variabel yang sama, pilihlah variabel yang memiliki pangkat tinggi.

3. Kalikan semua bilangan dan variabel berpangkat tersebut.

 

Langkah-langkah menentukan FPB dari dua atau lebih bentuk aljabar.

1. Faktorkan setiap bentuk aljabar.

2. Pilihlah bilangan-bilangan dan variabel-variabel yang dimiliki kedua/lebih bentuk aljabar tersebut.

Jika terdapat bilangan yang sama, pilihlah bilangan yang memiliki pangkat rendah.

Jika terdapat variabel yang sama, pilihlah variabel yang memiliki pangkat rendah.

3. Kalikan semua bilangan dan variabel berpangkat yang terpilih tersebut.

 

Untuk lebih jelasnya , perhatikan beberapa contoh berikut.

 

Contoh 1

Tentukan KPK dari bentuk 20ab³c⁵ dan 25 a²bc³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

20ab³c⁵   = 2² × 5 × a × b³ × c⁵

25 a²bc³  =      5² × a² × b × c³

KPK       = 2² × 5² × a² × b³ × c⁵      (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 4 × 25 × a² × b³ × c⁵

    = 100 a²b³c⁵

Jadi, KPK dari 20ab³c⁵ dan 25 a²bc³ adalah 100 a²b³c⁵.

 

 

Contoh 2

Tentukan KPK dari bentuk 12p³q²r dan 40 pq⁴r³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

12p³q²r  = 2² × 3 × p³ × q² × r

40 pq⁴r³ = 2³ × 5 × p  × q⁴ × r³

KPK       = 2³ × 3 × 5 × p³ × q⁴ × r³      (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × 5 × p³ × q⁴ × r³ 

             = 120 p³q⁴r³

Jadi, KPK dari 12p³q²r dan 40 pq⁴r³ adalah 120 p³q⁴r³.

 

 

Contoh 3

Tentukan KPK dari bentuk 10a²b³c, 15 ab⁵c² dan 24a²b³c⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

10a²b³c   = 2 × 5 × a² × b³ × c

15 ab⁵c²  = 3 × 5 × a × b⁵ × c²

24a²b³c⁴  = 2³ × 3 × a² × b³ × c⁴

KPK       = 2³ × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴     (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴ 

             = 120 a²b⁵c⁴

Jadi, KPK dari 10a²b³c, 15 ab⁵c² dan 24a²b³c⁴  adalah 120 a²b⁵c⁴.

 

 

Contoh 4

Tentukan FPB dari bentuk 48a²b³c⁵ dan 60a²b⁵c⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

48a²b³c⁵   = 2⁴ × 3 × a² × b³ × c⁵

60a²b⁵c⁴  =  2² × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴

FPB       = 2² × 3 × a² × b³ × c⁴      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat rendah)

             = 12 × a² × b³ × c⁴

             = 12 a²b³c⁴

Jadi, FPB dari bentuk 48a²b³c⁵ dan 60a²b⁵c⁴   adalah 12 a²b³c⁴.

 

 

Contoh 5

Tentukan FPB dari bentuk 120pq³r⁴ dan 108p²q⁶r³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

120pq³r⁴   = 2³ × 3 × 5 × p × q³ × r⁴

108p²q⁶r³  = 2³ × 3²   × p² × q⁶ × r³

FPB       = 2³ × 3 × p × q³ × r³      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × p × q³ × r³

             = 24pq³r³

Jadi, FPB dari bentuk 120pq³r⁴ dan 108p²q⁶r³  adalah 24pq³r³.

 

 

Contoh 6

Tentukan FPB dari bentuk 90x³y⁴z² , 75x²y²z⁶ , dan 135x⁸yz⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

90x³y⁴z²   = 2 × 3² × 5 × x³ × y⁴ × z²

75x²y²z⁶   = 3 × 5²      × x² × y² × z⁶

135x⁸yz⁴  = 3³ × 5       × x⁸ × y × z⁴

FPB       = 3 × 5 × x² × y × z²      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat rendah)

             = 15 × x² × y × z²

             = 15 x²yz²

Jadi, FPB dari bentuk 90x³y⁴z² , 75x²y²z⁶ , dan 135x⁸yz⁴  adalah 15 x²yz².

 

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar.

Semoga bermanfaat.

LATIHAN SOAL TKA MATEMATIKA SD/MI _ Materi Persegi Panjang dan Persegi

 Dalam kesempatan ini akan admin berikan soal-soal latihan berkaitan dengan persegi panjang dan persegi. Kali ini akan kami berikan soal cerita untuk persiapan menghadapi ulangan dan ujian tes kemampuan Akademik (TKA) Matematika SD/MI.

Gunakan soal soal ini untuk belajar.

Selamat berlatih

 

1. Sebuah bingkai foto berbentuk persegi panjang memiliki panjang 18 cm dan lebar 12 cm. Berapa keliling bingkai tersebut?

A. 48 cm
B. 60 cm
C. 72 cm
D. 84 cm

 

2.Ani menutup meja belajarnya dengan taplak berbentuk persegi panjang berukuran 120 cm × 80 cm. Berapa luas taplak tersebut?

A. 8.000 cm²
B. 9.600 cm²
C. 10.200 cm²
D. 12.000 cm²

 

3. Taman kecil di depan sekolah berbentuk persegi dengan keliling 64 meter. Berapa panjang sisi taman tersebut?

A. 12 m
B. 14 m
C. 15 m
D. 16 m

 

4. Lantai kamar Dodi dipasang ubin persegi bersisi 40 cm. Berapa luas satu ubin?

A. 1.600 cm²
B. 2.400 cm²
C. 3.200 cm²
D. 4.000 cm²

 

5. Sebuah taman A berbentuk persegi panjang berukuran 25 m × 15 m.
Taman B berbentuk persegi dengan sisi 20 m.
Manakah pernyataan yang benar?

A. Keliling A lebih besar 10 m dari B
B. Keliling A lebih kecil 10 m dari B
C. Keliling A dan B sama
D. Keliling B dua kali keliling A

 

6. Luas papan tulis di kelas adalah 2,4 m². Jika lebarnya 0,8 m, maka panjang papan tulis tersebut adalah …

A. 2 m
B. 2,5 m
C. 3 m
D. 3,5 m

 

7. Sebuah persegi panjang awalnya berukuran 30 cm × 20 cm.
Kemudian panjangnya diperbesar 10 cm, sedangkan lebarnya diperkecil 5 cm.
Berapa luas persegi panjang yang baru?

A. 450 cm²
B. 500 cm²
C. 550 cm²
D. 600 cm²

 

8. Sebuah persegi memiliki luas 144 cm². Sebuah persegi panjang memiliki lebar 9 cm dan luas dua kali luas persegi tersebut.
Berapa panjang persegi panjang itu?

A. 28 cm
B. 30 cm
C. 32 cm
D. 36 cm

 

9. Seseorang memiliki pagar sepanjang 48 meter untuk membuat kebun berbentuk persegi panjang.
Agar luas kebun maksimal, ukuran yang harus dibuat adalah …

A. 10 m × 14 m
B. 12 m × 12 m
C. 8 m × 16 m
D. 6 m × 18 m

 

10. Sebuah papan berbentuk persegi panjang berukuran 50 cm × 30 cm.
Sebagian papan ditutupi empat persegi identik dengan sisi 10 cm.
Berapa luas papan yang tidak tertutup?

A. 900 cm²
B. 1.000 cm²
C. 1.200 cm²
D. 1.300 cm²

 

Semoga bermanfaat.

PREDIKSI SOAL UJIAN TKA MATEMATIKA SMP/MTS _ BAB HIMPUNAN

Hai sobat Imath, untuk kamu yang akan menghadapi Ujian TKA SMP/MTS? Sekarang ga perlu panik untuk menghadapinya! Kamu, sebagai seorang siswa SMP, pasti ingin mendapatkan hasil terbaik saat menghadapi Ujian TKA (Tes Kompetensi Akademik). Nah, supaya kamu bisa menghadapi ujian itu dengan percaya diri, kamu perlu melakukan persiapan yang baik sejak sekarang.

 

Ujian TKA itu penting karena mengukur seberapa jauh kemampuanmu dalam memahami materi pelajaran, terutama Matematika. Tanpa persiapan yang cukup, kamu bisa merasa kesulitan ketika mengerjakan soal-soalnya. Kali ini kita akan membahas tentang soal-soal Himpunan.

Yuk, kerjakan soal-soal berikut.

 

1. Perhatikan diagram Venn berikut.

Himpunan A berisi bilangan prima kurang dari 15.

Himpunan B berisi bilangan ganjil kurang dari 15.

Pada diagram tampak bahwa A ∩ B berisi 3 anggota.
Himpunan A ∩ B adalah ...

A.   {2, 3, 11}
B.   {3, 5, 7}
C.   {5, 7, 9}
D.   {1, 3, 5}

 

2. Diketahui
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {4, 6, 8, 10, 12}
C = {6, 8, 14}

Himpunan A ∩ B ∩ C adalah ...

A.   {4, 6}
B.   {6, 8}
C.   {8, 10}
D.   {6}

 

3. Diketahui
A = {a, b, c, d}
B = {c, d, e}
C = {e, f}

Himpunan A ∪ B ∪ C adalah ...

A.   {a, b, c, d}
B.   {a, c, d, e, f}
C.   {a, b, c, d, e, f}
D.   {b, c, d, e}

 

4. Diketahui
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6}

Himpunan A − B. adalah ...

A.   {1, 3, 5}
B.   {1, 2, 3}
C.   {3, 5}
D.   {1, 5, 6}

 

5. Diketahui semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan A = {2, 4, 6, 8}.

Himpunan A' (komplemen A terhadap S) adalah . . .

A.   {1, 3, 5, 7}
B.   {3, 5, 6, 7}
C.   {1, 2, 3, 5, 7}
D.   {2, 4, 6}

 

6. Himpunan A dinyatakan dalam notasi pembentuk sebagai berikut:

A = {x∣x adalah kelipatan 3 yang kurang dari 20}

Bentuk daftar yang benar dari himpunan A adalah …

A.   {3, 6, 9, 12, 15}
B.   {3, 6, 9, 12, 15, 18}
C.   {3, 6, 9, 12, 18, 21}
D.   {0, 3, 6, 9}

 

7. Dalam sebuah survei, 40 siswa ditanya apakah mereka suka teh (T) atau kopi (K).

• 22 siswa suka teh
• 18 siswa suka kopi
• 10 siswa suka keduanya

Banyak siswa yang tidak suka keduanya adalah . . .

A.   10
B.   8
C.   30
D.   12

 

8. Pada sebuah diagram Venn, himpunan A berisi bilangan genap kurang dari 20, dan himpunan B berisi bilangan kelipatan 4 kurang dari 20.
Jika pada diagram tertulis bahwa jumlah anggota A − B ada 5 anggota, anggota yang mungkin terdapat pada A − B adalah …

A.   {2, 6, 10, 14, 18}
B.   {6, 10, 14, 18, 20}
C.   {4, 8, 12, 16, 20}
D.   {2, 4, 6, 8, 10}

 

9.Diketahui tiga himpunan berikut:
A = bilangan prima kurang dari 20
B = bilangan ganjil kurang dari 20
C = faktor dari 45

Himpuan A ∩ B ∩ C adalah . . ..

A.   {3, 5}
B.   {3}
C.   {1, 3, 5}
D.   {9}

 

10. Diketahui
A = {2, 4, 6}
B = {4, 8, 12}
C = {6, 8, 10, 12}

Jika suatu himpunan D memenuhi D ⊂ (A ∪ B ∪ C) dan memiliki 3 anggota berbeda, maka kemungkinan jumlah himpunan D adalah …

A.   4
B.   6
C.   7
D.   8

 

11. Diketahui himpunan
A = {x | 1 ≤ x ≤ 15, x bilangan ganjil}
B = {x | x adalah faktor dari 36}

Himpunan A – B adalah . . .

A.   {1, 3, 5, 7, 9, 11}
B.   {5, 7, 11, 13, 15}
C.   {7, 11, 13, 15}
D.   {1, 5, 7, 11, 13, 15}

 

12. Semesta S = {1–50}.
A = {bilangan prima kurang dari 20}
B = {bilangan yang habis dibagi 5}

Komplemen dari A ∪ B adalah . . .

A.   Semua bilangan komposit kurang dari 20
B.   Bilangan 1–50 kecuali bilangan prima <20 dan kelipatan 5
C.   Bilangan ganjil antara 20–50
D.   {25, 35, 45}

 

13. Sebuah himpunan A dinyatakan:

A={x∣x adalah bilangan dua digit yang jumlah digitnya = 10}A = \{x | x\ \text{adalah bilangan dua digit yang jumlah digitnya = 10}\}A={x∣x adalah bilangan dua digit yang jumlah digitnya = 10}

Bentuk daftar yang benar adalah …

A.   {19, 28, 37, 46, 55}
B.   {19, 28, 37, 46, 64}
C.   {19, 28, 37, 46, 55, 64}
D.   {10, 20, 30, 40}

 

14. Diagram Venn menunjukkan:
• |A| = 32
• |B| = 28
• |A ∩ B| = 15
• |S| = 50

Banyak anggota A' ∩ B'  adalah . . .

A.   5
B.   10
C.   17
D.   20

 

15. Dalam suatu survei, 60 siswa ditanya apakah mereka mengikuti:
• Les Matematika (M)
• Les Bahasa Inggris (I)

Diketahui:
• 35 mengikuti Matematika
• 30 mengikuti Inggris
• 12 mengikuti keduanya
• 5 siswa tidak mengikuti keduanya

Banyak siswa yang hanya mengikuti satu jenis les adalah ....

A.   45
B.   40
C.   35
D.   30

 

16. Dalam sebuah survei makanan favorit:
• 50 suka ayam (A)
• 40 suka bakso (B)
• 30 suka soto (C)
• 20 suka ayam dan bakso
• 15 suka ayam dan soto
• 10 suka bakso dan soto
• 5 suka semua

Banyak siswa yang hanya suka ayam adalah . . .

A.   20
B.   22
C.   25
D.   30

 

 

17. Dalam suatu sekolah terdapat 200 siswa.
Diketahui:
• 120 siswa suka sepak bola (S)
• 90 suka bulu tangkis (B)
• 50 suka keduanya
• Sebagian siswa tidak suka keduanya.

Banyak siswa yang tidak suka kedua olahraga tersebut adalah . .  .

A.   30
B.   40
C.   50
D.   60

  

Demikian soal-soal yang diberikan semoga bermanfaat.

  

PREDIKSI SOAL TKA MATEMATIKA SMP MTS _ tentang Aritmetika Soaial Jual Beli

 Kamu pasti sering berbelanja di warung, minimarket, atau pasar. Setiap barang yang dijual memiliki harga beli, harga jual, dan menghasilkan untung atau rugi bagi penjual. Nah, inilah yang dipelajari dalam Aritmetika Sosial. Materi ini sangat penting karena sering muncul dalam ujian nasional, termasuk TKA Matematika untuk SMP/MTs.

Agar kamu lebih siap, berikut penjelasan singkat dan rumus-rumus dasar yang wajib kamu kuasai.

Istilah-istilah Dasar dalam Aritmetika Sosial

Harga Beli (HB) : Harga saat pedagang membeli barang dari pemasok.

Harga Jual (HJ) : Harga saat pedagang menjual barang ke pembeli.

Untung (U) : Terjadi jika harga jual lebih besar dari harga beli.
Rumus:

• U = HJ − HB

Rugi (R) : Terjadi jika harga jual lebih kecil dari harga beli.
Rumus:

• R = HB − HJ

Persentase Untung (%) :  Menunjukkan seberapa besar keuntungan dibanding harga beli.

• %U = (U / HB) × 100%

Persentase Rugi (%) :  Menunjukkan seberapa besar kerugian dibanding harga beli.

• %R = (R / HB) × 100%

Harga Jual jika Untung

Jika diketahui persentase untung (%U):

• HJ = HB + ( %U × HB )

Harga Jual jika Rugi

Jika diketahui persentase rugi (%R):

• HJ = HB − ( %R × HB )

 

Ayo, mempelajari soal-soal tentang jual beli berikut.

1. Ani membeli sebuah tas seharga Rp150.000,00. Ia ingin menjualnya dengan keuntungan 20%. Harga jual tas tersebut adalah …
A. Rp160.000,00
B. Rp170.000,00
C. Rp175.000,00
D. Rp180.000,00

2. Budi menjual sepedanya seharga Rp840.000,00 dan mengalami kerugian Rp60.000,00. Harga beli sepeda tersebut adalah …
A. Rp880.000,00
B. Rp890.000,00
C. Rp900.000,00
D. Rp920.000,00

3. Sebuah buku dibeli dengan harga Rp40.000,00 dan dijual dengan harga Rp50.000,00. Persentase keuntungan adalah …
A. 15%
B. 20%
C. 22,5%
D. 25%

4. Sebuah toko menjual 2 jenis barang:

Barang A dibeli Rp30.000,00 dan dijual dengan untung 10%.

Barang B dibeli Rp50.000,00 dan dijual dengan untung 20%.
Keuntungan total dari penjualan kedua barang adalah …
A. Rp9.000,00
B. Rp11.000,00
C. Rp13.000,00
D. Rp15.000,00

 

5. Sebuah baju diberi diskon 20%, lalu mendapat diskon tambahan 10%. Jika harga awalnya Rp200.000,00, harga akhirnya adalah …
A. Rp140.000,00
B. Rp144.000,00
C. Rp150.000,00
D. Rp160.000,00

6. Satu paket berisi 25 buku dibeli seharga Rp300.000,00. Jika pedagang ingin untung 20%, maka harga jual satu buku adalah …
A. Rp12.000,00
B. Rp13.000,00
C. Rp14.400,00
D. Rp15.600,00

7. Sebuah sepatu harganya Rp400.000,00. Harga diturunkan 25%, lalu dinaikkan kembali 20% dari harga setelah turun. Harga akhir sepatu adalah …
A. Rp340.000,00
B. Rp360.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp380.000,00

8. Seorang pedagang membeli dua jenis barang:

• Barang A rugi 10% ketika dijual Rp270.000,00
• Barang B untung 20% ketika dijual Rp360.000,00

Total modal pedagang adalah …
A. Rp550.000,00
B. Rp580.000,00
C. Rp600.000,00
D. Rp620.000,00

9. Sebuah barang mengalami kenaikan harga 20%, lalu diturunkan kembali 20%. Pernyataan yang benar adalah …
A. Harga akhir kembali ke harga semula
B. Harga akhir lebih rendah dari harga semula
C. Harga akhir lebih tinggi dari harga semula
D. Harga akhir menjadi dua kali lipat

10. Sebuah barang seharga Rp500.000,00 didiskon 30%, kemudian dinaikkan kembali 40%. Harga akhirnya adalah …
A. Rp455.000,00
B. Rp460.000,00
C. Rp480.000,00
D. Rp490.000,00

Semoga Bermanfaat.

 

Soal TKA MAtematika SD/MI Tentang KPK dan FPB

Hai sobat Imath, untuk kamu yang akan menghadapi Ujian TKA SD/MI? Sekarang ga perlu panik untuk menghadapinya! Kamu, sebagai seorang siswa SD/MI, pasti ingin mendapatkan hasil terbaik saat menghadapi Ujian TKA (Tes Kompetensi Akademik). Nah, supaya kamu bisa menghadapi ujian itu dengan percaya diri, kamu perlu melakukan persiapan yang baik sejak sekarang.

 

Ujian TKA itu penting karena mengukur seberapa jauh kemampuanmu dalam memahami materi pelajaran, terutama Matematika. Tanpa persiapan yang cukup, kamu bisa merasa kesulitan ketika mengerjakan soal-soalnya. Kali ini kita akan membahas tentang soal KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar).

 

1. FPB dari 24 dan 36 adalah …
A.  4
B.  6
C.  8
D.  12

2. Dua bilangan memiliki KPK 84. Jika salah satu bilangan adalah 12, maka bilangan lainnya yang mungkin adalah …
A.  18
B.  21
C.  24
D.  28

3. KPK dari tiga bilangan 6, 10, dan 15 adalah …
A.  30
B.  60
C.  90
D.  120

 

4. FPB dari 48, 60, dan 84 adalah …
A.  6
B.  12
C.  24
D.  30

5. Diketahui KPK dari dua bilangan adalah 180. Salah satu bilangan adalah 36. Bilangan lain yang mungkin adalah …
A.  45
B.  60
C.  72
D.  90

6. FPB dari dua bilangan adalah 9. Jika salah satu bilangan 45, maka bilangan lain yang mungkin adalah …
A.  21
B.  27
C.  33
D.  54

7. Sebuah lampu berkedip setiap 18 detik, sedangkan sirene berbunyi setiap 24 detik. Jika keduanya menyala bersamaan pada pukul 07.00 tepat, maka keduanya akan bersamaan lagi pada pukul …

A.  07.01.12
B.  07.02.24
C.  07.03.36
D.  07.04.48

8. Pak Roni memiliki 84 bungkus roti dan 126 bungkus minuman. Ia ingin membuat paket sembako dengan jumlah roti dan minuman terbanyak tetapi sama banyak tiap paket. Banyak paket yang dapat dibuat adalah …
A.  6
B.  14
C.  21
D.  42

9. Manakah situasi yang menggunakan FPB?
A.  Menentukan kapan dua jam alarm berbunyi bersama
B.  Menentukan jumlah maksimum kotak untuk membagi 72 dan 108 kue
C.  Menentukan kapan dua bus tiba bersamaan
D.  Mengatur jadwal rempah ditanam setiap beberapa hari

10. Toko ingin membagi 96 dan 180 botol minuman ke dalam jumlah rak yang sama banyak. Operasi yang tepat digunakan adalah …
A.  KPK
B.  FPB
C.  Pembagian
D.  Pengurangan

11. Sebuah mesin berputar setiap 40 detik, dan mesin lainnya berputar setiap 54 detik. Jika keduanya mulai berputar bersamaan pukul 10.00.00, maka kedua mesin akan berputar bersamaan lagi setelah …
A.  180 detik
B.  270 detik
C.  360 detik
D.  540 detik

12. Sebuah sekolah memiliki 132 pensil dan 180 pulpen untuk dibagikan ke siswa dengan jumlah sama banyak di setiap paket alat tulis. Banyak paket maksimal yang dapat dibuat adalah …
A.  12
B.  18
C.  24
D.  36

13. "Dua rapat berlangsung setiap 8 hari dan 10 hari sekali. Jika pertama kali bersamaan pada 1 April, maka rapat berikutnya yang bersamaan jatuh pada …"
A.  21 April
B.  11 April
C.  11 Mei
D.  12 Mei

14. Sebuah acara menyediakan 144 roti dan 120 gelas minuman. Semua roti dan minuman ingin dimasukkan ke dalam paket dengan isi sama banyak. Jumlah paket maksimum adalah …
A.  12 paket
B.  16 paket
C.  24 paket
D.  36 paket

15. Sebuah toko menerima pasokan beras setiap 45 hari sekali dan pasokan gula setiap 60 hari sekali. Selain itu, toko ingin membagi 300 kg beras dan 420 kg gula ke dalam paket dengan isi terbanyak dan sama banyak. Pasokan berikutnya datang bersamaan setelah … dan jumlah paket maksimal yang dapat dibuat adalah …
A.  90 hari dan 30 paket
B.  180 hari dan 60 paket
C.  180 hari dan 120 paket
D.  60 hari dan 15 paket

 

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat y = ax2 + bx + c

 Hai sobat I-Math, pada kesempatan ini akan kami berikan cara menggambar grafik fungsi kuadrat dengan cara-cara yang mudah dengan menentukan titik-titik koordinat baku yang terdapat pada grafik fungsi kuadrat.

Ingat bahwa ciri khas grafik fungsi kuadrat adalah pada bantuknya yang seperti parabola, memiliki titik puncak, dan simetris.

Nah, bagaimana cara menggambar atau melukis grafik fungsi kuadrat?

 

Bentuk-bentuk persamaan grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.

1. y = x² + 4x – 5

2. y = x² - 6x + 8

3. y = -x² + 2x + 15  

4. y = 2x² + 5x – 12

 

 

Nah, bagaimana cara menggambar grafik fungsi kuadrat tersebut? Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.

1.  Menentukan titik potong grafik terhadap sumbu X (y = 0)

2.  Menentukan titik potong grafik terhadap sumbu Y (x = 0)

3.  Menentukan sumbu simetri dan titik puncak.

4.  Menentukan titik bantu lainnya untuk membantu menentukan grafik.

 

Untuk lebih jelasnya cara menggambar grafik fungsi kuadrat, perhatikan cara menggambar grafik fungsi kuadrat di atas.

 

1. Menggambar grafik y = x² + 4x – 5

Langkah-langkah:

(i) Menentukan titik potong terhadap sumbu X (y = 0)

     y = x² + 4x – 5

     0 = x² + 4x – 5  atau

     x² + 4x – 5  = 0

     (x + 5)(x – 1) = 0

     x = -5   atau  x = 1

     Diperoleh titik potong terhadap sumbu X : (-5, 0) dan (1, 0).

 

(ii) Menentukan titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)

     y = x² + 4x – 5

     y = 0² + 4(0) – 5

     y = 0 - 0 – 5

     y = -5

     Diperoleh titik potong terhadap sumbu Y : (0, -5).

 

(iii) Menentukan Sumbu simetri dan titik puncak

     y = x² + 4x – 5 , diperoleh a = 1, b= 4, dan c = -5

     Sumbu Simetri :    

     x_s = -(b/2a) = -(4/2(1)) = -(4/2) = -2

     Titik puncak: (x_s, f(x_s)

     Substitusikan nilai x = -2 ke persamaan fungsi kuadrat.

     y = x² + 4x – 5

     y = (-2)² + 4(-2) – 5

     y = 4 – 8 – 5

     y = -9

    Jadi, diperoleh titik puncak (-2, -9).

 

(iv) Menentukan titik bantu lainnya.

     Untuk x = 2

     y = (2)² + 4(2) – 5

     y = 4 + 8 – 5

     y = 7

    Diperoleh titik (2, 7).

   

    Untuk x = -4

     y = (-4)² + 4(-4) – 5

     y = 16 – 16 – 5

     y = -5

    Diperoleh titik (-4, -5).

 

Dengan demikian secara umum grafik fungsi y = x² + 4x – 5 melalui titik (-5, 0); (-4, -5); (-2, -9); (0, -5) ; (1, 0) dan (2, 7).

 

Grafik fungsi y = x² + 4x – 5 sebagai berikut.

 

2. Menggambar grafik y = x² - 6x + 8

Langkah-langkah:

(i) Menentukan titik potong terhadap sumbu X (y = 0)

     y = x² - 6x + 8

     0 = x² - 6x + 8 atau

     x² - 6x + 8  = 0

     (x - 2)(x – 4) = 0

     x = 2   atau  x = 4

     Diperoleh titik potong terhadap sumbu X : (2, 0) dan (4, 0).

 

(ii) Menentukan titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)

     y = x² - 6x + 8

     y = 0² - 6(0) + 8

     y = 0 – 0 + 8

     y = 8

     Diperoleh titik potong terhadap sumbu Y : (0, 8).

 

(iii) Menentukan Sumbu simetri dan titik puncak

     y = x² - 6x + 8 , diperoleh a = 1, b = -6, dan c = 8

     Sumbu Simetri :      

     x_s = -(b/2a) = -(-6/2(1)) = -(-6/2) = 3

      Titik puncak: (x_s, f(x_s)

     Substitusikan nilai x = 3 ke persamaan fungsi kuadrat.

     y = x² - 6x + 8

     y = 3² - 6(3) + 8

     y = 9 – 18 + 8

     y = -1

    Jadi, diperoleh titik puncak (3, -1).

 

(iv) Menentukan titik bantu lainnya.

     Untuk x = 5

     y = x² - 6x + 8

     y = 5² - 6(5) + 8

     y = 25 – 30 + 8

     y = 3

    Diperoleh titik (5, 3).

   

    Untuk x = -1

     y = x² - 6x + 8

     y = (-1)² - 6(-1) + 8

     y = 1 + 6 + 8

     y = 15

    Diperoleh titik (-1, 15).

 

Dengan demikian secara umum grafik fungsi y = x² + 4x – 5 melalui titik (-1, 15); (0, 8); (2, 0); (3, -1) ; (4, 0) dan (5, 3).

 

Grafik fungsi y = x² - 6x + 8 sebagai berikut.

 

3. Menggambar grafik y = -x² + 2x + 15

Langkah-langkah:

(i) Menentukan titik potong terhadap sumbu X (y = 0)

     y = -x² + 2x + 15

     0 = -x² + 2x + 15  atau

     -x² + 2x + 15  = 0

     x² - 2x - 15  = 0

     (x + 3)(x – 5) = 0

     x = -3   atau  x = 5

     Diperoleh titik potong terhadap sumbu X : (-3, 0) dan (5, 0).

 

(ii) Menentukan titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)

     y = -x² + 2x + 15

     y = -0² + 2(0) + 15

     y = 0 + 0 + 15

     y = 15

     Diperoleh titik potong terhadap sumbu Y : (0, 15).

 

(iii) Menentukan Sumbu simetri dan titik puncak

     y = -x² + 2x + 15, diperoleh a = -1, b = -2, dan c = 15

     Sumbu Simetri :    

     x_s = -(b/2a) = -(2/2(-1)) = -(2/(-2)) = 1

     Titik puncak: (x_s, f(x_s))

     Substitusikan nilai x = 1 ke persamaan fungsi kuadrat.

     y = -x² + 2x + 15

     y = -1² + 2(1) + 15

     y = -1 + 2 + 15

     y = 16

    Jadi, diperoleh titik puncak (1, 16).

 

(iv) Menentukan titik bantu lainnya.

     Untuk x = -2

     y = -x² + 2x + 15

     y = -(-2)² + 2(-2) + 15

     y = -4 + (-4) + 15

     y = 7

    Diperoleh titik (-2, 7).

   

    Untuk x = 3

     y = -x² + 2x + 15

     y = -3² + 2(3) + 15

     y = -9 + 6 + 15

     y = 12

    Diperoleh titik (3, 12).

 

Dengan demikian secara umum grafik fungsi y = -x² + 2x + 15 melalui titik (-3, 0); (-2, 7); (1, 16); (0, 15) ; (3, 12) dan (5, 0).

 

Grafik fungsi y = -x² + 2x + 15 sebagai berikut.

 Demikianlah sekilas materi tentang cara menggambar gafik fungsi kuadrat.

Semoga bermanfaat.

Nah, sekarang cobalah soal nomor 4 di atas.

Selamat mencoba.