Aturan Sinus dalam Segitiga

 Dalam trigonometri juga dipelajari tentang Aturan Sinus dan Aturan Kosinus (Sine Rule Formula and Cosine RuleFormula).

Apa manfaat Aturan Sinus dan Kosinus dalam segitiga? Coba kalian simak beberapa permasalahan yang muncul di seputar segitiga berikut.

1.   Diketahui segitiga sembarang dengan panjang sisi-sisinya 4 cm, 5 cm, dan 8 cm. Tentukan besar setiap sudut dalam segitiga tersebut.

2.  Diketahui segitiga PQR memiliki sudut P = 30^o, sudut Q = 45^o dan sudut R = 105^o. Jika panjang sisi QR = 12 cm, tentukan panjang sisi PQ dan PR.

3.   Diketahui segitiga sembarang ABC dengan panjang AB = 6 cm dan AC = 8 cm. Sudut yang diapit kedua sisi tersebut adalah 30^o. Tentukan panjang sisi yang ketiga.

 

Itulah beberapa hal yang berkaitan dengan segitiga. Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan Aturan Sinus dan Aturan Kosinus (Sine Rule Formula and Cosine RuleFormula). Bagaimana cara menggunakan rumus Aturan Sinus dan Aturan Kosinus?

Memang benar bahwa ketika terdapat permasalahan yang berkaitan dengan segitiga, dan tidak bisa dipecahkan secara sederhana, maka solusinya adalah menggunakan trigonometri. Sekarang marilah mempelajari Aturan Sinus dan Aturan Kosinus.

 

Pada kesempatan ini akan kita bahas Aturan Sinus terlebih dahulu.

Aturan sinus ini banyak manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya untuk menentukan jarak dua tempat, Menghitung panjang kawat yang melintas, dan lain sebagainya.

Aturan Sinus

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c. Maka hubungan perbandingan trigonomometri dengan panjang sisi-sisinya sebagai berikut.

Perhatikan beberapa contoh penerapan aturan sinus berikut.

Panjang QR = 24 cm

Untuk mencari keliling PQR, langkah pertama harus menentukan panjang sisi-sisinya terlebih dahulu. Jadi, panjang PQ dan PR harus ditentukan terlebih dahulu.

Keliling segitiga PQR

K = PQ + QR + PR

   = 33,816 + 24 + 36,053

   = 93,869

Jadi, Keliling segitiga PQR adalah 93,869 cm.

 

Demikianlah sekilas materi tentang Aturan Sinus yang dapat kami sampaikan.

Semoga Bermanfaat.

Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

  

 1. Definisi Persamaan Linear Satu Variabel 

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk ax + b = 0, di mana x adalah variabel, dan a serta b adalah angka. Istilah "linear" berarti bahwa variabel x memiliki pangkat 1, dan tidak ada pangkat atau operasi lain, seperti kuadrat atau kubik, pada x. Persamaan ini disebut "satu variabel" karena hanya melibatkan satu bilangan yang tidak diketahui. 

Contohnya: 

1. 3x + 5 = 0 

2. 2x - 7 = 13 

3. x + 9 = -4 

 

 2. Bentuk Standar Persamaan Linear Satu Variabel 

Bentuk standar persamaan linear satu variabel adalah: 

ax + b = 0 

dimana: 

- x adalah variabel yang perlu kita selesaikan. 

- a adalah koefisien dari x (tidak boleh sama dengan nol). 

- b adalah konstanta. 

Misal: 

- Pada 4x - 7 = 0, a = 4 dan b = -7. 

- Pada -3x + 2 = 0, a = -3 dan b = 2. 

 

 3. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel 

Untuk menyelesaikan persamaan linear, tujuannya adalah menemukan nilai x yang membuat persamaan benar. Berikut langkah-langkah dasarnya: 

1. Sederhanakan persamaan: Gabungkan suku-suku sejenis jika diperlukan. 

2. Pisahkan variabel: Pindahkan semua suku dengan x ke satu sisi persamaan dan konstanta ke sisi lainnya. 

3. Selesaikan variabel: Bagi atau kalikan untuk menemukan nilai x. 

 

 Contoh 1: 

Selesaikan 3x + 5 = 11. 

Langkah 1: Kurangi 5 dari kedua sisi. 

         3x + 5 - 5 = 11 - 5 

                     3x = 6 

Langkah 2: Bagikan kedua sisi dengan 3. 

                  3x/3 = 6/3 

                       x = 2 

 

 Contoh 2: 

Selesaikan 7x - 3 = 25. 

Langkah 1: Tambahkan 3 ke kedua sisi. 

7x - 3 + 3 = 25 + 3 

           7x = 28 

Langkah 2: Bagikan kedua sisi dengan 7. 

        7x/7 = 28/7 

            x = 4 

 

 4. Contoh Persamaan Linear Satu Variabel 

Berikut adalah beberapa contoh persamaan linear dan penyelesaiannya: 

 

1. Selesaikan 2x + 6 = 3x - 5 

   Jawaban: 

           2x + 6 = 3x - 5 

      2x + 6 - 6 = 3x - 5 - 6         (Kurangi kedua ruas dengan 6)

                 2x = 3x - 11 

          2x - 3x = 3x - 3x - 11     (Kurangi kedua ruas dengan 3x)

                  -x = -11           

         -x × (-1) = -11 × (-1)       (Kalikan kedua ruas dengan -1)

                    x = 11 

 

2. Selesaikan 5x - 12 = 2x + 3 

   Jawaban: 

             5x - 12 = 2x + 3 

    5x - 12 + 12 = 2x + 3 + 12       (Tambahkan kedua ruas dengan 12)

                   5x = 2x + 15 

            5x - 2x = 2x - 2x + 15      (Kurangi kedua ruas dengan 2x)

                   3x = 15 

              3x / 3 = 15 / 3                (Bagilah kedua ruas dengan 3)

                     x = 5 

 

3. Selesaikan 3(2x - 5) = 4x + 7 

   Jawaban: 

          3(2x - 5) = 4x + 7             (Jabarkan 3(2x - 6))

            6x - 15 = 4x + 7 

   6x - 15 + 15 = 4x + 7 + 15      (Tambahkan kedua ruas dengan 15)

                   6x = 4x + 22 

            6x - 4x = 4x - 4x + 22    (Kurangi kedua ruas dengan 4x)

                   2x = 22 

              2x / 2 = 22 / 2             (Bagilah kedua ruas dengan 2)

                     x = 11 

 

 5. Masalah Dunia Nyata dengan Persamaan Linear Satu Variabel 

Persamaan linear satu variabel berguna untuk menyelesaikan masalah kehidupan nyata. Berikut beberapa contohnya: 

 

 Contoh 1: Masalah Usia 

Usia Sarah adalah 5 tahun lebih tua dari dua kali usia adiknya. Jika adiknya berusia x tahun dan Sarah berusia 17 tahun, temukan usia adiknya. 

Jawaban: 

Persamaannya adalah 

2x + 5 = 17 

Penyelesaian: 

- Kurangi 5 dari kedua sisi: 2x = 12 

- Bagikan dengan 2: x = 6 

Jadi, Adiknya berusia 6 tahun. 

 

 Contoh 2: Masalah Uang 

Sebuah pensil harganya Rp2.000 lebih mahal dari sebuah penghapus. Jika pensil harganya Rp10.000, temukan harga penghapus. 

Jawaban: 

Persamaannya adalah 

E + 2 = 10 (di mana E adalah harga penghapus) 

Penyelesaian: 

- Kurangi 2 dari kedua sisi: E = 8 

Jadi, harga penghapus adalah Rp8.000. 

 

 Contoh 3: Masalah Jarak 

Sebuah mobil melaju dengan kecepatan 60 km/jam dan menempuh jarak tertentu dalam t jam. Jika jarak total yang ditempuh adalah 180 km, temukan nilai t. 

Jawaban: 

Persamaannya adalah: 

60t = 180 

Penyelesaian: 

- Bagikan kedua sisi dengan 60: t = 3 

Jadi, mobil tersebut berjalan selama 3 jam.  

Demikianlah sekilas materi tentang persamaan linear satu variabel (PLSV) yang kami sampaikan.

Semoga bermanfaat.

Persamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya

Persamaan Kuadrat dapat didefinisikan sebagai persamaan polinomial derajat dua, yang berarti persamaan tersebut terdiri dari minimal satu suku yang dikuadratkan. Persamaan ini juga disebut persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0

di mana x adalah variabel yang tidak diketahui dan a, b, c adalah koefisien numerik. Misalnya, x² + 2x +1 adalah persamaan kuadrat. Di sini, a ≠ 0 karena jika sama dengan nol maka persamaan tersebut tidak akan tetap kuadrat lagi dan akan menjadi persamaan linier, seperti di bawah ini:

bx + c = 0

Jadi, persamaan ini tidak dapat disebut persamaan kuadrat.

Suku a, b, dan c juga disebut koefisien kuadrat.

Solusi persamaan kuadrat adalah nilai variabel x yang tidak diketahui, yang memenuhi persamaan tersebut. Solusi ini disebut akar atau nol persamaan kuadrat. Akar dari setiap polinomial adalah solusi untuk persamaan yang diberikan.

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan polinomial yang derajat tertingginya adalah dua disebut persamaan kuadrat atau terkadang hanya kuadrat. Persamaan ini dinyatakan dalam bentuk:

ax² + bx + c = 0

di mana x adalah variabel yang tidak diketahui dan a, b, dan c adalah suku-suku konstan.

Bentuk Standar Persamaan Kuadrat

Karena kuadrat hanya mencakup satu suku atau variabel yang tidak diketahui, maka persamaan ini disebut univariat. Pangkat variabel x selalu bilangan bulat non-negatif. Oleh karena itu, persamaan tersebut adalah persamaan polinomial dengan pangkat tertinggi 2.

Solusi untuk persamaan ini adalah nilai-nilai x, yang juga disebut nol. Nol dari polinomial adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam kasus kuadrat, ada dua akar atau nol dari persamaan. Dan jika kita meletakkan nilai-nilai akar atau x di sisi kiri persamaan, maka persamaan tersebut akan sama dengan nol. Oleh karena itu, mereka disebut nol.

Rumus Kuadrat

Rumus persamaan kuadrat digunakan untuk mencari akar persamaan. Karena kuadrat memiliki derajat sama dengan dua, maka akan ada dua solusi untuk persamaan tersebut. Misalkan ax² + bx + c = 0 adalah persamaan kuadrat, maka rumus untuk mencari akar persamaan ini adalah:

Tanda plus/minus menunjukkan akan ada dua solusi untuk x. Pelajari rumus kuadrat secara rinci di sini.

Contoh Persamaan Kuadrat

Di bawah ini adalah ilustrasi persamaan kuadrat dalam bentuk (ax² + bx + c = 0)

1.   x² –x – 9 = 0

2.   5x² – 2x – 6 = 0

3.   2x² + 4x + 9 = 0

4.   -x² + 6x + 12 = 0

Contoh persamaan kuadrat tanpa ‘ C ‘ - suku konstan.

1.    -x² – 9x = 0

2.    x² + 2x = 0

3.   2x² + 11x = 0

Bagaimana Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat?

Pada dasarnya ada empat metode/cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Antara lain:

1. Pemfaktoran

2. Melengkapi kuadrat

3. Menggunakan Rumus Kuadrat

4. Mengambil akar kuadrat

UNSUR-UNSUR DAN SIFAT-SIFAT BANGUN DATAR

Dalam kehidupan sehari-hari kita tak lepas dari bangun datar. Banyak bangun datar yang akan kita pelajari di sini. Khusus pada artikel ini akan kita bahas unsur-unsur dan sifat-sifat bangun datar segitiga dan segi empat.

Unsur-unsur bangun datar yang dibahas antara lain pada persegi panjang, persegi, segitiga, trapesium, jajargenjang, layang-layang, dan belah ketupat.

1.    Persegi Panjang

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang.

3)   Keempat sudutnya siku-siku.

4)   Memiliki 2 sumbu simetri (simetri lipat)

5)   Memiliki simetri putar tingkat dua.

 

2.    Persegi

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Keempat sisinya sama panjang.

3)   Memiliki dua pasang sisi sejajar

4)   Keempat sudutnya siku-siku.

5)   Memiliki 4 sumbu simetri.

6)   Memiliki simetri putar tingkat 4

7)   Diagonal-diagonalnya berpotongan saling tegak lurus

 

3.    Segitiga

       

Sifat-sifat segitiga secara umum.

1)   Mempunyai 3 sisi dan 3 titik sudut.

2)   Jumlah ketiga sudutnya 180 derajat

 

Segitiga Sama Sisi

Sifat-sifat

1)   Ketiga sisinya sama panjang.

2)   Ketiga sudutnya sama besar (yaitu 60 derajat).

3)   Memiliki 3 sumbu simetri (simetri lipat).

4)   Memiliki simetri putar tingkat tiga.

 

Segitiga Sama Kaki

Sifat-sifat

1)   Memiliki dua sisi sama panjang.

2)   Memiliki dua sudut sama besar.

3)   Memiliki satu sumbu simetri (simetri lipat).

4)   Tidak memiliki simetri putar.

  

4.    Trapesium 

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai sepasang sisi yang sejajar (AB sejajar dengan CD)

3)   Tidak memiliki simetri putar

Sifat Khusus pada Trapesium Sama kaki:

1) Memiliki satu sumbu simetri

2) Memiliki sepasang sisi sama panjang

3) Memiliki dua pasang sudut sama besar.

  

5.    Layang-Layang

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang.

3)   Mempunyai sepasang sudut yang sama besar (Sudut A = Sudut C).

4)   Memiliki satu sumbu simetri.

5)   Tidak memiliki simetri putar.

6)   Diagonalya berpotongan tegak lurus. 

 

6.    Jajargenjang

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Mempunyai 2 pasang sisi yang sejajar dan sama panjang.

3)   Memiliki 2 sudut lancip sama besar dan 2 sudut tumpul sama besar.

4)   Tidak memiliki sumbu simetri.

5)   Tidak memiliki simetri putar.

 

7.    Belah Ketupat

Sifat-sifat:

1)   Mempunyai 4 sisi dan 4 titik sudut.

2)   Keempat sisinya sama panjang.

3)   Memiliki sepasang sudut lancip dan sepasang sudut tumpul.

4)   Sudut-sudut yang berhadapan sama besar (Sudut B = Sudut D dan Sudut A = Sudut C).

5)   Memiliki 2 sumbu simetri (simetri lipat)

6)   Memiliki simetri putar tingkat dua.

7)   Kedua diagonalnya berpotongan tegak lurus

 

Demikianlah sekilas tentang unsur-unsur dan sifat bangun datar segitiga dan segi empat yang dapat kami jelaskan.

Semoga bermanfaat. 

Cara Mudah Menyelesaikan Soal SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) terdiri dari tiga persamaan linear, masing-masing memiliki persamaan dengan tiga variabel berpangkat satu. Agar bisa mengerjakan soalnya, tentunya Anda perlu memahami konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

 

Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam Matematika adalah kumpulan beberapa persamaan linear tiga variabel yang saling terkait. Artinya penyelesaian dari pengganti variabelnya memiliki keterkaitan dengan persamaan yang lainnya.

Misal bentuk persamaan linear tiga variabel seperti di bawah ini.

ax + by + cz = d

Keterangan:

Dalam konsep di atas terlihat bahwa x,y dan z merupakan variabel

a dikatakan sebagai koefisien variabel x

b dikatakan sebagai koefisien variabel y

c dikatakan sebagai variabel z

d dikatakan sebagai konstanta 

Penting diingat catatannya a, b dan c merupakan bilangan real, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

 

Dalam materi Matematika kelas 10 sebelumnya, Anda sudah belajar mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Persamaan ini terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel. Sementara itu, sesuai namanya, SPLTV memiliki tiga variabel, misalnya x, y dan z. Agar lebih mudah memahami antara Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan dua variabel (SPLDV), sebaiknya ketahui contoh soal dan cara penyelesaiannya terlebih dahulu. Menyelesaikan contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, tidak cukup memahami rumusnya saja. Penting mengetahui bentuk dan cara menyelesaikan persamaannya yaitu dengan mencari nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan pertama, kedua dan ketiga. Untuk menyelesaikan soal SPLTV bisa menggunakan metode berikut: Eliminasi, Substitusi, atau Eliminasi-subsitusi.

 

Untuk lebih jelasnya simak cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

1.  Selesaikan sistem persamaan berikut.

Jawaban:

Langkah pertama mari kita tulis beberapa persamaan pada soal untuk kita beri label persamaan.

x - 2y + 3z = 9     .... (1)

-x + 3y - z = -6      ....(2)

2x - 5y + 5z = 17 .... (3)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, mari kita buat menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Caranya mengeliminasi salah satu variabel.

Misalkan pada langkah ini kita akan mengeliminasi variabel x, sehingga nanti akan diperoleh dua persamaan yang memuat variabel y dan z.

Kita ambil persamaan (1) dan (2)

x - 2y + 3z = 9     

-x + 3y - z = -6  +    

      y + 2z = 3   ... (4)

 

Selanjutnya, kita ambil persamaan (1) dan (3)

x - 2y + 3z = 9          (dikali 2)   2x - 4y + 6z = 18

2x - 5y + 5z = 17      (dikali 1)   2x - 5y + 5z = 17 -

                                                      y + z = 1   ... (5)

 

Langkah selanjutnya gunakan persamaan (4) dan (5) untuk menentukan nilai y dan z.

Kita akan menggunakan cara eliminasi-substitusi.

Eliminasi y:

y + 2z = 3  

  y + z = 1_-    

       z = 2

Kemudian substitusikan z = 2 ke persamaan (5) untuk mendapatkan nilai y.

y + z = 1

y + 2 = 1

     y = -1

 

Langkah selanjutnya substitusikan nilai y = -1 dan z = 2 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai x.

x - 2y + 3z = 9

x - 2(-1) + 3(2) = 9

         x + 2 + 6 = 9

               x + 8 = 9

                     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, -1, 2)}.

 

2.  Selesaikan sistem persamaan berikut.

Jawaban:

Langkah pertama mari kita tulis beberapa persamaan pada soal untuk kita beri label persamaan.

x + y + z = 2           .... (1)

6x - 4y + 5z = 31      ....(2)

5x + 2y + 2z = 13    .... (3)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, mari kita buat menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Caranya mengeliminasi salah satu variabel.

Misalkan pada langkah ini kita akan mengeliminasi variabel y, sehingga nanti akan diperoleh dua persamaan yang memuat variabel x dan z.

Kita ambil persamaan (1) dan (2)

x + y + z = 2          (dikali 4)       4x + 4y + 4z = 8

6x - 4y + 5z = 31    (dikali 1)       6x - 4y + 5z = 31 +

                                                      10x + 9z = 39   ... (4)

 

Selanjutnya, kita ambil persamaan (1) dan (3)

x + y + z = 2             (dikali 2)   2x + 2y + 2z = 4

5x + 2y + 2z = 13      (dikali 1)   5x + 2y + 2z = 13 -

                                                      -3x = -9

                                                         x = 3 

Kemudian substitusikan x = 3 ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

10x + 9z = 39

10(3) + 9z = 39

    30 + 9z = 39

            9z = 39 - 30

            9z = 9

              z = 1

    

Langkah terakhir substitusikan nilai x = 3 dan z = 1 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai y.

x + y + z = 2

3 + y + 1 = 2

        y + 4 = 2

             y  = 2 - 4

              y = -2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, -2, 1)}.

 

Demikianlah beberapa soal tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Semoga bermanfaat.