PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)

1.     Pengertian

Pada kelas sebelumnya, Anda telah menemukan beberapa bentuk dan persamaan aljabar. Misalkan bentuk : 2x + 2y, 4xz – 3, 2x – 9 = 0, 2x² + 4x = 0, y = 3x + 5.

Itulah bentuk-bentuk yang pernah kita jumpai.

Jika dicermati, bentuk di atas ada yang menggunakan tanda sama dengan (=) dan ada yang tidak memakainya. Begitu juga ada yang menggunaka satu variabel dan ada yang menggunakan dua variabel. Ada juga yang variabelnya berpangkat dan ada juga yang variabelnya tunggal.

Dari semua itu bentuk aljabar dapat dibagi menjadi beberapa bentuk yang digolongkan sesuai ciri-cirinya (syarat-syaratnya).

 

Dalam kesempatan ini kita akan belajar tentang persamaan linear satu variabel. Jadi, secara umum dengan melihat jenis ini, maka syarat-syaratnya sebegai berikut.

Mempunyai satu variabel

Terdapat tanda sama dengan (=).

Pangkat tertinggi variabelnya adalah 1 (linear)

 Contoh:

2x = 8

2x + 5 = 9

3x – 4 = 2x + 7

3(x + 2) – 4x = 7x + 2

 

 Mari kita tinjau kembali secara singkat apa yang kita ketahui:

(a) Persamaan aljabar adalah persamaan yang melibatkan variabel. Persamaan tersebut memiliki tanda persamaan. Ekspresi di sebelah kiri tanda persamaan adalah Ruas Kiri (RKi). Ekspresi di sebelah kanan tanda persamaan adalah Ruas Kanan (RKa).

 

(b) Dalam suatu persamaan, nilai-nilai ekspresi di ruas kiri dan kanan adalah sama. Hal ini hanya berlaku untuk nilai-nilai variabel tertentu. Nilai-nilai ini adalah solusi persamaan.

 

(c) Bagaimana cara menemukan solusi persamaan? Kita berasumsi bahwa kedua ruas persamaan tersebut seimbang. Kita melakukan operasi matematika yang sama pada kedua ruas persamaan, sehingga keseimbangan tidak terganggu. Beberapa langkah tersebut memberikan solusi.

 

2 Menyelesaikan Persamaan yang Memiliki Bentuk Linear di Satu Ruas dan Angka di Ruas Lainnya.

 

Mari kita ingat kembali teknik penyelesaian persamaan dengan beberapa contoh.

Cara menyelesaikan persamaan adalah menggunakan cara keseimbangan kedua ruas. Artinya jika ruas kiri ditambah, dikurang, dibagi, atau dikali dengan suatu bilangan, maka ruas kanan juga mengikuti.

 

Contoh:

3x – 19 = 4x + 5

Akan sama nilainya jika dibuat bentuk sepeti ini:

3x – 19 – 19 = 4x + 5 – 19    (Kedua ruas dikurang 19)

               3x = 4x – 14

 

Jadi, bentuk 3x – 19 = 4x + 5 ekuivalen dengan 3x = 4x – 14.

 

 –2x + 4 = 4x – 7

Akan sama nilainya jika dibuat bentuk sepeti ini:

–2x + 4 + 3x = 4x – 7 + 3x    (Kedua ruas ditambah 3x)

           x + 4 = 7x – 7

 

Jadi, bentuk –2x + 4 = 4x – 7 ekuivalen dengan x + 4 = 7x – 7.

 

 

 Dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel ini, kita bisa menggunakan sifat keseimbangan kedua ruas ini untuk memperoleh solusi.

Dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel f(x) = c atau f(x) = g(x) maka akan diperoleh solusi (penyelesaian)  x = c.  Jadi, dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel ini adalah proses keseimbangan untuk dibawa ke tujuan akhir yaitu solusi  x = c.

Agar lebih jelas perhatikan beberapa contoh berikut.

 

Contoh 1:

Selesaikan 3x – 19 = 5

Jawaban:

3x – 19 = 5    

3x – 19 + 19 = 5 + 19   (Kedua ruas ditambah 19)

               3x = 24  

            3x/3 = 24/3   (Kedua ruas dibagi 3)

                 x = 8

Jadi, solusi dari  3x – 19 = 5 adalah x = 8.

       

Contoh 2:

Selesaikan 5x + 7 = 3x – 13

Jawaban:

5x + 7 = 3x – 13    

5x + 7 – 7 = 3x – 13 – 7    (Kedua ruas dikurangi 7)

           5x = 3x – 20    

     5x – 3x = 3x – 3x  – 20  (Kedua ruas dikurangi 3x)

            2x = –20

         2x/2 = –20/2      (Kedua ruas dibagi 2)

             x = –10

Jadi, solusi dari  5x + 7 = 3x – 13 adalah x = –10.

 

  2x + 2 – 6  = 3x + 1  

       2x – 4  = 3x + 1  

  2x – 4 + 4 = 3x + 1 + 4   (Kedua ruas ditambah 4)

              2x = 3x + 5

       2x – 3x = 3x – 3x + 5  (Kedua ruas dikurangi 3x)

              –x = 5

                x = -5               (Kedua ruas dikali -1)

 

Demikian sekilas tentang pesamaan linear satu variabel (PLSV).

 Semoga bermanfaat.

Turunan (Diferensial) Fungsi Aljabar (Kalkulus)

Kalkulus diferensial membahas laju perubahan satu kuantitas terhadap kuantitas lain. Atau Anda dapat menganggapnya sebagai studi tentang laju perubahan kuantitas. Misalnya, kecepatan adalah laju perubahan jarak terhadap waktu dalam arah tertentu. Jika f(x) adalah suatu fungsi, maka f'(x) = dy/dx adalah persamaan diferensial, di mana f’(x) adalah turunan fungsi dari f(x), y adalah variabel dependen dan x adalah variabel independen. Dependen dapat diartikan sebagai ketergantungan (variabel terikat). Independen dapat diartikan sebagai kebebasan (variabel bebas).

 

Turunan fungsi (diferensial) dapat ditulis:

f'(x) = dy/dx ; x≠0

 

Pengertian Kalkulus

Dalam matematika, kalkulus adalah cabang ilmu yang membahas tentang pencarian berbagai sifat integral dan turunan fungsi. Kalkulus didasarkan pada penjumlahan perbedaan infinitesimal. Kalkulus adalah studi tentang perubahan kontinu suatu fungsi atau laju perubahan suatu fungsi. Kalkulus memiliki dua cabang utama dan kedua bidang tersebut saling terkait oleh teorema dasar kalkulus. Dua cabang yang berbeda adalah Kalkulus Diferensial dan Kalkulus Integral.

 

Dalam artikel ini, kita akan membahas dasar-dasar kalkulus diferensial, rumus, dan contoh kalkulus diferensial secara terperinci.

 

Dasar-dasar Kalkulus Diferensial

Dalam dasar-dasar kalkulus diferensial, Anda mungkin telah mempelajari tentang persamaan diferensial, turunan, dan aplikasi turunan. Untuk setiap nilai yang diberikan, turunan fungsi didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi terhadap nilai yang diberikan. Diferensiasi adalah proses di mana kita menemukan turunan suatu fungsi. Mari kita bahas istilah-istilah penting yang terlibat dalam dasar-dasar kalkulus diferensial.

 

Fungsi

Fungsi didefinisikan sebagai relasi dari sekumpulan masukan ke sekumpulan keluaran di mana setiap masukan dikaitkan secara tepat dengan satu keluaran. Fungsi tersebut direpresentasikan oleh “f(x)”.

 

Variabel Terikat

 Variabel terikat adalah variabel yang nilainya selalu bergantung dan ditentukan dengan menggunakan variabel lain yang disebut variabel bebas. Variabel terikat juga disebut variabel hasil. Hasilnya dievaluasi dari ekspresi matematika menggunakan variabel independen (variabel bebas)  yang disebut variabel dependen.

 

Variabel Independen (Variabel Bebas)

Variabel independen adalah input ke fungsi yang menentukan kuantitas yang sedang dimanipulasi dalam suatu eksperimen. Mari kita perhatikan contoh y= 3x. Di sini, x dikenal sebagai variabel independen dan y dikenal sebagai variabel dependen karena nilai y sepenuhnya bergantung pada nilai x.

 

Domain dan Daerah Hasil (range)

Domain suatu fungsi didefinisikan secara sederhana sebagai nilai input suatu fungsi dan rentang didefinisikan sebagai nilai output suatu fungsi. Ambil contoh, jika f(x) = 3x merupakan suatu fungsi, nilai domain atau nilai inputnya adalah {1, 2, 3} maka range (daerah hasil) suatu fungsi diberikan sebagai

f(1) = 3(1) = 3

f(2) = 3(2) = 6

f(3) = 3(3) = 9

Oleh karena itu, untuk domain {1, 2, 3} diperoleh range fungsi tersebut adalah {3, 6, 9}.

 

Limit

Limit merupakan hal penting dalam kalkulus. Limit digunakan untuk mendefinisikan kontinuitas, integral, dan turunan dalam kalkulus. Limit suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut:

 

Misalnya fungsi tersebut adalah “f” yang didefinisikan pada suatu interval terbuka yang memuat beberapa bilangan, katakanlah “a”, kecuali mungkin pada “a” itu sendiri, maka limit suatu fungsi f(x) ditulis sebagai:

 

Artinya limit f(x) saat “x” mendekati “a” adalah “L”

 

Interval

Interval didefinisikan sebagai rentang bilangan yang ada di antara dua bilangan yang diberikan. Interval dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis yaitu:

Interval Terbuka : Interval terbuka didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan riil x sehingga a < x < b. Direpresentasikan sebagai (a, b).

Interval Tertutup : Interval tertutup didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan riil x sehingga a ≤ x dan x ≤ b, atau lebih ringkasnya, a ≤ x ≤ b, dan direpresentasikan oleh [a, b]

 

Turunan (Diferensial)

Alat dasar kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan digunakan untuk menunjukkan laju perubahan. Turunan membantu menunjukkan jumlah perubahan fungsi untuk titik tertentu. Turunan disebut kemiringan. Turunan mengukur kecuraman/kemiringan grafik fungsi. Turunan mendefinisikan rasio perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabel independen. Turunan y terhadap x dinyatakan dengan dy/dx.

 

Secara grafis, kita mendefinisikan turunan sebagai kemiringan garis singgung, yang bertemu di suatu titik pada kurva atau yang memberikan turunan di titik tempat garis singgung bertemu kurva. Diferensial memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Memeriksa laju perubahan suhu atmosfer atau menurunkan persamaan fisika berdasarkan pengukuran dan satuan, dan lain sebagainya, merupakan contoh umum.

 

Secara umum rumus dasar turunan fungsi sebagai berikut.

f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n x^n-1

f(x) = axⁿ, maka f’(x) = anx^n-1

f(x) = kx, maka f’(x) = k

f(x) = c, maka f’(x) = 0

 

Contoh

f(x) = 6x² – 2 ⇒ f’(x) = 2 . 6x^2-1 – 0 =  12x

f(x) = 2x⁵ + 4x³ ⇒ f’(x) = 2 . 5x^5-1 + 4 . 3x^3-1  

                                  = 10x⁴ + 12x²

f(x) = x⁶ + 5x³ ⇒ f’(x) = 6x^6-1 + 5 . 3x^3-1  

                                = 6x⁵ + 15x²

 

Rumus Kalkulus Diferensial

Bagaimana kita mempelajari kalkulus diferensial? Diferensiasi didefinisikan sebagai laju perubahan kuantitas. Oleh karena itu, rumus kalkulus dapat diturunkan berdasarkan fakta ini. Di sini kami telah memberikan penjelasan terperinci tentang kalkulus diferensial yang membantu pengguna untuk lebih memahami.

Jadi, jika y = f(x) adalah suatu besaran, maka laju perubahan y terhadap x adalah sedemikian rupa sehingga, f'(x) adalah turunan dari fungsi f(x). Selain itu, jika x dan y bervariasi terhadap variabel t, maka dengan rumus aturan rantai, kita dapat menulis turunan dalam bentuk rumus persamaan diferensial.

 

Penerapan Kalkulus Diferensial (Turunan Fungsi)

Dalam matematika, kalkulus diferensial digunakan sebagai beriku.

·         Untuk menemukan laju perubahan suatu besaran terhadap yang lain.

·         Dalam hal menemukan suatu fungsi adalah fungsi yang meningkat atau menurun dalam suatu grafik.

·         Untuk menemukan nilai maksimum dan minimum suatu kurva.

·         Untuk menemukan nilai perkiraan perubahan kecil dalam suatu besaran.

 

Penerapan kalkulus diferensial dalam kehidupan nyata sebagai berikut.

·         Perhitungan laba rugi terhadap bisnis menggunakan grafik.

·         Perhitungan laju perubahan suhu.

·         Perhitungan kecepatan atau jarak yang ditempuh seperti mil per jam, kilometer per jam, dll.,

·         Untuk memperoleh banyak persamaan Fisika.

 

Semoga Bermanfaat. 

FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIK FUNGSI KUADRAT

 Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat digunakan dalam berbagai bidang teknik dan sains untuk memperoleh nilai parameter yang berbeda. Secara grafis, fungsi kuadrat direpresentasikan oleh parabola. Arah kurva ditentukan berdasarkan koefisien derajat tertinggi. Kata "Kuadrat" berasal dari kata "Quad" yang berarti kuadrat. Dengan kata lain, fungsi kuadrat adalah "fungsi polinomial derajat 2." Ada banyak skenario di mana fungsi kuadrat digunakan. Tahukah Anda bahwa ketika roket diluncurkan, lintasannya dijelaskan oleh fungsi kuadrat?

 Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi dunia fungsi kuadrat dalam matematika. Anda akan mempelajari grafik fungsi kuadrat, rumus fungsi kuadrat, dan fakta menarik lainnya tentang topik tersebut. Kita juga akan memecahkan contoh berdasarkan konsep tersebut untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa itu Fungsi Kuadrat?

 Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan satu atau lebih variabel yang eksponen tertinggi variabelnya adalah dua. Karena suku derajat tertinggi dalam fungsi kuadrat adalah derajat kedua, maka fungsi tersebut juga disebut polinomial derajat 2. Fungsi kuadrat memiliki minimal satu suku yang berderajat kedua. Fungsi tersebut merupakan fungsi aljabar.

 Fungsi kuadrat induk berbentuk f(x) = x² dan menghubungkan titik-titik yang koordinatnya berbentuk (angka, angka2). Transformasi dapat diterapkan pada fungsi ini yang biasanya berbentuk f(x) = a (x - h)² + k dan selanjutnya dapat diubah menjadi bentuk f(x) = ax² + bx + c. Mari kita pelajari masing-masing secara terperinci di bagian selanjutnya.

 

Bentuk Standar Fungsi Kuadrat

Bentuk standar fungsi kuadrat berbentuk f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan riil dengan a ≠ 0.

 

  Contoh Fungsi Kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0. Mari kita lihat beberapa contoh fungsi kuadrat:

 

f(x) = 2x² + 4x - 5; Di sini a = 2, b = 4, c = -5

f(x) = 3x² - 7; Di sini a = 3, b = 0, c = -7

f(x) = x² - x; Di sini a = 1, b = -1, c = 0

Sekarang, perhatikan f(x) = 4x - 11; Di sini a = 0, oleh karena itu f(x) BUKAN fungsi kuadrat.

 

Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Titik puncak fungsi kuadrat (yang berbentuk U) adalah tempat fungsi tersebut memiliki nilai maksimum atau nilai minimum. Sumbu simetri fungsi kuadrat memotong fungsi (parabola) di titik puncak tersebut.

 

Rumus Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat selalu dapat difaktorkan, tetapi proses faktorisasi mungkin sulit jika angka nol dari ekspresi tersebut adalah bilangan riil non-integer atau bilangan non-riil. Dalam kasus seperti itu, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menentukan angka nol dari ekspresi tersebut. Bentuk umum fungsi kuadrat diberikan sebagai: f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah bilangan riil dengan a ≠ 0. Akar fungsi kuadrat f(x) dapat dihitung menggunakan rumus fungsi kuadrat yaitu:

 x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Berbagai Bentuk Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat berada dalam berbagai bentuk: bentuk standar, bentuk titik puncak, dan bentuk perpotongan. Berikut adalah bentuk umum masing-masing:

 Bentuk standar: f(x) = ax² + bx + c, di mana a ≠ 0.

Bentuk titik puncak: f(x) = a(x - h)² + k, di mana a ≠ 0 dan (h, k) adalah titik puncak parabola yang mewakili fungsi kuadrat.

Bentuk intersep: f(x) = a(x - p)(x - q), di mana a ≠ 0 dan (p, 0) dan (q, 0) adalah intersep-x parabola yang mewakili fungsi kuadrat.

Parabola terbuka ke atas atau ke bawah sesuai dengan nilai 'a' yang bervariasi:

 Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Kita selalu dapat mengubah satu bentuk ke bentuk lainnya. Kita dapat dengan mudah mengubah bentuk titik puncak atau bentuk perpotongan menjadi bentuk standar hanya dengan menyederhanakan ekspresi aljabar. Mari kita lihat cara mengubah bentuk standar menjadi setiap bentuk titik puncak dan bentuk perpotongan.

 

Mengubah Bentuk Standar Fungsi Kuadrat Menjadi Bentuk Titik Puncak

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk titik puncak f(x) = a(x - h)² + k dengan menggunakan nilai h = -b/2a dan k = f(-b/2a). Berikut ini contohnya.

 

Contoh: Ubah fungsi kuadrat f(x) = 2x² - 8x + 3 menjadi bentuk titik puncak.

 Langkah - 1: Dengan membandingkan fungsi yang diberikan dengan f(x) = ax² + bx + c, kita memperoleh a = 2, b = -8, dan c = 3.

Langkah - 2: Cari 'h' menggunakan rumus: h = -b/2a = -(-8)/2(2) = 2.

Langkah - 3: Cari 'k' menggunakan rumus: k = f(-b/2a) = f(2) = 2(2)2 - 8(2) + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.

Langkah - 4: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk titik puncak: f(x) = 2 (x - 2)² - 5.

Mengubah Bentuk Standar Fungsi Kuadrat Menjadi Bentuk Intersep

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dapat dengan mudah diubah ke dalam bentuk titik puncak f(x) = a (x - p)(x - q) dengan menggunakan nilai-nilai p dan q (intersep-x) dengan menyelesaikan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

 

Contoh: Ubah fungsi kuadrat f(x) = x² - 5x + 6 ke dalam bentuk intersep.

 Langkah - 1: Dengan membandingkan fungsi yang diberikan dengan f(x) = ax² + bx + c, kita memperoleh a = 1.

Langkah - 2: Selesaikan persamaan kuadrat: x² - 5x + 6 = 0

Dengan memfaktorkan ruas kiri, kita memperoleh

(x - 3)(x - 2) = 0

x = 3, x = 2

Langkah - 3: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk perpotongan: f(x) = 1(x - 3)(x - 2).

 

Domain dan Range Fungsi Kuadrat

Domain fungsi kuadrat adalah himpunan semua nilai-x yang membuat fungsi tersebut terdefinisi dan range fungsi kuadrat adalah himpunan semua nilai-y yang dihasilkan fungsi tersebut dengan mensubstitusikan nilai-x yang berbeda.

 

Domain Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang terdefinisi untuk semua nilai riil x. Jadi, domain fungsi kuadrat adalah himpunan bilangan riil, yaitu R. Dalam notasi interval, domain fungsi kuadrat apa pun adalah (-∞, ∞).

 

Rentang Fungsi Kuadrat

Rentang fungsi kuadrat bergantung pada sisi pembukaan dan titik puncak grafik. Jadi, cari nilai f(x) terendah dan tertinggi pada grafik fungsi untuk menentukan rentang fungsi kuadrat. Rentang fungsi kuadrat apa pun dengan titik puncak (h, k) dan persamaan f(x) = a(x - h)² + k adalah: 

y ≥ k (atau) [k, ∞) ketika a > 0 (karena parabola terbuka ketika a > 0). y ≤ k (atau) (-∞, k] ketika a < 0 (karena parabola terbuka ke bawah ketika a < 0).

Membuat Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Yaitu, grafiknya terbuka ke atas atau ke bawah dalam bentuk U. Berikut adalah langkah-langkah untuk membuat grafik fungsi kuadrat.

 Langkah - 1: Temukan titik puncaknya.

Langkah - 2: Hitung tabel fungsi kuadrat dengan dua kolom x dan y dengan 5 baris (kita dapat mengambil lebih banyak baris juga) dengan titik puncak menjadi salah satu titik dan ambil dua nilai acak di kedua sisinya.

Langkah - 3: Temukan nilai y yang sesuai dengan mensubstitusikan setiap nilai x dalam fungsi kuadrat yang diberikan.

Langkah - 4: Sekarang, kita memiliki dua titik di kedua sisi titik puncak sehingga dengan memplotnya pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan kurva, kita bisa mendapatkan bentuk yang sempurna. Juga, perluas grafik di kedua sisi. Berikut adalah grafik fungsi kuadrat.

 

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

 Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang selisihnya (beda) tetap konstan antara dua suku yang berurutan. Mari kita ingat kembali apa yang dimaksud barisan. Barisan adalah kumpulan angka yang mengikuti suatu pola. Misalnya, barisan 1, 6, 11, 16, … adalah barisan aritmatika karena ada pola di mana setiap angka diperoleh dengan menambahkan 5 pada suku sebelumnya. Kita memiliki dua rumus barisan aritmatika, yaitu:

*Rumus untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika

*Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika

Jika kita ingin mencari suku apa pun dalam barisan aritmatika, maka kita dapat menggunakan rumus barisan aritmatika. Mari kita pelajari definisi barisan aritmatika dan rumus barisan aritmatika beserta turunannya dan disertai contoh yang banyak untuk pemahaman yang lebih baik.

 

Apa itu Barisan Aritmatika?

Baris aritmatika didefinisikan dalam dua cara. Yang pertama adalah "deretan di mana selisih antara setiap dua suku yang berurutan adalah sama" . Yang kedua dalam deret aritmatika, "setiap suku diperoleh dengan menambahkan bilangan tetap (positif atau negatif atau nol) ke suku sebelumnya". Berikut ini adalah deret aritmatika karena setiap suku diperoleh dengan menambahkan bilangan tetap 4 ke suku sebelumnya. 

Contoh Deret Aritmatika

Perhatikan deret 3, 6, 9, 12, 15, .... adalah deret aritmatika karena setiap suku diperoleh dengan menambahkan bilangan konstan (3) ke suku sebelumnya.

Dengan demikian diperoleh

Suku pertama, a = 3

Selisih (beda), b = 6 - 3 = 9 - 6 = 12 - 9 = 15 - 12 = ... = 3

Jadi, deret aritmatika dapat ditulis sebagai a, a + b, a + 2b, a + 3b, ....

Mari kita bentuk pola ini untuk contoh di atas.

 

   a,    a + b,    a + 2b,    a + 3b,    a + 4b , ...

= 3,   3 + 3,   3 + 2(3),  3 + 3(3),  3 + 4(3),...

= 3, 6, 9, 12,15,....

Beberapa contoh deret aritmatika lainnya adalah:

5, 8, 11, 14, ...

80, 75, 70, 65, 60, ...

2, 7, 12, 17, 22, 27, ...

 

Rumus Deret Aritmatika

Suku pertama deret aritmatika adalah a, beda persekutuannya adalah b, n adalah banyaknya suku. Bentuk umum barisan aritmetika adalah a, a + b, a + 2b, a + 3b,......hingga n suku. Kita memiliki berbagai rumus yang terkait dengan deret aritmatika yang digunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah n suku deret aritmatika, atau beda persekutuan deret aritmatika tertentu.

Rumus pada barisan dan deret aritmatika diberikan sebagai berikut,

Suku ke-n  :U_n = a + (n - 1)b

Jumlah n suku pertama : S_n = (n/2) [2a + (n - 1)b]

Beda (selisih) : b = a_n - a_n-1

 

Suku ke-N Deret Aritmatika

Suku ke-n deret aritmatika U₁, U₂, U₃, ... diberikan oleh U_n = U₁ + (n - 1)b. Ini juga dikenal sebagai suku umum deret aritmatika. Ini secara langsung mengikuti pemahaman bahwa deret aritmatika U₁, U₂, U₃, ... = U₁, U₁ + b, U₁ + 2b, U₁ + 3b,... Tabel berikut menunjukkan beberapa deret aritmatika beserta suku pertama, beda umum, dan suku ke-n.

5, 8, 11, 14, ...          mempunyai suku pertama (a) = 5 dan beda (b) = 3

80, 75, 70, 65, 60, ...  mempunyai suku pertama (a) = 80 dan beda (b) = -5

2, 7, 12, 17, 22, 27, ...  mempunyai suku pertama (a) = 2 dan beda (b) = 5

 

Rumus Rekursif Deret Aritmatika

Rumus di atas untuk mencari suku ke-n dari deret aritmatika digunakan untuk mencari suku apa pun dari deret tersebut ketika nilai 'U₁' dan 'b' diketahui. Ada rumus lain untuk mencari suku ke-n yang disebut "rumus rekursif deret aritmatika" dan digunakan untuk mencari suku (U_n) dari deret tersebut ketika suku sebelumnya (U_n-1) dan 'b' diketahui.

Rumus tersebut adalah:

U_n = U_n-1 + d

Rumus ini mengikuti definisi deret aritmatika.

 

Contoh:

Carilah U₂₁ dari deret aritmatika jika U₁₉ = -72 dan b = 7.

Solusi:

Dengan menggunakan rumus rekursif,

U₂₀ = U₁₉ + d = -72 + 7 = -65

U₂₁ = U₂₀ + d = -65 + 7 = -58

Jadi, diperoleh U₂₁ = -58.

 

Deret Aritmatika

Penjumlahan rumus deret aritmatika digunakan untuk mencari jumlah n suku pertamanya. Perhatikan bahwa jumlah suku deret aritmatika dikenal sebagai deret aritmatika. Perhatikan deret aritmatika yang suku pertamanya adalah U₁ (atau a) dan bedanya adalah b. Jumlah n suku pertamanya dilambangkan dengan S_n. Maka

Jika suku ke-n tidak diketahui: S_n= n/2 [2a + (n - 1) b]

Jika suku ke-n diketahui: S_n = n/2 [a + U_n]

 

Contoh

Ibu Natalie memperoleh penghasilan $200.000 per tahun dan gajinya meningkat sebesar $25.000 per tahun. Maka, berapa total penghasilannya pada akhir 5 tahun pertama?

Solusi:

 

Jumlah penghasilan Ibu Natalie untuk tahun pertama adalah, a = 2.00.000. Kenaikan per tahun adalah, b = 25.000. Kita harus menghitung penghasilannya dalam 5 tahun pertama. Jadi n = 5. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus jumlah deret aritmatika,

S_n= n/2 [2a + (n - 1)b]

 

⇒ S_n = 5/2(2(200.000) + (5 - 1)(25.000))

       = 5/2 (400.000 +100.000)

       = 5/2 (500.000)

      = 1.250.000

Ia memperoleh penghasilan $1.250.000 dalam 5 tahun. Kita dapat menggunakan rumus ini agar lebih membantu untuk nilai 'n' yang lebih besar.

 

Jumlah Deret Aritmatika

Mari kita ambil deret aritmatika yang suku pertamanya adalah U₁ dan bedanya adalah b. Maka jumlah suku pertama 'n' dari barisan tersebut diberikan oleh

S_n = U₁ + (U₁ + b) + (U₁ + 2b) + … + U_n     ... (1)

 

Mari kita tulis jumlah yang sama dari kanan ke kiri (yaitu, dari suku ke-n ke suku pertama).

 

S_n = U_n + (U_n – B) + (U_n – 2B) + … + U₁ ... (2)

Dengan menambahkan (1) dan (2), semua suku dengan 'd' akan dibatalkan.

 

2S_n = (U₁ + U_n) + (U₁ + U_n) + (U₁ + U_n) + … + (U₁ + U_n)

                      Sebanyak n suku

2S_n = n (U₁ + U_n)

  S_n = (n/2) [U₁ + U_n]

 

Dengan mensubstitusikan U_n = U₁ + (n – 1) b ke dalam rumus terakhir, kita memperoleh

 

S_n = n/2 [U₁ + U₁ + (n – 1)b]     atau

S_n = n/2 [2U₁ + (n – 1)b]

S_n = n/2 [2a + (n – 1)b]

Jadi, kita telah memperoleh kedua rumus untuk penjumlahan deret aritmatika.