Persamaan Linear Dua Variabel _ Matematika SMP

 Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan matematika yang melibatkan dua variabel (biasanya x dan y) dengan pangkat tertinggi dari masing-masing variabel adalah 1. Persamaan ini membentuk garis lurus jika digambarkan dalam koordinat kartesius.

 

Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel:

ax + by = c

dengan:

x dan y adalah variabel,

a dan b adalah koefisien (bilangan real, dan tidak keduanya bernilai nol),

c adalah konstanta (bilangan real).

 

Ciri-ciri Persamaan Linear Dua Variabel

Ciri-ciri umum persamaan linear dua variabel antara lain sebagai berikut.

1. Memiliki dua variabel yang berpangkat 1 (tidak ada kuadrat, akar, atau bentuk non-linear lainnya).

2. Koefisien a dan b tidak boleh sama-sama nol, karena jika a = 0 dan b = 0, maka bukan lagi persamaan dua variabel.

3. Solusi (penyelesaian) dari persamaan ini berbentuk pasangan berurutan (x, y) yang memenuhi persamaan.

 

Persamaan linear dua variabel jika digambarkan dalam bidang koordinat, grafiknya berupa garis lurus.

 

Contoh Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh 1:

2x + 3y = 6

Penjelasan:

Variabel       : x dan y

Koefisien x  : 2

Koefisien y  : 3

Konstanta   : 6

Ini adalah persamaan linear dua variabel karena pangkat tertinggi dari x dan y adalah 1.

 

Contoh 2:

x - 4y = 10

Koefisien x = 1 (tidak ditulis, tetapi dianggap 1)

Koefisien y = -4

Konstanta = 10

 

Contoh 3:

5x + 0y = 20

Bentuk di atas masih termasuk persamaan linear dua variabel.

Walaupun koefisien y adalah 0, karena koefisien x ≠ 0, ini tetap termasuk persamaan linear dua variabel.

Secara geometri, grafiknya akan berupa garis vertikal di x = 4 (karena 5x = 20 ® x = 4)

 

Contoh Bukan Persamaan Linear Dua Variabel

Berikut adalah contoh yang bukan termasuk persamaan linear dua variabel:

1.   2xy + 5x = 20  (terdapat perkalian dua variabel, sehingga tidak linear)

2.   3x² - 3y² = 18  (terdapat bentuk kuadrat, sehingga tidak linear)

3.   2x - 3y + 5z = 21 (terdapat tiga variabel, seharusnya dua variabel)

 

Penyelesaian Persamaan

Penyelesaian dari suatu persamaan linear dua variabel ax + by = r adalah suatu titik tertentu dalam dimensi dua (R²) (x, y)  sedemikian rupa sehingga ketika koordinat x dari titik tersebut dikalikan dengan a, dan koordinat y dikalikan dengan b, lalu hasilnya dijumlahkan, maka diperoleh nilai r. (Selalu terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian dari suatu persamaan linear dua variabel.)

 

Contoh:

Mari kita lihat persamaan 2x − 3y = 7.

Perhatikan bahwa x = 5 dan y = 1 adalah sebuah titik di ℝ² yang merupakan penyelesaian dari persamaan ini, karena jika kita substitusikan x = 5 dan y = 1 ke dalam persamaan 2x − 3y = 7, maka kita peroleh 2(5) − 3(1) = 10 − 3 = 7.

 

Titik x = 2 dan y = −1 juga merupakan penyelesaian dari persamaan 2x − 3y = 7 karena 2(2) − 3(−1) = 4 + 3 = 7.

 

Namun, titik x = 4 dan y = 6 bukan penyelesaian dari persamaan 2x − 3y = 7 karena 2(4) − 3(6) = 8 − 18 = −10, dan −10 ≠ 7.

 

Sebagai contoh lain misalnya 2x + 5y = 21

Untuk x = 8 dan y = 1, jika disubstitusikan ke persamaan 2x + 5y apakah hasilnya 21?

Cek:

2(8) + 5(1) = 16 + 5 = 21 (benar)

Jadi, x = 8 dan y = 1 merupakan penyelesaian.

 

Untuk x = 3 dan y = 3, jika disubstitusikan ke persamaan 2x + 5y apakah hasilnya 21?

Cek:

2(3) + 5(3) = 6 + 15 = 21 (benar)

Jadi, x = 3 dan y = 3 merupakan penyelesaian.

 

Untuk x = 5 dan y = 2, jika disubstitusikan ke persamaan 2x + 5y apakah hasilnya 21?

Cek:

2(5) + 5(2) = 10 + 10 = 20 (salah)

Jadi, x = 5 dan y = 2 bukan merupakan penyelesaian.

 

Nah, sekarang perhatikan persamaan linear dua variabel berikut. Kemudian, tentukan/carikan sebanyak 3 penyelesaiannya.

1.      2x + x = 11

2.      3x + 4y = 24

 

Selamat mencoba!

Cara Mengalikan Bentuk Aljabar Suku Dua

 Hai, sahabat imath, kali ini kita akan belajar cara mengalikan bentuk aljabar suku dua. Mengalikan bentuk aljabar sangat mudah dilakukan seperti mengalikan bilangan.  Yang penting kalian harus tahu sifat-sifat perkalian bilangan seperti sifat distributif.

Perhatikan bentuk perkalian bentuk aljabar berikut.

1. Perkalian Bentuk Aljabar Suku Satu

Contoh:   p  x  2q  =  2pq

               2m  x  3n =  6mn

               3k² x  4m  = 12k²m

 

2. Perkalian Bentuk Aljabar Suku Satu dengan Suku Dua

Contoh:   4p  x  (2q + 3r)  =  (4p  x  2q) + (4p x 3r)

                                       =  8pq + 12qr

               (2m - 5n)  x  3n =  (2m x  3n) - (5n x 3n)

                                       =  6mn - 15n²

               (k² + 2k) x  5m = (k² x 5m) + (2k x 5m)

                                      =  5k²m + 10 km

 

 

3. Perkalian Bentuk Aljabar antar Suku Dua

Contoh:   (3p + q)  x  (2p - q)  =  3p x (2p - q) + q x (2p - q)

                                              =  6p² - 3pq + 2pq - q²

                                              =  6p² - pq - q²

 

               (2m - 3n)  x  (m + 4n)  =  2m x  (m + 4n) - 3n x  (m + 4n)

                                                 =  2m² + 8mn - 3mn - 12n²

                                                 =  2m² + 5mn - 12n²

 

               (3t² - 2t)  x  (t + 5)  =  3t² x  (t + 5) - 2t x  (t + 5)

                                               =  3t³ + 15t² - 2t² - 10t

                                               =  3t³ + 13t² - 10t

Demikianlah sekilas tentang cara mengalikan bentuk aljabar suku dua. Dengan cara menggunakan sifat-sifat operasi hitung bilangan, maka perkalian bentuk aljabar suku dua dapat diselesaikan dengan mudah.'

Smoga bermanfaat.

 

Menghitung Keliling dan Luas Lingkaran _ Lengkap Soal dan Pembahasan

 Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai benda-benda yang memiliki bentuk lingkaran. Misalnya roda, holahop, koin mata uang, dan tutup gelas. Benda-benda tersebut memiliki bentuk lingkaran. Selain itu, banyak juga penerapan keliling dan luas lingkaran dalam menyelesaikan masalah. Misalnya sebagai berikut.

1.  Menghitung luas taman yang berbentuk lingkaran. Dengan mengetahui luas dan keliling lingkaran kita dapat menghitung biaya pembuatan taman.

2.  Menentukan banyak lampu yang dipasang dalam stadion yang berbentuk lingkaran. Dengan mengatur jarak antartiang lampu, maka dapat diketahui banyak lampu yang dibutuhkan.

3. Sebuah sepeda memiliki roda berdiameter 70 cm. Anita naik sepeda dan mengayuh hingga menempuh jarak 2 km. Berapa kali roda sepeda tersebut berputar?

Nah, untuk menyelesaikan masalah tersebut, maka diperlukan konsep tentang keliling dan luas lingkaran. Sudah tahukah Anda tentang rumus dan cara menghitung keliling dan luas lingkaran?

Disini nanti akan kita bahas secara tuntas materi keliling dan luas lingkaran.

 

Mari ingat lagi rumus keliling lingkaran dan luas lingkaran. Lingkaran yang memiliki jari-jari r dan diameter d, diperoleh rumus keliling dan luas lingkaran berikut.

Untuk lebih memperdalam tentang konsep keliling dan luas lingkaran, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan berikut.

1.     Tentukan keliling dan luas lingkaran yang berjari-jari 14 cm.

2.     Tentukan keliling dan luas lingkaran yang berjari-jari 20 cm.

        Jawaban:

3.     Tentukan keliling dan luas lingkaran yang berdiameter 50 cm.

       Jawaban: 

4.     Anto mengayuh sepeda sejauh 3,3 km. Jika diameter roda sepeda Anto adalah 70 cm, berapa kali roda sepeda Anto berputar?

5.     Sebuah taman di dalamnya terdapat kolam berbentuk lingkaran dengan diameter 30 meter.  Di sekeliling kolam yang berjarak 2,5 meter dari tepi kolam akan diberi tiang-tiang lampu dengan jarak 5 meter. Tentukan :

a. keliling dan luas taman kolam.

b. banyak lampu yang dapat dipasang di dekat tepi kolam.

        Jawaban :

a. Taman kolam berbentuk lingkaran dengan diameter 30 meter, maka jari-jarinya adalah 15 meter.

b. Menghitung banyak lampu.

   Kolam memiliki diamater  30 cm. Dari jarak 2,5 meter dari tepi kolam akan dipasangi tiang lampu mengelilingi kolam. Jadi, jika tiang lampu memutar mengelilingi kolam, diamater lintasan tiang lampu adalah 30 + 2,5 + 2,5 = 35 meter.

Sehingga keliling lintasan untuk tiang lampu dapat dihitung sebagai berikut.

Jarak antartiang lampu 5 meter.

Maka banyak tiang lampu yang dibutuhkan adalah 110 : 5 = 22 tiang lampu.

 

6.     Tentukan luas bagian lingkaran di bawah ini.

  

Tentukan luas daerah yang diarsir.

Jawaban :

Diketahui jari-jari lingkaran = 21 cm.

Daerah yang diarsir adalah setengah dari lingkaran.

Sehingga luas daerah yang diarsir dapat dihitung sebagai berikut.

Demikianlah sekilas materi tentang keliling lingkaran dan luas lingkaran yang dapat kami sampaikan. Semoga bermanfaat.

Salam Sukses.

Peluang Kejadian pada Pelemparan Dua Dadu

 Kali ini kita akan membahas cara menghitung peluang kejadian pada pelemparan dua dadu. Jika kita mempunyai dua dadu (anggap saja dadu merah dan dadu putih) dan kita akan melempar satu kali maka terdapat sebanyak 36 kemungkinan yang akan muncul. sebanyak 36 kemungkinan yang muncul tersebut dinamakan ruang sampel. Sedangkan anggota-anggota ruang sampel tersebut dinamakan titik sampel. Titik sampel pada pelemparan dua dadu sebagai berikut.

Misalkan;

(a, b) = muncul mata dadu a pada dadu merah dan mata dadu b pada dadu biru.

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Dengan demikian diperoleh n(S) adalah 36.

 

Selanjutnya kita akan menentukan peluang kejadian pelemparan dua dadu.

1. Jika dua dadu dilempar satu kali, tentukan peluang kejadian muncul mata dadu keduanya prima.

Jawaban:

Misalkan A = kejadian muncul mata dadu keduanya bilangan prima

A = {(2,2),(2,3),(2, 5), (3,2),(3,3),(3,5),(5,2),(5,3), (5, 5)}

n(A) = 9

2. Jika dua dadu dilempar satu kali, tentukan peluang kejadian muncul kedua mata dadu berselisih 2.

Jawaban:

Misalkan B = kejadian muncul kedua mata dadu berselisih 3.

B = {(1, 3),(3, 1),(2, 4), (4, 2),(3, 5),(5, 3),(4, 6),(6, 4)}

n(B) = 8

 

3. Jika dua dadu dilempar satu kali, tentukan peluang kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 7.

Jawaban:

Misalkan C = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 7.

C = {(1, 6),(6, 1),(2, 5), (5, 2),(3, 4),(4, 3)}

n(C) = 6

4. Jika dua dadu dilempar satu kali, tentukan peluang kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah lebih dari 8.

Jawaban:

Misalkan D = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah lebih dari 8.

D = {(3, 6),(6, 3),(4, 5), (5, 4),(4, 6),(6, 4), (5, 6),(6, 5),(6, 6)}

n(D) = 9

5. Jika dua dadu dilempar satu kali, tentukan peluang kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah kurang dari 5.

Jawaban:

Misalkan E = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah kurang dari 8.

E = {(1, 1),(1, 2),(1, 3), (2, 1),(2, 2), (3, 1)}

n(E) = 6

6. Jika dua dadu dilempar satu kali, tentukan peluang kejadian muncul salah satu mata dadu adalah mata dadu 2.

Jawaban:

Misalkan F = kejadian muncul salah satu mata dadu adalah mata dadu 2.

E = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),( 2, 5),( 2, 6), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}

n(F) = 12

Demikianlah sekilas materi tentang peluang kejadian pada pelemparan dua dadu.

Semoga Bermanfaat.

Barisan dan Deret Aritmetika : Rumus Suku Ke-n dan Jumlah n Suku Pertama

 Penerapan barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan keseharian sangat banyak. Selain itu, dalam hal bilangan penggunaan deret aritmetika juga diperlukan. Perlu diketahui bahwa barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda antarsuku selalu sama (tetap).

Jika pola barisan aritmetika memiliki suku awal (a) dan beda (Selisih) = b, maka pola bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut.

 

a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, .......   atau dapat ditulis

U₁,  U₂,    U₃,       U₄,       U₅, ....

 

Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan:

 

U_n = a + (n - 1)b

 

 

Adapun deret aritmetika adalah jumlah bilangan-bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Deret aritmetika dituliskan sebagai berikut.

 

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + .......+ a + (n – 1)b

atau

S_n = U₁ + U₂ +  U₃ +  U₄ +  U₅ + .... + U_n

 

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dirumuskan:

Untuk mempelajari penerapan  dan menyelesaikan masalah barisan dan deret aritmetika, mari  menyelesaikan permasalahan di bawah ini.                     

 

Permasalahan 1

Diketahui jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.

Jika terdapat tiga bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5.

 

Jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 5.001

                                 6n + 9 = 5.001

                                       6n = 5.001 – 9

                                       6n = 4.992

                                        n = 4.992 : 6

                                        n = 832

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n + 1 = 2(832) + 1 = 1.664 + 1 = 1.665

2n + 3 = 2(832) + 3 = 1.664 + 3 = 1.667

2n + 5 = 2(832) + 5 = 1.664 + 5 = 1.669

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 1.665, 1.667, dan 1.669.

 

Permasalahan 2

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n, atau 2n + 2.

Jika terdapat tiga bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4.

 

Jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000.

2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 12.000

                         6n + 6 = 12.000

                               6n = 12.000 – 6

                               6n = 11.994

                                 n = 11.994 : 6

                                 n = 1.999

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n = 2(1.999) = 3.998

2n + 2 = 2(1.999) + 2 = 3.998 + 2 = 4.000

2n + 4 = 2(1.999) + 4 = 3.998 + 4 = 4.002

Jadi, ketiga bilangan itu adalah 3.998, 4.000, dan 4.002.

 

 

Permasalahan 3

Diketahui jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.

Jika terdapat lima bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9.

 

Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005.

(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 9.005

                   10n + 15 = 9.005

                        10n = 9.005 – 15

                        10n = 8.990

                          n = 8.990 : 10

                          n = 899

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n + 1 = 2(899) + 1 = 1.798 + 1 = 1.799

2n + 3 = 2(899) + 3 = 1.798 + 3 = 1.801

2n + 5 = 2(899) + 5 = 1.798 + 5 = 1.803

2n + 7 = 2(899) + 7 = 1.798 + 7 = 1.805

2n + 9 = 2(899) + 9 = 1.798 + 9 = 1.807

 

Jadi, kelima bilangan itu adalah 1.799, 1.801, 1.803, 1.805, dan 1.807.

 

 

Permasalahan 4

Diketahui jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian

Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n atau 2n + 2.

Jika terdapat lima bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8.

 

Jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000.

(2n) + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 100.000

                   10n + 20 = 100.000

                        10n = 100.000 – 20

                        10n = 99.980

                          n = 99.980 : 10

                          n = 9.998

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

2n = 2(9.998) = 19.996

2n + 2 = 2(9.998) + 2 = 19.996 + 2 = 19.998

2n + 4 = 2(9.998) + 4 = 19.996 + 4 = 20.000

2n + 6 = 2(9.998) + 6 = 19.996 + 6 = 20.002

2n + 8 = 2(9.998) + 8 = 19.996 + 8 = 20.004

 

Jadi, kelima bilangan itu adalah 19.996, 19.998, 20.000, 20.002, dan 20.004.

 

 

Permasalahan 5

Diketahui panjang tali mula-mula adalah 950 cm. Tali itu akan dipotong menjadi 5 tali dan panjang tali membentuk barisan aritmetika. Tentukan panjang setiap tali jika selisih antartali adalah 5 cm.

Penyelesaian

Permasalahan tentang deret aritmetika dengan jumlah 5 bilangan.

Diketahui Jumlah lima tali (Sn) = 950 dan beda (b) = 5.

Sehingga dapat ditulis:

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = S₅

a + (a + 5) + (a + 2(5)) + (a + 3(5)) + (a + 4(5)) = 950

 

a + (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20) = 950

      5a + 50 = 950

             5a = 950 – 50

             5a = 900

               a = 900 : 5

               a = 180

Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.

a ; (a + 5) ; (a + 10) ; (a + 15)  dan  (a + 20)

180 ; (180 + 5) ; (180 + 10) ; (180 + 15) dan  (180 + 20)

180, 185, 190, 195, dan 200.

 

Jadi, kelima bilangan itu adalah 180, 185, 190, 195, dan 200.

 

 

Permasalahan 6

Ani menabung di Bank setiap bulan. Pada bulan Januari ia menabung Rp200.000,00. Pada bulan Februari ia menabung Rp220.000,00. Pada bulan Maretia menabung Rp240.000,00. Dan seterusnya setiap bulan bertambah sacara tetap. Tentukan:

1.  Besar uang yang ditabung pada bulan Agustus.

2.  Jumlah uang tabungan selama setahun.

Penyelesaian

Permasalahan tentang barisan dan deret aritmetika.

Misalkan:

Suku pertama (U₁) adalah besar yang ditabung pada bulan Januari.

Suku pertama (U₂) adalah besar yang ditabung pada bulan Februari.

Dan seterusnya.

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

U1 = 200.000

b = 20.000

1.  Menentukan uang yang ditabung pada bulan Agustus (U8)

     U_n = a + (n - 1)b

     U₈ = 200.000 + (8 - 1)20.000

          = 200.000 + 7 x 20.000

          = 200.000 + 140.000

          = 340.000

     Jadi, uang yang ditabung pada bulan Agustus sebesar Rp340.000,00.

 

2.  Menentukan jumlah uang yang ditabung selama setahun (S₁₂)

Demikianlah sekilas materi tentang penerapan barisan dan deret aritmetika dalam menyelesaikan masalah.

Semoga bermanfaat.