Himpunan
Himpunan dalam matematika, hanyalah sekumpulan objek
berbeda yang membentuk suatu kelompok. Suatu himpunan dapat memiliki sekelompok
item apa pun, baik itu kumpulan angka, hari dalam seminggu, jenis kendaraan,
dan sebagainya. Setiap item dalam himpunan disebut elemen himpunan. Tanda
kurung kurawal digunakan saat menulis himpunan. Contoh himpunan yang sangat
sederhana adalah seperti ini. Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Dalam teori
himpunan, terdapat berbagai notasi untuk merepresentasikan elemen himpunan.
Himpunan biasanya direpresentasikan menggunakan bentuk daftar atau bentuk
pembangun himpunan. Mari kita bahas masing-masing istilah ini secara
terperinci.
Definisi Himpunan
Dalam matematika, himpunan didefinisikan sebagai
kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik. Himpunan diberi nama dan
direpresentasikan menggunakan huruf kapital. Dalam teori himpunan,
elemen-elemen yang menyusun suatu himpunan dapat berupa apa saja: orang, huruf
alfabet, angka, bentuk, variabel, dll.
Contoh Himpunan dalam Matematika
Beberapa himpunan standar dalam matematika adalah:
Himpunan bilangan Asli, A = {1, 2, 3, ...}
Himpunan bilangan Cacah, C = {0, 1, 2, 3, ...}
Himpunan bilangan Bulat, B = {..., -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, ...}
Himpunan bilangan Rasional, Q = {p/q | q adalah
bilangan bulat dan q ≠ 0}
Himpunan bilangan Irasional, Q' = {x | x bukan
bilangan rasional}
Himpunan bilangan riil, R = Q ∪ Q'
Semua ini adalah himpunan tak terhingga. Namun, ada
juga himpunan terhingga. Misalnya, kumpulan bilangan asli genap kurang dari 10
dapat direpresentasikan dalam bentuk himpunan, A = {2, 4, 6, 8}, yang merupakan
himpunan berhingga.
Mari kita gunakan contoh ini untuk memahami
terminologi dasar yang terkait dengan himpunan dalam matematika.
Elemen Himpunan
Item yang ada dalam suatu himpunan disebut elemen atau
anggota himpunan. Elemen himpunan diapit oleh tanda kurung kurawal yang
dipisahkan oleh koma. Untuk menunjukkan bahwa suatu elemen terdapat dalam suatu
himpunan, simbol '∈'
digunakan. Dalam contoh di atas, 2 ∈ A. Jika suatu elemen bukan anggota suatu himpunan,
maka elemen tersebut dilambangkan menggunakan simbol '∉'. Misalnya, 3 ∉ A.
Bilangan Kardinal Himpunan
Bilangan kardinal, kardinalitas, atau orde suatu
himpunan menunjukkan jumlah total elemen dalam himpunan tersebut. Untuk
bilangan asli genap kurang dari 10, n(A) = 4. Himpunan didefinisikan sebagai
kumpulan elemen unik. Satu syarat penting untuk mendefinisikan suatu himpunan
adalah bahwa semua elemen himpunan harus saling terkait dan memiliki sifat yang
sama. Misalnya, jika kita mendefinisikan suatu himpunan dengan elemen-elemennya
sebagai nama bulan dalam himpunanahun, maka kita dapat mengatakan bahwa semua
elemen himpunan tersebut adalah bulan-bulan dalam himpunanahun.
Representasi Himpunan dalam Teori
Himpunan
Ada beberapa notasi himpunan yang digunakan untuk
representasi himpunan dalam teori himpunan. Notasi-notasi tersebut berbeda
dalam cara elemen-elemen tersebut dicantumkan. Ketiga notasi himpunan yang
digunakan untuk merepresentasikan himpunan yaitu Bentuk Semantik, Bentuk Daftar,
dan Bentuk Pembangun Himpunan.
Mari kita pahami masing-masing bentuk ini dengan
sebuah contoh.
Misalkan ada Himpunan lima bilangan asli genap pertama,
maka bentuk-bentuknya sebagai berikut.
Bentuk Semantik : Himpunan lima bilangan asli genap
pertama
Bentuk Daftar : {2, 4, 6, 8, 10}
Bentuk Pembangun Himpunan : {x ∈ A | x ≤ 10 dan x genap}
Bentuk Semantik
Notasi semantik menjelaskan pernyataan untuk
menunjukkan apa saja elemen-elemen suatu himpunan. Misalnya, satu himpunan dari
lima angka ganjil pertama.
Bentuk Daftar
Bentuk yang paling umum digunakan untuk
merepresentasikan himpunan adalah notasi daftar di mana elemen-elemen himpunan
diapit oleh tanda kurung kurawal yang dipisahkan oleh koma. Misalnya, Himpunan
B = {2,4,6,8,10}, yang merupakan kumpulan dari lima angka genap pertama. Dalam
bentuk daftar, urutan elemen-elemen himpunan tidak menjadi masalah, misalnya, himpunan
dari lima angka genap pertama juga dapat didefinisikan sebagai {2,6,8,10,4}.
Selain itu, jika ada daftar elemen yang tak terbatas dalam satu himpunan, maka
elemen-elemen tersebut didefinisikan menggunakan serangkaian titik di akhir
elemen terakhir. Misalnya, himpunan tak terbatas direpresentasikan sebagai, X =
{1, 2, 3, 4, 5 ...}, di mana X adalah himpunan bilangan asli. Untuk meringkas
notasi bentuk daftar, silakan lihat contoh-contoh di bawah ini.
Notasi Daftar Himpunan Terhingga:
Misal : Himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} (Lima bilangan asli pertama)
Notasi Daftar Himpunan Tak Terhingga:
Misal : Himpunan B = {5, 10, 15, 20 ....} (Bilangan Kelipatan 5)
Bentuk Pembangun Himpunan
Notasi pembangun himpunan memiliki aturan atau
pernyataan tertentu yang secara khusus menggambarkan ciri umum semua elemen
himpunan. Bentuk pembangun himpunan menggunakan garis vertikal dalam
representasinya, dengan teks yang menggambarkan karakter elemen himpunan.
Misalnya, A = { k | k adalah bilangan genap, k ≤ 20}. Pernyataan tersebut
menyatakan, semua elemen himpunan A adalah bilangan genap yang kurang dari atau
sama dengan 20. Terkadang tanda ":" digunakan sebagai pengganti tanda
"|".
Representasi Visual Himpunan
Menggunakan Diagram Venn
Diagram Venn adalah representasi bergambar himpunan,
dengan setiap himpunan direpresentasikan sebagai lingkaran. Elemen-elemen
himpunan hadir di dalam lingkaran. Terkadang persegi panjang melingkupi
lingkaran, yang merepresentasikan himpunan universal. Diagram Venn
merepresentasikan bagaimana himpunan yang diberikan saling terkait.
Simbol Himpunan
Simbol himpunan digunakan untuk mendefinisikan
elemen-elemen himpunan yang diberikan. Tabel berikut menunjukkan simbol teori
himpunan dan artinya. Simbol Arti
{ } Simbol
himpunan
U Himpunan
universal
n(X) Bilangan
kardinal himpunan X
b ∈ A 'b' merupakan elemen himpunan A
a ∉ B 'a' bukan
merupakan elemen himpunan B
∅ Himpunan
nol atau kosong
A U B Himpunan
A Himpunan gabungan B
A ∩ B Himpunan
A himpunan irisan B
A ⊆ B Himpunan A merupakan bagian dari himpunan
B
B ⊇ A Himpunan B merupakan superset dari
himpunan A
Jenis-jenis Himpunan
Ada berbagai jenis himpunan dalam teori himpunan.
Beberapa di antaranya adalah tunggal, terbatas, tak terbatas, kosong, dst.
Himpunan Tunggal
Himpunan yang hanya memiliki satu elemen disebut
himpunan tunggal atau disebut juga himpunan satuan. Contoh, Himpunan A = { k |
k merupakan bilangan bulat antara 3 dan 5} yang mana A = {4}.
Himpunan Terhingga
Sesuai dengan namanya, himpunan dengan jumlah elemen
terbatas atau terhitung disebut himpunan hingga. Contoh, Himpunan B = {k | k
adalah bilangan prima kurang dari 20}, yaitu B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
Himpunan Tak Terhingga
Himpunan dengan jumlah elemen tak terhingga disebut
himpunan tak terhingga. Contoh: Himpunan C = {Kelipatan 3}.
Himpunan Kosong atau Himpunan Nol
Himpunan yang tidak mengandung elemen apa pun disebut
himpunan kosong atau himpunan nol. Himpunan kosong dilambangkan dengan simbol '∅'. Dibaca sebagai 'phi'. Contoh: Himpunan X = {
}.
Himpunan Sama
Jika dua himpunan memiliki elemen yang sama di
dalamnya, maka keduanya disebut himpunan sama. Contoh: A = {1,2,3} dan B =
{1,2,3}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan sama. Ini dapat
direpresentasikan sebagai A = B.
Himpunan Tak Sama
Jika dua himpunan memiliki himpunanidaknya satu elemen
yang berbeda, maka keduanya adalah himpunan tak sama. Contoh: A = {1,2,3} dan B
= {2,3,4}. Di sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang tidak sama.
Hal ini dapat direpresentasikan sebagai A ≠ B.
Himpunan Ekuivalen
Dua himpunan dikatakan sebagai himpunan ekuivalen jika
keduanya memiliki jumlah elemen yang sama, meskipun elemen-elemennya berbeda.
Contoh: A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d}. Di sini, himpunan A dan himpunan B
adalah himpunan ekuivalen karena n(A) = n(B)
Himpunan yang Tumpang Tindih
Dua himpunan dikatakan tumpang tindih jika setidaknya
satu elemen dari himpunan A ada di himpunan B. Contoh: A = {2,4,6} B =
{4,8,10}. Di sini, elemen 4 ada di himpunan A dan juga di himpunan B. Oleh
karena itu, A dan B adalah himpunan yang tumpang tindih.
Himpunan yang Tidak Saling
Menggabungkan
Dua himpunan tidak saling menggabungkan jika tidak ada
elemen yang sama di kedua himpunan. Contoh: A = {1,2,3,4} B = {5,6,7,8}. Di
sini, himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang terpisah.
Subset dan Superset
Untuk dua himpunan A dan B, jika setiap elemen dalam
himpunan A ada di himpunan B, maka himpunan A adalah subset dari himpunan B(A ⊆ B) dan dalam kasus ini, B adalah superset dari
himpunan A(B ⊇ A).
Contoh: Perhatikan himpunan A = {1,2,3} dan B =
{1,2,3,4,5,6}. Di sini:
A ⊆ B,
karena semua elemen dalam himpunan A ada di himpunan B.
B ⊇ A
menyatakan bahwa himpunan B adalah superset dari himpunan A.
Himpunan Semesta
Himpunan
semesta adalah kumpulan semua elemen yang berkenaan dengan subjek tertentu.
Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf 'U'. Contoh: Misalkan U = {Daftar
semua kendaraan angkutan jalan}. Di sini, sekumpulan mobil adalah himpunan
bagian dari himpunan universal ini, sekumpulan sepeda, kereta api semuanya
adalah himpunan bagian dari himpunan universal ini.
Himpunan Pangkat
Himpunan pangkat adalah himpunan dari semua himpunan
bagian yang dapat ditampung oleh suatu himpunan. Contoh: Himpunan A = {1,2,3}.
Himpunan pangkat dari A adalah = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.
Operasi pada Himpunan
Beberapa operasi penting pada himpunan dalam teori
himpunan meliputi gabungan, irisan, selisih, komplemen suatu himpunan, dan
perkalian kartesius suatu himpunan. Penjelasan singkat tentang operasi himpunan
adalah sebagai berikut.
Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan, yang dilambangkan sebagai A U B,
mencantumkan elemen-elemen dalam himpunan A dan himpunan B atau elemen-elemen
dalam himpunan A dan himpunan B. Misalnya, {1, 3} ∪ {1, 4} = {1, 3, 4}
Irisan Himpunan
Irisan himpunan yang dilambangkan dengan A ∩ B
mencantumkan elemen-elemen yang sama dalam himpunan A dan himpunan B. Misalnya,
{1, 2} ∩ {2, 4} = {2}
Selisih Himpunan
Selisih himpunan yang dilambangkan dengan A - B,
mencantumkan elemen-elemen dalam himpunan A yang tidak ada dalam himpunan B.
Misalnya, A = {2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6}. A - B = {2, 3}.
Produk Kartesius dari Himpunan
Produk Kartesius dari dua himpunan yang dilambangkan
dengan A × B, adalah produk dari dua himpunan yang tidak kosong, yang di
dalamnya diperoleh pasangan elemen yang berurutan. Misalnya, {1, 3} × {1, 3} =
{(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.
Pada gambar di atas, bagian yang diarsir dengan warna
"biru" menunjukkan himpunan yang diberi label.
Rumus Himpunan dalam Teori
Himpunan
Himpunan menemukan penerapannya dalam bidang aljabar,
statistik, dan probabilitas. Ada beberapa rumus teori himpunan yang penting
dalam teori himpunan seperti yang tercantum di bawah ini.
Untuk dua himpunan A dan B yang saling tumpang tindih,
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n (A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A U B)
n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) - n(B)
n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) - n(A)
n(A - B) = n(A U B) - n(B)
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)
Untuk dua himpunan A dan B yang tidak saling lepas,
n(A U B) = n(A) + n(B)
A ∩ B = ∅
n(A - B) = n(A)
Sifat-Sifat Himpunan
Mirip dengan bilangan, himpunan juga memiliki
sifat-sifat seperti sifat asosiatif, sifat komutatif, dan seterusnya. Ada enam
sifat penting dari himpunan. Diberikan tiga himpunan A, B, dan C, sifat-sifat
himpunan ini adalah sebagai berikut.
Contoh Sifat-Sifat Himpunan
Sifat Komutatif A
U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
Sifat Asosiatif (A
∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A
U B) U C = A U (B U C)
Sifat Distributif A
U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩
C)
Sifat Identitas A
U ∅ = A
A ∩ U = A
Sifat Komplemen A
U A' = U
Sifat Idempoten A
∩ A = A
A U A = A
Bagaimana, sudah jelas bukan belajar tentang nilai himpunan?
Semoga bermanfaat.
