BENTUK ALJABAR, SIFAT-SIFAT, DAN OPERASI BENTUK ALJABAR

Pengertian Aljabar

Aljabar adalah bidang matematika yang membahas representasi situasi menggunakan simbol matematika, variabel, dan operasi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang mengarah pada pembentukan ekspresi matematika yang relevan. Dalam pelajaran ini, kita akan membahas semua aturan aljabar, operasi, dan rumus.

 

Dasar-Dasar Aljabar

Kita perlu mengetahui terminologi dasar yang berkaitan dengan aljabar untuk memahami dasar-dasarnya. Ekspresi yang terdiri dari 4 bagian utama seperti variabel, tanda operasi, eksponen, koefisien, dan konstanta beserta simbol yang dikenal sebagai persamaan aljabar. Mari kita ambil persamaan, ax² + bx + c = d. Dalam aljabar, suku dengan eksponen tertinggi ditulis di awal dan selanjutnya suku ditulis dengan pangkat menurun (reduksi).

 

Dalam masalah atau situasi Matematika tertentu, kita dapat berbicara tentang dua jenis entitas berikut.

(a) Variabel: variabel adalah entitas yang nilainya tidak tetap; dapat bervariasi. Variabel umumnya dilambangkan dengan huruf x, y, z, dst.

(b) Konstanta: konstanta adalah entitas yang nilainya tetap untuk situasi tertentu. Nilai konstanta mungkin tidak diketahui, tetapi kita tahu bahwa nilainya tetap. Konstanta umumnya dilambangkan dengan huruf a, b, c, p, q, dst. jika nilainya tidak diketahui atau tidak diberikan, dan dengan nilai numerik tertentu (seperti 3,

7, -9, dst.) jika nilainya diketahui.

 

Ekspresi (bentuk aljabar) adalah entitas gabungan yang dibentuk dengan menggabungkan variabel dan konstanta menggunakan berbagai operasi matematika. Mari kita lihat beberapa contoh ekspresi, dan buat daftar variabel dan konstanta yang muncul di dalamnya.

 

 Pada gambar di atas ax² + bx + c = d, terdapat 4 suku. Persamaan aljabar mungkin memiliki suku-suku berbeda yang serupa/sejenis atau tidak serupa/tidak sejenis. Suku-suku sejenis dalam suatu persamaan adalah suku-suku yang membentuk variabel dan eksponen yang sama. Di sisi lain, suku-suku yang tidak sejenis dalam suatu persamaan membentuk variabel dan eksponen yang berbeda.

 

Aturan Aljabar

Ada lima aturan dasar (sifat-sifat) aljabar. Aturan-aturan tersebut antara lain sebagai berikut.

1. Aturan Komutatif Penjumlahan

2. Aturan Komutatif Perkalian

3. Aturan Asosiatif Penjumlahan

4. Aturan Asosiatif Perkalian

5. Aturan Distributif Perkalian

 

1. Aturan Komutatif Penjumlahan

Dalam aljabar, aturan komutatif penjumlahan menyatakan bahwa ketika dua suku dijumlahkan, urutan penjumlahan tidak menjadi masalah. Persamaan untuk hal yang sama ditulis sebagai, a + b = b + a.

Misalnya:  x³ + 2x = 2x + x³

               2x² + 5 = 5 + 2x²

 

 

2. Aturan Komutatif Perkalian

Aturan komutatif perkalian menyatakan bahwa ketika dua suku dikalikan, urutan perkalian tidak menjadi masalah. Persamaan untuk hal yang sama ditulis sebagai, a × b = b × a.

Misalnya, (x⁴ - 2x) × 3x = 3x × (x⁴ - 2x).

Sisi kiri         : (x⁴ - 2x) × 3x = 3x⁵ - 6x²

Sisi kanan     : 3x × (x⁴ - 2x) = 3x⁵ - 6x²

Tampak bahwa hasil pada sisi kiri sama dengan hasil pada sisi kanan, ini membuktikan sifat komutatif memiliki hasil yang sama.

 

Aturan Asosiatif Penjumlahan

Dalam aljabar, aturan asosiatif penjumlahan menyatakan bahwa ketika tiga suku atau lebih dijumlahkan, urutan penjumlahan tidak menjadi masalah. Persamaan untuk hal yang sama ditulis sebagai a + (b + c) = (a + b) + c.

Misalnya:      x⁵ + (3x² + 2) = (x⁵ + 3x²) + 2

                   3x + (5y - 6z) = (3x + 5y) - 6z

 

Aturan Asosiatif Perkalian

Demikian pula, aturan asosiatif perkalian menyatakan bahwa ketika tiga suku atau lebih dikalikan, urutan perkalian tidak menjadi masalah. Persamaan untuk hal yang sama ditulis sebagai a × (b × c) = (a × b) × c.

Misalnya, p³ × (2p⁴ × p) = (p³ × 2p⁴) × p.

Sisi kiri :       p³ × (2p⁴ × p) = p³ × 2p⁵ = 2p⁸

Sisi kanan :   (p³ × 2p⁴) × p = 2p⁷ × p = 2p⁸

Ternyata diperoleh hasil yang sama.

 

Aturan Distributif Perkalian

Aturan distributif perkalian menyatakan bahwa ketika kita mengalikan suatu angka dengan penjumlahan dua angka, hasilnya akan sama dengan jumlah hasil perkalian keduanya dengan angka itu sendiri. Ini adalah distribusi perkalian atas penjumlahan. Persamaan untuk hal yang sama ditulis sebagai, a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Misalnya:    x² × (2x + 1) = (x² × 2x) + (x²× 1).

                   3y³ × (5x + 2z) = (3y³ × 5x) + (3y³ × 2z).

 

 

Operasi Aljabar

Dalam operasi hitung aljabar terdapat empat operasi antara lain:

Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian.

Dalam setiap operasi aljabar yang dilakukan, kita selalu mengkategorikan suku-suku dalam persamaan aljabar sebagai suku-suku yang sejenis dan tidak sejenis.

 

Penjumlahan

Ketika dua atau lebih suku dalam persamaan aljabar dipisahkan oleh tanda tambah "+", operasi aljabarnya adalah penjumlahan. Kita selalu menambahkan suku-suku yang sejenis dan tidak sejenis secara terpisah karena keduanya diperlakukan sebagai dua kuantitas yang berbeda. Secara matematis, dua kuantitas yang berbeda tidak dapat dijumlahkan bersama-sama.

Contoh penjumlahan suku-suku yang sejenis: 5b + 3b = 8b

Contoh penjumlahan suku-suku yang tidak sejenis: 25x + 35y

Seperti yang dapat kita lihat dalam contoh, suku-suku yang sejenis jika dijumlahkan akan menghasilkan suku-suku yang sama, sedangkan suku-suku yang tidak sejenis tidak dapat dijumlahkan lebih lanjut.

 

Pengurangan

Ketika dua atau lebih suku dalam persamaan aljabar apa pun dipisahkan oleh tanda minus "-", operasi aljabarnya adalah pengurangan. Sama halnya dengan penjumlahan, suku-suku dibedakan menjadi suku-suku yang sejenis atau tidak sejenis, lalu dikurangi lebih lanjut.

Contoh pengurangan suku-suku sejenis: 3x² - x² = 2x²

Contoh pengurangan suku-suku yang tidak sejenis: 6bc - 9ab

 

 

 

Perkalian

Ketika dua suku atau lebih dalam persamaan aljabar dipisahkan oleh tanda perkalian "×", operasi aljabar yang dilakukan adalah perkalian. Saat mengalikan suku-suku sejenis atau tidak sejenis, kita menggunakan Hukum Eksponen.

Contoh perkalian suku-suku sejenis: 16p × 4p = 64p²

Contoh perkalian suku-suku yang tidak sejenis: a × b³ = ab³

 

Pembagian

Ketika dua suku atau lebih dalam persamaan aljabar apa pun dipisahkan oleh tanda pembagian "/", operasi aljabar yang dilakukan adalah pembagian. Saat membagi suku-suku sejenis, suku-suku yang sejenis dapat disederhanakan, sedangkan untuk kasus suku-suku yang tidak sejenis, suku-suku tersebut tidak dapat disederhanakan lebih lanjut dengan mudah.

Contoh pembagian suku sejenis: 8b/2b = 4

Contoh pembagian suku tak sejenis: x²/2y²

 

Jika dalam operasi aljabar memuat beberapa operasi aljabar, maka hasilnya dapat disederhanakan dengan sifat-sifat aljabar. Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

1.  3x² (2x + 5y²) - 4x³ + 6xy - 8x³y²

    = 6x³ + 15x³y² - 4x³ + 6xy - 8x³y²

    = 6x³ - 4x³ + 15x³y² - 8x³y² + 6xy

    = 2x³ + 7x³y² + 6xy

 

2.  3p(4q + 2r) - 2q(5p - r) + 4r(q - 3p)

    = 12pq + 6pr - 10pq + 2qr + 4qr - 12pr

    = 12pq - 10pq + 6pr - 12pr + 2qr + 4qr

    = 2pq - 6pr + 6qr

 

Rumus Aljabar

Rumus aljabar yang lebih sering digunakan dan harus diketahui adalah:

(a + b)² =  a² + 2ab + b²

(a - b)² =  a² - 2ab + b²

a² - b² =  (a + b)(a - b)

(a + b)³ =  a² + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ =  a² - 3a²b + 3ab² - b³

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

(a + b + c)² =  a² + b² + ac² + 2ab + 2bc + 2ac

 

Demikian tadi sekilas tentang bentuk aljabar dan sifat-sifatnya beserta  operasi aljabar.

Semoga bermanfaat.