NILAI DISKRIMINAN DAN SIFAT-SIFAT AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Diskriminan

Diskriminan banyak digunakan dalam permasalahan persamaan kuadrat dan digunakan untuk menemukan sifat akar. Meskipun menemukan diskriminan untuk polinomial apa pun tidaklah mudah, ada rumus untuk menemukan diskriminan persamaan kuadrat dan persamaan kubik yang memudahkan pekerjaan kita.

 

Mari kita pelajari lebih lanjut tentang diskriminan beserta rumusnya dan mari kita pahami juga hubungan antara diskriminan dan sifat-sifat akar.

 

Apa itu Diskriminan dalam Matematika?

Diskriminan polinomial dalam matematika adalah fungsi dari koefisien polinomial. Diskriminan berguna dalam menentukan jenis solusi persamaan polinomial tanpa benar-benar menemukannya. Yaitu, diskriminan untuk mendiskriminasi solusi persamaan kuadrat atau polinomial (misalnya: sama dan tidak sama; nyata dan tidak nyata) dan karenanya disebut "diskriminan". Nilai Diskriminan biasanya dilambangkan dengan Δ atau D. Nilai diskriminan dapat berupa bilangan riil apa pun (yaitu, positif, negatif, atau 0). Namun dalam artikel ini kita sepakati diawal akan menggunakan nilai diskriminan menggunakan simbol D.

 

Rumus Diskriminan

Diskriminan (D) dari polinomial apa pun dinyatakan dalam bentuk koefisiennya. Berikut adalah rumus diskriminan untuk persamaan kubik dan persamaan kuadrat.

 

1. Jika terdapat persamaan kuadrat ax² + bx + c= 0, maka nilai diskriminannya adalah:

D = b² - 4ac

2. Jika terdapat persamaan polinomial ax³ + bx² + cx + d = 0, maka nilai diskriminannya adalah :

D = b²c² − 4ac³ − 4b³d − 27a²d² + 18abcd

 

Mari kita lihat cara menggunakan rumus ini untuk menemukan diskriminan.

 

Bagaimana Menemukan Diskriminan?

Untuk menemukan diskriminan persamaan kubik atau persamaan kuadrat, kita hanya perlu membandingkan persamaan yang diberikan dengan bentuk standarnya dan menentukan koefisiennya terlebih dahulu. Kemudian kita mengganti koefisien dalam rumus yang relevan untuk menemukan diskriminan.

 

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dinyatakan dalam bentuk koefisiennya a, b, dan c. yaitu:

D = b² − 4ac

 

Apakah Anda ingat kapan menggunakan b² − 4ac sebelumnya?

Ya, jawabnya hitungan/rumus tersebut terdapat pada bagian dari rumus kuadrat dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat:

Di sini, ekspresi yang ada di dalam akar kuadrat rumus kuadrat disebut diskriminan persamaan kuadrat. Rumus kuadrat dalam bentuk diskriminan adalah: :

Perhatikan beberapa contoh berikut.

Tentukan nilai diskriminan dari persamaan-persamaan kuadrat berikut.

1.   x² + 3x - 5 = 0

2.   x² - 2x + 6 = 0

3.   2x² + 3x - 4 = 0

4.   3x² - 7x + 5 = 0

Jawaban:

1.  Menentukan diskriminan persamaan kuadrat x² + 3x - 5 = 0.

Jika persamaan tersebut diselaraskan dengan ax² + bx + c = 0, kita peroleh a = 1, b = 3, dan c = -5.

D = b² − 4ac

   = (3)² - 4(1)(-5)

   = 9 + 20

   = 29

Jadi, nilai diskriminannya adalah 29.

 

2.  Menentukan diskriminan persamaan kuadrat x² - 2x + 6 = 0.

Jika persamaan tersebut diselaraskan dengan ax² + bx + c = 0, kita peroleh a = 1, b = -2, dan c = 6.

D = b² − 4ac

   = (-2)² - 4(1)(6)

   = 4 - 24

   = -20

Jadi, nilai diskriminannya adalah -20.

 

3.  Menentukan diskriminan persamaan kuadrat 2x² + 3x - 4 = 0.

Jika persamaan tersebut diselaraskan dengan ax² + bx + c = 0, kita peroleh a = 2, b = 3, dan c = -4.

D = b² − 4ac

   = (3)² - 4(2)(-4)

   = 9 + 32

   = 41

Jadi, nilai diskriminannya adalah 41.

 

4.  Menentukan diskriminan persamaan kuadrat 3x² - 7x + 5 = 0.

Jika persamaan tersebut diselaraskan dengan ax² + bx + c = 0, kita peroleh a = 3, b = -7, dan c = 5.

D = b² − 4ac

   = (-7)² - 4(3)(5)

   = 49 - 60

   = -11

Jadi, nilai diskriminannya adalah -11.

 

 

Diskriminan Persamaan Kubik

Diskriminan persamaan kubik ax³ + bx² + cx + d = 0 dinyatakan dalam suku a, b, c, dan d. yaitu:

D = b²c² − 4ac³ − 4b³d − 27a²d² + 18abcd

 

Contoh:

Carilah diskriminan persamaan kubik x³ - 3x + 2 = 0.

Jika persamaan tersebut diselaraskan dengan ax³ + bx² + cx + d = 0, kita peroleh a = 1, b = 0, c = -3, dan d = 2. J

D = b²c² − 4ac³ − 4b³d − 27a²d² + 18abcd

= (0)2(-3)2 − 4(1)(-3)3 − 4(0)3(2) − 27(1)2(2)2 + 18(1)(0)(-3)(2)

= 0 + 108 - 0 - 108 + 0

= 0

Jadi, nilai diskriminannya adalah 0.

 

 

Diskriminan dan Sifat Akar

Akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Akar tersebut dapat ditemukan menggunakan rumus kuadrat:

Meskipun kita tidak dapat menemukan akar hanya dengan menggunakan diskriminan, kita dapat menentukan sifat-sifat akar sebagai berikut.

 

Jika Diskriminan Positif

Jika D > 0 atau b² − 4ac > 0, persamaan kuadrat memiliki dua akar riil yang berbeda. Hal ini karena, ketika D > 0, akar-akar tersebut diberikan oleh:

 

dan akar kuadrat dari bilangan positif selalu menghasilkan bilangan riil. Jadi, ketika diskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari 0, persamaan tersebut memiliki dua akar yang merupakan bilangan riil yang berbeda.

 

Jika Diskriminan Negatif

Jika D < 0 atau b² − 4ac < 0, persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks (akar imajiner) yang berbeda. Hal ini karena, ketika D < 0, akar-akarnya diberikan oleh

dan akar kuadrat dari bilangan negatif selalu mengarah ke bilangan imajiner. Misalnya  = 2i. Jadi, ketika diskriminan persamaan kuadrat kurang dari 0, persamaan tersebut memiliki dua akar yang merupakan bilangan kompleks (bilangan imajiner) yang berbeda (non-riil).

 

Jika Diskriminan Sama dengan Nol

Jika D = 0, persamaan kuadrat memiliki dua akar riil yang sama. Dengan kata lain, ketika D = 0, persamaan kuadrat hanya memiliki satu akar riil. Ini karena, ketika D = 0, akar-akarnya diberikan oleh:

 

dan akar kuadrat dari 0 adalah 0. Maka persamaan tersebut berubah menjadi x =  yang hanya merupakan satu bilangan. Jadi, ketika diskriminan persamaan kuadrat adalah nol, persamaan tersebut hanya memiliki satu akar riil yaitu :

Akar persamaan kuadrat tidak lain adalah koordinat-x dari perpotongan terhadap sumbu X dari fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat dalam dari 3 permasalahan ini dapat digambarkan seperti berikut.

 

 

Ketika D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik koordinat.

Ketika D = 0, grafik memotong sumbu X di satu titik koordinat (menyinggung)

Ketika D < 0, grafik tidak memotong sumbu X (Tidak memiliki akar real)

 

Catatan Penting tentang Diskriminan:

Diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah Δ atau D = b² − 4ac.

Persamaan kuadrat dengan diskriminan D memiliki sifat-sifat akar sebagai berikut.

(i)  Dua akar riil yang tidak sama ketika D > 0.

(ii) Hanya satu akar riil ketika D = 0.

(iii) Tidak ada akar riil atau dua akar kompleks ketika D < 0.

 

Perhatikan lagi contoh soal di awal tadi.

Kita akan menentukan sifat-sifat akarnya.

1.   x² + 3x - 5 = 0, mempunyai nilai diskriminan D = 29 atau D > 0. Berarti memiliki akar-akar berbeda dan riil.

 

2.   x² - 2x + 6 = 0, mempunyai nilai diskriminan D = -20 atau D < 0. Berarti memiliki akar-akar imajiner.

3.   2x² + 3x - 4 = 0, mempunyai nilai diskriminan D = 44 atau D > 0. Berarti memiliki akar-akar berbeda dan riil

4.   3x² - 7x + 5 = 0, mempunyai nilai diskriminan D = -11 atau D < 0. Berarti memiliki akar-akar imajiner.

 

Bagaimana, sudah jelas bukan belajar tentang nilai Diskriminan?

Demikianlah materi tentang Diskriminan pada persamaan kuadrat.

Semoga bermanfaat.