Probabilitas
Probabilitas mendefinisikan kemungkinan terjadinya
suatu peristiwa. Ada banyak situasi kehidupan nyata di mana kita mungkin harus
memprediksi hasil suatu peristiwa. Kita mungkin yakin atau tidak yakin dengan
hasil suatu peristiwa. Dalam kasus seperti itu, kita mengatakan bahwa ada
kemungkinan peristiwa ini terjadi atau tidak terjadi. Probabilitas umumnya
memiliki aplikasi yang hebat dalam permainan, dalam bisnis untuk membuat
prediksi, dan juga memiliki aplikasi yang luas dalam bidang kecerdasan buatan yang
baru ini.
Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan
rumus probabilitas dengan hanya membagi jumlah hasil yang menguntungkan dengan
jumlah total hasil yang mungkin. Nilai probabilitas terjadinya suatu peristiwa
dapat berada di antara 0 dan 1 karena jumlah hasil yang menguntungkan tidak
akan pernah lebih dari jumlah total hasil. Selain itu, jumlah hasil yang
menguntungkan tidak boleh negatif. Mari kita bahas dasar-dasar probabilitas
secara terperinci di bagian berikut.
Apa itu Probabilitas?
Probabilitas dapat didefinisikan sebagai rasio jumlah
hasil yang menguntungkan dengan jumlah total hasil suatu peristiwa. Untuk
percobaan yang memiliki jumlah hasil 'n', jumlah hasil yang menguntungkan dapat
dilambangkan dengan x. Rumus untuk menghitung probabilitas suatu kejadian
adalah sebagai berikut.
Probabilitas (Kejadian) = Hasil yang
Menguntungkan/Total Hasil = x/n
Probabilitas digunakan untuk memprediksi hasil dari
pelemparan koin, lemparan dadu, atau penarikan kartu dari setumpuk kartu remi.
Probabilitas diklasifikasikan menjadi dua jenis:
1. Probabilitas teoritis
2. Probabilitas eksperimental
Terminologi Teori Probabilitas
Istilah-istilah berikut dalam teori probabilitas
membantu dalam pemahaman yang lebih baik tentang konsep probabilitas.
Eksperimen: Uji coba atau operasi yang dilakukan untuk
menghasilkan suatu hasil disebut eksperimen.
Ruang Sampel: Semua kemungkinan hasil dari suatu eksperimen
bersama-sama membentuk ruang sampel. Misalnya, ruang sampel pelemparan koin
adalah {sisi gambar, sisi angka}.
Hasil yang Menguntungkan: Suatu kejadian yang telah menghasilkan hasil yang
diinginkan atau kejadian yang diharapkan disebut hasil yang menguntungkan.
Misalnya, ketika kita melempar dua dadu, hasil yang mungkin/menguntungkan dari
jumlah angka pada kedua dadu adalah 4 adalah (1,3), (2,2), dan (3,1).
Uji Coba:
Uji coba menunjukkan dilakukannya eksperimen acak.
Eksperimen Acak: Eksperimen yang memiliki serangkaian hasil yang
terdefinisi dengan baik disebut eksperimen acak. Misalnya, ketika kita melempar
koin, kita tahu bahwa kita akan mendapat sisi depan atau belakang, tetapi kita
tidak yakin mana yang akan muncul.
Peristiwa (kejadian): Jumlah total hasil dari eksperimen acak disebut
peristiwa.
Peristiwa dengan Kemungkinan yang Sama: Peristiwa yang
memiliki peluang atau probabilitas yang sama untuk terjadi disebut peristiwa
dengan kemungkinan yang sama. Hasil dari satu peristiwa tidak bergantung pada
peristiwa lainnya. Misalnya, ketika kita melempar koin, ada peluang yang sama
untuk mendapatkan sisi depan atau belakang.
Peristiwa Lengkap: Ketika serangkaian semua hasil dari suatu peristiwa
sama dengan ruang sampel, kita menyebutnya peristiwa lengkap.
Peristiwa yang Saling Eksklusif: Peristiwa yang tidak dapat terjadi secara bersamaan
disebut peristiwa yang saling eksklusif. Misalnya, iklim dapat panas atau
dingin. Kita tidak dapat mengalami cuaca yang sama secara bersamaan.
Probabilitas Suatu Kejadian
Dalam teori probabilitas, suatu peristiwa adalah
sekumpulan hasil dari suatu eksperimen atau himpunan bagian dari ruang sampel.
Jika P(E) mewakili probabilitas suatu peristiwa E, maka, kita memiliki,
P(E) = 0 jika dan hanya jika E adalah peristiwa yang
mustahil.
P(E) = 1 jika dan hanya jika E adalah suatu peristiwa
yang pasti.
0 ≤ P(E) ≤ 1.
Misalkan, kita diberi dua peristiwa, "A" dan
"B", maka probabilitas peristiwa A, P(A) > P(B) jika dan hanya
jika peristiwa "A" lebih mungkin terjadi daripada peristiwa
"B". Ruang sampel (S) adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari
suatu eksperimen dan n(S) mewakili jumlah hasil dalam ruang sampel.
P(E) = n(E)/n(S)
P(E’) = (n(S) - n(E))/n(S) = 1 - (n(E)/n(S))
E’ menyatakan bahwa peristiwa tersebut tidak akan
terjadi.
Oleh karena itu, sekarang kita juga dapat menyimpulkan
bahwa, P(E) + P(E’) = 1
Rumus Probabilitas
Persamaan probabilitas mendefinisikan kemungkinan
terjadinya suatu peristiwa. Ini adalah rasio hasil yang menguntungkan terhadap
total hasil yang menguntungkan. Rumus probabilitas dapat dinyatakan sebagai,
P(A) = Banyak kejadian menguntungkan/total kemungkinan
yang terjadi
atau ditulis
P(A) = n(A)/n(S)
dengan:
P(A) adalah probabilitas suatu peristiwa 'B'.
n(A) adalah jumlah hasil yang menguntungkan dari suatu
peristiwa 'B'.
n(S) adalah jumlah total peristiwa yang terjadi dalam
ruang sampel.
Berbagai Rumus Peluang
Rumus peluang dengan aturan penjumlahan: Bila suatu
kejadian merupakan gabungan dari dua kejadian lain, misalnya A dan B, maka
P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) - P(A∩B)
Rumus probabilitas dengan aturan pelengkap: Setiap
kali suatu kejadian merupakan pelengkap dari kejadian lain, khususnya, jika A
merupakan suatu kejadian, maka P(bukan A) = 1 - P(A) atau P(A') = 1 - P(A).
P(A) + P(A′) = 1.
Rumus probabilitas dengan aturan kondisional (bersyarat):
Ketika kejadian A sudah diketahui telah terjadi, probabilitas kejadian B
dikenal sebagai probabilitas kondisional dan diberikan oleh:
P(B∣A) =
P(A∩B)/P(A)
Rumus probabilitas dengan aturan perkalian: Setiap
kali suatu kejadian merupakan irisan dari dua kejadian lain, yaitu, kejadian A
dan B perlu terjadi secara bersamaan.
P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (dalam kasus kejadian independen)
P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A)
(dalam kasus kejadian dependen)
Menghitung Probabilitas
Dalam sebuah eksperimen, probabilitas suatu kejadian
adalah kemungkinan terjadinya kejadian tersebut. Probabilitas kejadian apa pun
adalah nilai antara (dan termasuk) "0" dan "1". Ikuti
langkah-langkah di bawah ini untuk menghitung probabilitas kejadian A:
Langkah 1: Temukan ruang sampel eksperimen dan hitung
elemennya.
Nyatakan dengan n(S).
Langkah 2: Temukan jumlah hasil yang menguntungkan dan
nyatakan dengan n(A).
Langkah 3: Untuk menemukan probabilitas, bagi n(A)
dengan n(S). Yaitu, P(A) = n(A)/n(S).
Berikut ini beberapa contoh yang menggambarkan dengan
baik proses menemukan probabilitas.
Contoh 1:
Tentukan peluang munculnya angka kurang dari 5 saat
dadu dilempar menggunakan rumus peluang.
Jawaban:
Untuk mencari:
Peluang munculnya angka kurang dari 5
Diberikan: Ruang sampel, S = {1,2,3,4,5,6}
Oleh karena itu, n(S) = 6
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka kurang dari
5.
Maka A = {1,2,3,4}
Jadi, n(A) = 4
Dengan menggunakan persamaan peluang,
P(A) = (n(A))/(n(s))
P(A) = 4/6 = 2/3
Jadi, peluang munculnya angka kurang dari 5 adalah
2/3.
Contoh 2:
Berapa peluang munculnya jumlah 9 saat dua dadu
dilempar?
Jawaban:
Total ada 36 kemungkinan saat kita melempar dua dadu.
Untuk mendapatkan hasil yang diinginkan, yaitu 9, kita dapat memiliki hasil
yang menguntungkan berikut ini.
(4,5),(5,4),(6,3)(3,6). Dengan demikian, terdapat 4
hasil yang menguntungkan.
Peluang suatu kejadian
P(E) = (Jumlah hasil yang menguntungkan) / (Total anggota
ruang sampel)
= 4/36
= 1/9
Jadi, peluang mendapatkan jumlah 9 adalah 1/9.
Diagram Pohon Peluang
Diagram pohon dalam peluang adalah representasi visual yang membantu dalam menemukan kemungkinan hasil atau peluang terjadinya atau tidak terjadinya suatu kejadian. Diagram pohon untuk lemparan koin yang diberikan di bawah ini membantu dalam memahami kemungkinan hasil ketika koin dilempar. Setiap cabang pohon dikaitkan dengan peluang masing-masing (seperti bagaimana 0,5 ditulis pada setiap tanda kurung pada gambar di bawah). Ingat bahwa jumlah probabilitas semua cabang yang dimulai dari titik yang sama selalu 1.
Jenis-jenis Probabilitas
Terdapat berbagai perspektif atau jenis probabilitas
berdasarkan sifat hasil atau pendekatan yang diikuti saat mencari probabilitas
terjadinya suatu peristiwa. Empat jenis probabilitas tersebut antara lain:
1. Probabilitas Klasik
2. Probabilitas Empiris
3. Probabilitas Subjektif
4. Probabilitas Aksiomatik
Probabilitas Klasik
Probabilitas klasik, yang sering disebut sebagai
"priori" atau "probabilitas teoretis", menyatakan bahwa
dalam suatu eksperimen di mana terdapat B hasil yang sama kemungkinannya, dan
peristiwa X memiliki tepat A dari hasil-hasil ini, maka probabilitas X adalah
A/B, atau P(X) = A/B. Misalnya, ketika dadu yang adil dilempar, terdapat enam
kemungkinan hasil yang sama kemungkinannya. Itu berarti, terdapat probabilitas
1/6 untuk melempar setiap angka pada dadu.
Probabilitas Empiris
Probabilitas empiris atau perspektif eksperimental
mengevaluasi probabilitas melalui eksperimen pemikiran. Misalnya, jika dadu
berbobot dilempar, sehingga kita tidak tahu sisi mana yang memiliki bobot, maka
kita bisa mendapatkan gambaran tentang probabilitas setiap hasil dengan
melempar dadu beberapa kali dan menghitung proporsi berapa kali dadu memberikan
hasil tersebut dan dengan demikian menemukan probabilitas hasil tersebut.
Probabilitas Subjektif
Probabilitas subjektif mempertimbangkan keyakinan
individu tentang terjadinya suatu peristiwa. Misalnya, probabilitas tim
tertentu memenangkan pertandingan sepak bola berdasarkan pendapat penggemar
lebih bergantung pada keyakinan dan perasaan mereka sendiri dan bukan pada
perhitungan matematika formal.
Probabilitas Aksiomatik
Dalam probabilitas aksiomatik, serangkaian aturan atau
aksioma oleh Kolmogorov diterapkan pada semua jenis. Peluang terjadinya atau
tidak terjadinya suatu peristiwa dapat diukur dengan penerapan aksioma-aksioma
ini, yang diberikan sebagai,
Peluang terkecil yang mungkin adalah nol, dan peluang
terbesar adalah satu.
Suatu kejadian yang pasti memiliki peluang sama dengan
satu.
Dua kejadian yang saling eksklusif tidak dapat terjadi
secara bersamaan, sedangkan gabungan kejadian menyatakan hanya satu dari
kejadian tersebut yang dapat terjadi.
Peluang Lemparan Koin
Sekarang mari kita lihat peluang melempar koin. Cukup
sering dalam permainan seperti kriket, untuk membuat keputusan siapa yang akan
melempar atau memukul terlebih dahulu, kita terkadang menggunakan lemparan koin
dan memutuskan berdasarkan hasil lemparan. Mari kita periksa bagaimana kita
dapat menggunakan konsep peluang dalam melempar satu koin. Selanjutnya, kita
juga akan melihat lemparan dua dan tiga koin.
Melempar Koin
Satu koin pada lemparan memiliki dua hasil, sisi
gambar, dan sisi angka. Konsep peluang yang merupakan rasio hasil yang
menguntungkan terhadap jumlah total hasil dapat digunakan untuk menemukan
peluang mendapatkan sisi gambar dan peluang mendapatkan sisi angka.
Jumlah total hasil yang mungkin = 2;
Ruang Sampel = {G, A}; G: Sisi Gambar, A: Sisi Angka
P(G) = Jumlah Sisi Gambar /Total hasil = 1/2
P(A) = Jumlah Sisi Angka /Total hasil = 1/2
Melempar Dua Koin
Dalam proses melempar dua koin, kita memiliki total
empat (= 22) hasil. Rumus probabilitas dapat digunakan untuk
menemukan probabilitas dua sisi sisi gambar, satu sisi sisi gambar, tidak ada
sisi sisi gambar, dan probabilitas yang sama dapat dihitung untuk jumlah sisi sisi
angka. Perhitungan probabilitas untuk dua sisi sisi gambar adalah sebagai
berikut.
Total jumlah hasil = 4; Ruang Sampel = {(G, G), (G, A),
(A, G), (A, A)}
P(2G) = P(0A) = Jumlah hasil dengan dua sisi sisi
gambar/Total Hasil = 1/4
P(1G) = P(1A) = Jumlah hasil dengan hanya satu sisi sisi
gambar/Total Hasil = 2/4 = 1/2
P(0G) = (2A) = Jumlah hasil dengan dua sisi sisi
gambar/Total Hasil = 1/4
Melempar Tiga Koin
Jumlah total hasil pada pelemparan tiga koin secara
bersamaan sama dengan 23 = 8. Untuk hasil-hasil ini, kita dapat menemukan
peluang untuk mendapatkan satu sisi sisi gambar, dua sisi sisi gambar, tiga
sisi sisi gambar, dan tidak ada sisi sisi gambar. Peluang yang sama juga dapat
dihitung untuk jumlah sisi sisi angka.
Jumlah total hasil = 23 = 8 Ruang Sampel = {(G, G, G),
(G, G, A), (G, A, G), (A, G, G), (A, A, G), (A, G, A), (G, A, A), (A, A, A)}
P(0G) = P(3A) = Jumlah hasil tanpa sisi gambar/Total
Hasil = 1/8
P(1G) = P(2A) = Jumlah hasil dengan satu sisi gambar/Total
Hasil = 3/8
P(2G) = P(1A) = Jumlah hasil dengan dua sisi gambar/Total
Hasil = 3/8
P(3G) = P(0A) = Jumlah hasil dengan tiga sisi gambar/Total
Hasil = 1/8
Probabilitas Lemparan Dadu
Banyak permainan menggunakan dadu untuk menentukan
langkah pemain di seluruh permainan. Dadu memiliki enam kemungkinan hasil dan
hasil dadu adalah permainan untung-untungan dan dapat diperoleh dengan
menggunakan konsep probabilitas. Beberapa permainan juga menggunakan dua dadu,
dan ada banyak probabilitas yang dapat dihitung untuk hasil menggunakan dua
dadu. Sekarang mari kita periksa hasilnya, probabilitasnya untuk satu dadu dan
dua dadu.
Menggulirkan Satu Dadu
Jumlah total hasil pada penggulingan dadu adalah 6,
dan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Di sini kita akan menghitung
beberapa probabilitas berikut untuk membantu dalam memahami konsep probabilitas
pada penggulingan satu dadu.
P(Bilangan Genap) = Jumlah hasil bilangan genap/Total
Hasil = 3/6 = 1/2
P(Bilangan Ganjil) = Jumlah hasil bilangan
ganjil/Total Hasil = 3/6 = 1/2
P(Bilangan Prima) = Jumlah hasil bilangan prima/Total
Hasil = 3/6 = 1/2
Menggulirkan Dua Dadu
Total jumlah hasil dari pelemparan dua dadu adalah 62
= 36. Gambar berikut menunjukkan ruang sampel dari 36 hasil dari pelemparan dua
dadu.
Ruang Sampel Hasil Dua Dadu membantu dalam menemukan Probabilitas dan memiliki 36 elemen.
Mari kita periksa beberapa probabilitas hasil dari menggulirkan
dua dadu. Probabilitasnya adalah sebagai berikut.
Peluang mendapatkan angka ganda (angka yang sama) =
6/36 = 1/6
Peluang mendapatkan angka 3 pada setidaknya satu dadu
= 11/36
Peluang mendapatkan jumlah 7 = 6/36 = 1/6
Seperti yang kita lihat, ketika kita melempar dadu
tunggal, ada 6 kemungkinan. Ketika kita melempar dua dadu, ada 36 (= 62)
kemungkinan. Ketika kita melempar 3 dadu, kita mendapatkan 216 (= 63)
kemungkinan. Jadi, rumus umum untuk mewakili jumlah hasil pada lemparan dadu
'n' adalah 6n.
Peluang Menarik Kartu
Setumpuk kartu yang berisi 52 kartu dikelompokkan
menjadi empat jenis kartu, yaitu kartu keriting, wajik, hati, dan sekop. Setiap
kartu keriting, wajik, hati, dan sekop masing-masing memiliki 13 kartu, yang
jumlahnya menjadi 52. Sekarang mari kita bahas peluang menarik kartu dari satu
pak. Simbol pada kartu ditunjukkan di bawah ini. Sekop dan kartu keriting
adalah kartu hitam. Hati dan berlian adalah kartu merah.
Ke-13 kartu dalam setiap jenis adalah as, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King. Dalam hal ini, Jack, Queen, dan King disebut
kartu wajah. Kita dapat memahami probabilitas kartu dari contoh-contoh berikut.
Probabilitas untuk menarik kartu hitam adalah P(Kartu
hitam) = 26/52 = 1/2
Probabilitas untuk menarik kartu hati adalah P(Hati) =
13/52 = 1/4
Probabilitas untuk menarik kartu wajah adalah P(Kartu
wajah) = 12/52 = 3/13
Probabilitas untuk menarik kartu bernomor 4 adalah
P(4) = 4/52 = 1/13
Probabilitas untuk menarik kartu merah bernomor 4
adalah P(4 Merah) = 2/52 = 1/26.
Bagaimana, sudah jelas bukan belajar tentang nilai Probabilitas?
Demikianlah materi
tentang Probabilitas.
Semoga bermanfaat.
No comments:
Post a Comment