Hai
sobat I-Math, pada kesempatan ini akan kita bahas cara menentukan rumus barisan
dan suku ke-n pada barisan bertingkat. Barisan bertingkat berbeda dengan
barisan aritmetika maupun barisan geometri. Coba cermati perbedaan antara
barisan aritmetika, barisan geometri, dan barisan bertingkat.
Barisan
aritmetika:
2,
5, 8, 11, 14, 17, 20, . . . memiliki beda = 3
6,
11, 21, 26, 31, 36, 41, . . . memiliki
beda = 5
10,
20, 30, 40, 50, 60, 70, . . . memiliki
beda = 10
Barisan
geometri:
1,
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . . memiliki
rasio = 2
2,
6, 18, 54, 162, 486, 1.458, . . . memiliki
rasio = 3
3,15,
75, 375, 1.875, 9.375, . . . memiliki
rasio = 5
Kalo
dicermati bentuk ketiga barisan tersebut sudah kelihatan bedanya. Pada barisan
bertingkat dapat dipolakan penjumlahan dengan suku sebelumnya yang semakin
bertambah/berkurang secara linear. Kemudian jika dipolakan pada tingkatan
kedua, bentuknya seperti barisan aritmetika.
Jika
dicermati pada rumus suku ke-n, maka diperoleh perbedaan berikut.
Rumus
suku ke-n
Barisan
Aritmetika : Un = a + (n – 1)b, dengan n = 1, 2, 3, 4, . . . .
Barisan
Geometri : Un = arn-1, dengan n = 1, 2, 3, 4, . . . .
Barisan
Bertingkat : Un = an2 + bn + c dengan n = 1, 2, 3, 4, . .
. .
Nah,
pada kesempatan ini akan kita pelajari cara menentukan suku ke-n dan rumus suku
ke-n barisan bertingkat.
Contoh
1
Tentukan
rumus suku ke-n dan suku ke-20 dari barisan bilangan bertingkat berikut.
a.
0, 5, 12, 21, 32, 45, . . . .
b. 6, 7, 10, 15, 22, 31, . . . .
c. 7, 14, 25, 40, 59, 84, . . .
d. 1, 4, 11, 22, 37, 56, . . .
Nah,
untuk membahas atau menjawab soal di atas, perhatikan langkah-langkah berikut.
Perlu
dikatahui bahwa secara umum bentuk rumus suku ke-n barisan bertingkat di atas
adalah bentuk kuadrat yang ditulis Un = an2 + bn + c.
Oleh
karena itu yang akan kita cari adalah menentukan nilai a, b, dan c.
Bagaimana
cara menentukan nilai a, b, dan c?
Perhatikan
cara-cara berikut dengan mencermati skemanya.
Dengan
demikian diperoleh nilai a = 1, b = 2 dan c = -3.
Jadi,
rumus suku ke-n adalah Un = n2 + 2n – 3.
Selanjutnya
menentukan suku ke-20 atau U20. Pada saat ini nilai n diganti 20.
U20
= 202 + 2(20) – 3
= 400 + 40 – 3
= 437
Jadi,
suku ke-20 adalah 437.
Dengan
demikian diperoleh nilai a = 1, b = -2 dan c = 7.
Jadi,
rumus suku ke-n adalah Un = n2 - 2n + 7.
Selanjutnya
menentukan suku ke-20 atau U20. Pada saat ini nilai n diganti 20.
U20
= 202 – 2(20) + 7
= 400 – 40 + 7
= 367
Jadi,
suku ke-20 adalah 367.
Dengan
demikian diperoleh nilai a = 2, b = 1 dan c = 4.
Jadi,
rumus suku ke-n adalah Un = 2n2 + n + 4.
Selanjutnya
menentukan suku ke-20 atau U20. Pada saat ini nilai n diganti 20.
U20
= 2(202) + 20 + 4
= 2(400)
+ 20 + 4
= 800 + 20 + 4
= 824
Jadi,
suku ke-20 adalah 824.
Dengan
demikian diperoleh nilai a = 2, b = -3 dan c = 2.
Jadi,
rumus suku ke-n adalah Un = 2n2 - 3n + 2.
Selanjutnya
menentukan suku ke-20 atau U20. Pada saat ini nilai n diganti 20.
U20
= 2(202) - 3(20) + 2
= 2(400)
– 60 + 2
= 800 - 60 + 2
= 742
Jadi,
suku ke-20 adalah 742.
Demikianlah
sekilas materi tentang cara menentukan rumus dan suku ke-n barisan bertingkat. Semoga bermanfaat.