Cara Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

Pada Kesempatan ini kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak satu variabel. Dalam menyelesaikan persamaan ini lebih mudah menggunakan cara-cara yang berdasarkan defnisi nilai mutlak.

Perlu diingat bahwa persamaan nilai mutlak memiliki berbagai bentuk umum antara lain sebagai berikut.

1.       │f(x)│ = a

2.       │f(x)│ = g(x)

3.       │f(x)│ = │g(x)│

Dari berbagai bentuk persamaan dasar tesebut dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk itu mari mulai belajar cara menyelesaikan persamaan mutlak dari yang mudah dahulu baru melanjutkan ke level berikutnya.

1. Bentuk │f(x)│ = a

Jika kita mempunyai bentuk persamaan │f(x)│ = a maka ada 2 penyelesaian, yaitu:

i)   f(x) = a

ii)  f(x) = -a

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak satu variabel berikut.

1. │2x + 7 │ = 9

2. │4x - 3 │ = 17

3. │18 - 3x │ = 6

4. │x² + x - 7 │ = 13

Jawaban :

1. │2x + 7 │ = 9

Penyelesaian:

i)  2x + 7 = 9 maka 2x  = 9 – 7

                             2x = 2

                               x = 1

ii)  2x + 7 = -9 maka 2x  = -9 – 7

                             2x = -16

                               x = -8

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1 atau x = -8.

2. │4x - 3 │ = 17

i)  4x - 3  = 17 maka 4x  = 17 + 3

                                4x = 20

                                  x = 5

ii)  4x - 3  = -17 maka 4x  = -17 + 3

                                  4x = -14

                                    x = -3,5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5 atau x = -3,5.

3. │18 - 3x │ = 6

i)  18 - 3x  = 6 maka 3x  = 18 – 6

                                3x = 12

                                  x = 4

ii)  18 - 3x  = -6 maka 3x  = 18 + 6

                                  4x = 24

                                    x = 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4 atau x = 6.

4. │x² + x - 13 │ = 7

i)  x² + x - 13 = 7 maka x² + x – 13 – 7 = 0

                                      x² + x – 20  = 0

                                   (x + 5)(x – 4)  = 0

                                  x = -5 atau x = 4

ii)  x² + x - 13 = -7 maka x² + x – 13 + 7 = 0

                                         x² + x - 6  = 0

                                   (x + 3)(x - 2)  = 0

                                  x = -3 atau x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -5, x = -3, x = 2 atau x = 4.

3. Bentuk │f(x)│ = │g(x) │

Jika kita mempunyai bentuk persamaan │f(x)│ = │g(x)│maka ada 2 penyelesaian, yaitu:

i)   f(x) = g(x)

ii)  f(x) = -g(x)

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak satu variabel berikut.

1. │x - 7│ = │4x - 13│

2. │3x + 12│ = │x + 20│

3. │x² + x - 10│ = │x² + 3x - 20│

Jawaban :

1. │ x - 7│ = │4x - 13│

Penyelesaian:

i)  x – 7 = 4x – 13 maka x – 4x  = -13 + 7

                                       -3x = -6

                                          x = 2

ii)  x – 7 = -(4x – 13) maka x – 7 = -4x + 13

                                       x + 4x = 13 + 7

                                            5x = 20

                                              x = 4

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 4.

2. │3x + 12│ = │x + 20│

i)  3x + 12 = x + 20 maka 3x – x  = 20 – 12  

                                           2x = 8

                                             x = 4

ii)  3x + 12 = -( x + 20) maka 3x + 12 = -x - 20

                                             3x + x = -20 - 12

                                                   4x = -32

                                                     x = -8

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -8 atau x = 4.

3. │x² + x - 10│ = │x² + 3x - 20│

Penyelesaian:

i)  x² + x – 10 = x² + 3x – 20 maka  x – 10 = 3x – 20

                                                  x – 3x = -20 + 10

                                                      –2x = -10

                                                         x = 5

ii)  x² + x – 10 = -(x² + 3x – 20) maka  x² + x – 10 = -x² - 3x + 20

                                                  x² + x – 10 + x² + 3x – 20 = 0

                                                                   2x² + 4x – 30 = 0

                                                                     x² + 2x – 15 = 0

                                                                   (x + 3)(x – 2) = 0

                                                                   x = -3 atau x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -3 atau x = 2.

Demikianlah materi cara menentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak satu variabel.

Semoga Bermanfaat.

Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat yang Diketahui Titik Puncak dan Salah Satu Titik Lainnya

Salah satu bentuk persamaan grafik fungsi kuadrat adalah y = ax² + bx + c. Adapun bentuk kurva fungsi kuadrat berupa parabola.

Perhatikan bentuk kurva fungsi kuadrat y = f(x) di bawah ini

Tampak bahwa kurva tersebut mempunyai titik puncak. Kurva membuka ke atas ataupun membuka ke bawah.

Sekarang, bagaimana cara menentukan persamaan kurva fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu titik yang dilaluinya?

Nah, perhatikan rumus cara menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang siketahui titikpuncak dan salah satu titik yang dilaluinya.

Jika kurva fungsi kuadrat memiliki titik puncak (p, q) dan melalui titik (x₁, y₁) maka persamaan umumnya adalah:

     y = a(x – p)² + q

Langkah-langkah menentukan persamaan kurva (grafik)  fungsi kuadrat.

1. Substitusikan nilai p dan q pada titik puncak ke persamaan umum.

2. Menentukan nilai a dengan mensubstitusikan nilai x = x1 dan y = y1 pada persamaan yang diperoleh pada langkah 1.

3. Diperoleh persamaan grafik fungsi kuadrat.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 0) dan memiliki titik puncak (3, 8).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (3, 8) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 3)² + 8

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (1, 0) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

0 = a(1 – 3)² + 8

0 = a × 4 + 8

0 = 4a + 8

4a = -8

  a = -2

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-2)(x – 3)² + 8

y = (-2)(x² – 6x + 9) + 8

y = -2x² + 12x - 18 + 8

y = -2x² + 12x - 10

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = -2x² + 12x - 10.

Contoh 2

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (2, 1) dan memiliki titik puncak (4, 17).

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (4, 17) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 4)² + 17

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (2, 1) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

1 = a(2 – 4)² + 17

1 = a × 4 + 17

1 = 4a + 17

4a = -16

  a = -4

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (-4)(x – 4)² + 17

y = (-4)(x² – 8x + 16) + 17

y = -4x² + 32x - 64 + 17

y = -4x² + 32x - 47

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = -4x² + 32x - 47.

Contoh 3

Tentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (3, -21) dan melalui titik (-2, 4) dan

Jawaban:

Persamaan kurva:

     y = a(x – p)² + q

Substitusikan (3, 21) ke persamaan sehingga menjadi:

y = a(x – 3)² - 21

Untuk menentukan nilai a, substitusikan (-2, 4) sebagai nilai x dan y ke persamaan tersebut.

4 = a(–2 – 3)² – 21

4 = a × 25 – 21

4 = 25a – 21

25a = 25

  a = 1

Dengan demikian diperoleh persamaan:

y = (1)(x – 3)² – 21

y = (x² – 6x + 9) – 21

y = x² – 6x + 9 – 21

y = x² – 6x  – 12

Jadi, persamaan kurva fungsi kuadrat adalah y = x² – 6x  – 12.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan persamaan kurva atau grafik fungsi kuadrat yang diketahui titik puncak dan melalui salah satu titik lainnya.

Semoga Bermanfaat.