Turunan Fungsi Trigonometri_ (Dasar)

 

Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan),  kosekan (cosec), sekan (sec), dan kotangen (cot), dan fungsi trigonometri lainnya.

 

Sebenarnya turunan Trigonometri itu mudah? Asalkan dasarnya dikuasai dahulu. Apa sih turunan fungsi trigonometri itu? Dan gimana sih cara menyelesaikan turunan fungsi trigonometri?

 

Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya.

 

Misalkan turunan f(x) ditulis f’(a) yang artinya tingkat perubahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x, dan tan x.

 

Sebenarnya turunan fungsi dan limit fungsi memiliki keterkaitan konsep. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit.

 

Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut

 

1. Turunan y = sin x adalah y' = cos x

2. Turunan y = cos x adalah y' = -sin x

3. Turunan y = sin ax adalah y' = a cos ax

4. Turunan y = cos ax adalah y' = a sin ax

5. Turunan y = tan x adalah y' = sec² x

6. Turunan y = cotan x adalah y' = -cosec² x

7. Turunan y = tan ax adalah y' = a sec² ax

8. Turunan y = cotan ax adalah y' = -a cosec² ax

9. Turunan y = sec x adalah y' = sec x tan x

10. Turunan y = cosec x adalah y' = -cosec x cotan x

11. Turunan y = sec ax adalah y' = a sec ax tan ax

12. Turunan y = cosec ax adalah y' = -a cosec ax cotan ax

 

Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi:

 

1. Turunan y = sin u adalah y' = cos u × u'

2. Turunan y = cos u dalah y' = -sin u × u'

3. Turunan y = tan u adalah y' = sec² u × u'

4. Turunan y = cotan u adalah = -cosec² u × u'

5. Turunan y = sec u adalah y' = sec u tan u × u'

6. Turunan y = cosec u adalah y' = -cosec u cotan u × u'

 

Jika diperluas lagi bentuknya,maka turunan fungsi trigonometri dapat dirumuskan lagi sebagai berikut.

1. Turunan y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b)

2. Turunan y = cos (ax + b) dalah y' = -a sin (ax + b)

3. Turunan y = tan (ax + b) adalah y' = a sec² (ax + b)

4. Turunan y = cotan (ax + b) adalah = -a cosec² (ax + b)

5. Turunan y = sec (ax + b) adalah y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)

6. Turunan y = cosec (ax + b) adalah y' = -a cosec (ax + b) cotan (ax + b)

 

Agar lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.

1.  y =  sin (4x – 3)

2. y = cos (6x + 1)

3. y = tan (2 – 9x)

4. y = 2 sin (x² – 7x)

5. y = sec (3x² + 5x)

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2)

Jawaban:

1.  y =  sin (4x – 3),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = 4x – 3 ,maka u' = 4

     y'  = cos u × u'

         = cos (4x – 3) × 4

         = 4 cos (4x – 3)

 

2. y = cos (6x + 1),    dapat ditulis y = cos u

     Misal u = 6x + 1 ,maka u' = 6

     y'  = -sin u × u'

         = -sin (6x + 1) × 6

         = -6 sin (6x + 1)

 

3. y = tan (2 – 9x),    dapat ditulis y = tan u

     Misal u = 2 – 9x ,maka u' = -9

     y'  = sec² u × u'

         = sec² (2 – 9x) × (-9)

         = -9 sec² (2 – 9x)

 

4. y = 2 sin (x² – 7x),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = x² – 7x, maka u' = 2x – 7

     y'  = cos u × u'

         = cos (x² – 7x) × (2x – 7)

         = (2x – 7) cos (x² – 7x)

 

5. y = sec (3x² + 5x) dapat ditulis y = sec u

     Misal u = 3x² + 5x, maka u' = 6x + 5

     y'  = y' = sec u tan u × u'

         = sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x) × (6x + 5)

         = (6x + 5) sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x)

 

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2),    dapat ditulis y = cotan u

     Misal u = 4x² – x + 2,maka u' = 8x – 1

     y'  = -cosec² u × u'

         = -cosec² (4x² – x + 2) × (8x – 1)

         = -(8x – 1) cosec² (4x² – x + 2)

 

Demikian sekilas materi tentang turunan fungsi trigonometri.

Semoga Bermanfaat.

 

Cara Menentukan Panjang Lintasan Bola (Deret Geometri Tak Hingga)

 Hai Sahabat Imath, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar Matematika, ya!

 

Raihan menjatuhkan bola tenis dari atas meja setinggi 12 m. Jelas bahwa bola tenis akan memantul sampai akhirnya berhenti. Pantulan bola pertama pasti lebih tinggi dari pantulan kedua, pantulan kedua lebih tinggi dari pantulan ketiga, dan seterusnya.

 

Setelah diamati, ternyata setiap kali bola memantul, tingginya menjadi 3/4 kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Raihan semakin penasaran, kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Apakah kamu ingin membantu Raihan? Bagaimana caranya? Ternyata, Raihan bisa menghitung panjang lintasan bola menggunakan deret geometri tak hingga, lho.

 

Secara umum, deret geometri dibagi menjadi dua jenis, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan divergen.

 

1. Deret geometri tak hingga konvergen

Konvergen artinya memusat atau tidak menyebar. Deret geometri tak hingga yang konvergen berarti deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat deret geometri tak hingga jenis ini adalah rasio berada di antara -1 dan 1, yaitu -1 < r < 1 atau |r| < 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

2. Deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar. Deret geometri tak hingga yang divergen berarti deret geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga yang divergen adalah r < -1 atau r > 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

Untuk melihat cara pembahasannya, lihat video tutorial berikut.

Semoga Bermanfaat.