Turunan Fungsi Trigonometri_ (Dasar)

 

Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan),  kosekan (cosec), sekan (sec), dan kotangen (cot), dan fungsi trigonometri lainnya.

 

Sebenarnya turunan Trigonometri itu mudah? Asalkan dasarnya dikuasai dahulu. Apa sih turunan fungsi trigonometri itu? Dan gimana sih cara menyelesaikan turunan fungsi trigonometri?

 

Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya.

 

Misalkan turunan f(x) ditulis f’(a) yang artinya tingkat perubahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x, dan tan x.

 

Sebenarnya turunan fungsi dan limit fungsi memiliki keterkaitan konsep. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit.

 

Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut

 

1. Turunan y = sin x adalah y' = cos x

2. Turunan y = cos x adalah y' = -sin x

3. Turunan y = sin ax adalah y' = a cos ax

4. Turunan y = cos ax adalah y' = a sin ax

5. Turunan y = tan x adalah y' = sec² x

6. Turunan y = cotan x adalah y' = -cosec² x

7. Turunan y = tan ax adalah y' = a sec² ax

8. Turunan y = cotan ax adalah y' = -a cosec² ax

9. Turunan y = sec x adalah y' = sec x tan x

10. Turunan y = cosec x adalah y' = -cosec x cotan x

11. Turunan y = sec ax adalah y' = a sec ax tan ax

12. Turunan y = cosec ax adalah y' = -a cosec ax cotan ax

 

Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi:

 

1. Turunan y = sin u adalah y' = cos u × u'

2. Turunan y = cos u dalah y' = -sin u × u'

3. Turunan y = tan u adalah y' = sec² u × u'

4. Turunan y = cotan u adalah = -cosec² u × u'

5. Turunan y = sec u adalah y' = sec u tan u × u'

6. Turunan y = cosec u adalah y' = -cosec u cotan u × u'

 

Jika diperluas lagi bentuknya,maka turunan fungsi trigonometri dapat dirumuskan lagi sebagai berikut.

1. Turunan y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b)

2. Turunan y = cos (ax + b) dalah y' = -a sin (ax + b)

3. Turunan y = tan (ax + b) adalah y' = a sec² (ax + b)

4. Turunan y = cotan (ax + b) adalah = -a cosec² (ax + b)

5. Turunan y = sec (ax + b) adalah y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)

6. Turunan y = cosec (ax + b) adalah y' = -a cosec (ax + b) cotan (ax + b)

 

Agar lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.

1.  y =  sin (4x – 3)

2. y = cos (6x + 1)

3. y = tan (2 – 9x)

4. y = 2 sin (x² – 7x)

5. y = sec (3x² + 5x)

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2)

Jawaban:

1.  y =  sin (4x – 3),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = 4x – 3 ,maka u' = 4

     y'  = cos u × u'

         = cos (4x – 3) × 4

         = 4 cos (4x – 3)

 

2. y = cos (6x + 1),    dapat ditulis y = cos u

     Misal u = 6x + 1 ,maka u' = 6

     y'  = -sin u × u'

         = -sin (6x + 1) × 6

         = -6 sin (6x + 1)

 

3. y = tan (2 – 9x),    dapat ditulis y = tan u

     Misal u = 2 – 9x ,maka u' = -9

     y'  = sec² u × u'

         = sec² (2 – 9x) × (-9)

         = -9 sec² (2 – 9x)

 

4. y = 2 sin (x² – 7x),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = x² – 7x, maka u' = 2x – 7

     y'  = cos u × u'

         = cos (x² – 7x) × (2x – 7)

         = (2x – 7) cos (x² – 7x)

 

5. y = sec (3x² + 5x) dapat ditulis y = sec u

     Misal u = 3x² + 5x, maka u' = 6x + 5

     y'  = y' = sec u tan u × u'

         = sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x) × (6x + 5)

         = (6x + 5) sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x)

 

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2),    dapat ditulis y = cotan u

     Misal u = 4x² – x + 2,maka u' = 8x – 1

     y'  = -cosec² u × u'

         = -cosec² (4x² – x + 2) × (8x – 1)

         = -(8x – 1) cosec² (4x² – x + 2)

 

Demikian sekilas materi tentang turunan fungsi trigonometri.

Semoga Bermanfaat.

 

Cara Menentukan Panjang Lintasan Bola (Deret Geometri Tak Hingga)

 Hai Sahabat Imath, bagaimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan tetap semangat belajar Matematika, ya!

 

Raihan menjatuhkan bola tenis dari atas meja setinggi 12 m. Jelas bahwa bola tenis akan memantul sampai akhirnya berhenti. Pantulan bola pertama pasti lebih tinggi dari pantulan kedua, pantulan kedua lebih tinggi dari pantulan ketiga, dan seterusnya.

 

Setelah diamati, ternyata setiap kali bola memantul, tingginya menjadi 3/4 kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Raihan semakin penasaran, kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Apakah kamu ingin membantu Raihan? Bagaimana caranya? Ternyata, Raihan bisa menghitung panjang lintasan bola menggunakan deret geometri tak hingga, lho.

 

Secara umum, deret geometri dibagi menjadi dua jenis, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan divergen.

 

1. Deret geometri tak hingga konvergen

Konvergen artinya memusat atau tidak menyebar. Deret geometri tak hingga yang konvergen berarti deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat deret geometri tak hingga jenis ini adalah rasio berada di antara -1 dan 1, yaitu -1 < r < 1 atau |r| < 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

2. Deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar. Deret geometri tak hingga yang divergen berarti deret geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga yang divergen adalah r < -1 atau r > 1. Untuk jumlah tak hingganya dirumuskan sebagai berikut.

Untuk melihat cara pembahasannya, lihat video tutorial berikut.

Semoga Bermanfaat.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

 Sebuah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya sama dengan 2 (dua) sering disebut dengan persamaan kuadrat. Nilai-nilai yang dapat memenuhi persamaan kuadrat disebut akar – akar persamaan kuadrat.

 

Banyaknya akar-akar persamaan kuadrat ada 2 (dua) atau 1 (satu), tergantung jenis persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat yang memiliki banyak akar-akar persamaan sama dengan 2 (dua) akan menyinggung sumbu x di dua titik. Untuk persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu akar persamaan kuadrat, grafik persamaan kuadrat akan menyinggung sumbu x (memotong sumbu x pada satu titik).

 

Cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat meliputi metode pemfaktoran bentuk aljabar, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc.

Pembahasan dalam persamaan kuadrat, sering mengulas jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini, nantinya dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru dengan nilai akar-akar yang mengalami perubahan nilai.

 

Rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memanfaatkan rumus abc.

Bentuk umum persamaan kuadrat biasanya dinyatakan melalui persamaan ax² + bx + c = 0. Persamaan tersebut memiliki dua akar-akar yang memenuhi persamaan. Melalui bentuk umum persamaan kuadrat, dapat diperoleh nilai akar-akar dalam bentuk umum. Berikut ini adalah nilai x₁ dan x₂ yang memenuhi bentuk umum persamaan kuadrat.

Rumus Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara untuk menentukan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat hampir sama dengan cara mencari jumlah akar-akarnya. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 sebagai berikut.

Agar lebih jelas, perhatikan dua contoh berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak video ini.

Semoga Bermanfaat.

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC

 Rumus ABC merupakan cara yang unggul karena dapat digunakan untuk menemukan akar-akar dari berbagai bentuk persamaan kuadrat walaupun hasilnya tidak sebagai bilangan bulat.

            Rumus abc adalah salah satu rumus yang digunakan digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Berikut merupakan bentuk umum dari rumus ini.

Jika ada persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0, akar-akar persamaan dapat dicari dengan rumus:

Huruf-huruf a, b, dan c dalam rumus abc disebut sebagai koefisien. Koefisien kuadrat x² adalah a, koefisien x adalah b, dan c adalah koefisien konstan, biasanya disebut sebagai konstanta atau suku bebas.

            Persamaan kuadrat pada dasarnya merupakan persamaan matematika yang membentuk geometri lengkung parabola dalam kuadran xy.

 

Nilai koefisien dalam rumus abc mempunyai beberapa arti sebagai berikut:

a)   Menentukan cekung/cembungnya prabola yang dibentuk oleh persamaan kuadrat. Jika nilai a > 0 maka parabola akan terbuka ke atas. Namun, jika a < 0 maka parabola akan terbuka ke bawah.

b)   Menentukan posisi x puncak parabol, atau usmbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepat sumbu simetri adalah -b/2a dari persamaan kuadrat.

c)    Menentukan titik potong fungsi persamaan kuadrat parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat nilai x = 0.

 

            Berikut beberapa contoh soal persamaan kuadrat beserta pembahasannya dengan penyelesaian menggunakan rumus ABC.

 1.  Tentukan akar-akar dari x² + 6x – 3 = 0

     Jawaban:

Pada persamaan x² + 6x – 3 = 0 diperoleh a = 1, b = 6, daan c = -3.

Sehingga:

2.  Tentukan akar-akar dari 2x² – 4x – 1 = 0

     Jawaban:

Pada persamaan 2x² – 4x – 1 = 0 diperoleh a = 2, b = –4, daan c = –1.

Sehingga:

Agar kalian lebih jelas,kalian dapat melihat contoh soal lainnya dengan melihat video berikut.

Semoga Bermanfaat.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Cara Penyelesaiannya

 

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel.

Bentuk sistem persamaan linear tiga variabel seperti berikut.

a₁x + a₂y + a₃z = a₄

b₁x + b₂y + b₃z = b₄

c₁x + c₂y + c₃z = c₄

 

a₁, a₂, a₃, a₄, b₁, b₂, b₃, b₄, c₁, c₂, c₃, c₄ suatu bilangan

x, y, dan z suatu variabel

 

 Sama halnya pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan tiga cara atau metode, yakni metode substitusi, metode eliminasi, dan gabungan metode eliminasi substitusi. Sebetulnya ada cara lain untuk menyelesaikan SPLTV,yakni menggunakan metode Matriks. Untuk cara ini, kalian harus mempelajari matriks terlebih dahulu.

 

Pada artikel ini akan kita pelajari cara menyelesaikan SPLTV dengan cara eliminasi-substitusi. Nah, bagaimana langkah-langkah menyelesaiakannya? Perhatikan contoh soal berikut ini.

 

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem berikut.

2x – 5y + 3z = -10    ...(1)

3x + 4y + 7z = -11    ...(2)

5x + 3y + 7z = -8      ...(3)

 

Jawaban:

Perhatikan bahwa pada sistem tersebut ada suku yang sama yaitu 7z.

maka langkah mudah untuk mengeliminasi adalah variabel z dahulu.

Eliminasi z pada persamaan (1) dan (2)

2x – 5y + 3z = -10      ×7    14x – 35y + 21z = -70

3x + 4y + 7z = -11      ×3      9x + 12y + 21z = -33   -

                                                        5x - 47y = -37   ...(4)       

 

Selanjutnya, eliminasi z pada persamaan (2) dan (3)

3x + 4y + 7z = -11

5x + 3y + 7z = -8   -

         -2x + y = -3    ... (5)

 

Langkah selanjutnya, eliminasi x pada persamaan (4) dan (5)

5x - 47y = -37    ×2     10x - 94y = -74

-2x + y = -3        ×5     -10x + 5y = -15  +

                                            -89y = -89

                                                  y = 1

 

Substitusikan y = 1 ke persamaan (5).

-2x + y = -3   Þ -2x + 1 = -3

                               -2x  = -4

                                  x  = 2

 

 

Substitusikan y = 1, x = 2, ke persamaan (1).

2x – 5y + 3z = -10

2(2) – 5(1) + 3z = -10

         4 – 5 + 3z = -10

               3z – 1 = -10

                     3z = -9

                       z = -3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1,2, -3}.

 

Untuk lebih jelasnya, Anda bisa melihat langkah-langkah di video di bawah ini.

 

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Cara Eiminasi-Substitusi

 Definisi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel atau dalam matematika biasa disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear (PLDV), yang masing-masing bervariabel dua, misalnya variabel x dan variabel y.

 Ciri-Ciri SPLDV:

Ciri-ciri bentuk SPLDV sebagai berikut.

1. Sudah jelas terdiri atas 2 variabel.

2. Kedua variabel pada SPLDV hanya memiliki derajat satu atau berpangkat satu.

3. Menggunakan relasi tanda sama dengan (=).

4. Tidak terdapat perkalian variabel dalam setiap persamaannya.

 SPLDV sangat bermanfaat dalam menyelesaikan kejadian di kehidupan kita. Seperti menghitung keuntungan atau laba, mencari harga dasar atau harga pokok suatu barang, dan membandingkan harga barang.

 

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Terdapat beberapa cara atau metode dalam menyelesaikan soal persamaan linear dua variabel. Metode tersebut adalah substitusi (mengganti  nilai variabel) dan eliminasi (menghilangkan salah satu variabel).

 Agar lebih jelas langkah-langkah penyelesaian dengan cara eliminsi-substitusi, pahami kedua metode ini lewat contoh soal SPLDV di bawah ini.

Selesaikan sistem persamaan (SPLDV) berikut.

x + 3y = 11     ...(1)

3x + 2y = 19   ...(2)

 

Jawaban:

Eliminasi y

(1) × 2    maka 2x + 6y = 22

(2) × 3    maka 9x + 6y = 57  -

                                -7x  = -35

                                    x = 5

Substitusikan x = 5 ke persamaan (1) atau (2).

Misalkan disubstitusikan ke persamaan (1)

Maka:

x + 3y = 11

5 + 3y = 11

      3y = 11 – 5

      3y = 6

        y = 2

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan x + 3y = 11  dan  3x + 2y = 19 adalah x = 5 dan y = 2. 

 

 Semoga Bermanfaat.

Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak Satu Variabel Bentuk  ax2 + bx + c  =  px2 + qx + r 

 Dalam materi ini akan dibahas cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak satu variabel yang berbentuk | ax² + bx + c | = | px² + qx + r |.

Jika kita mempunyai persamaan | f(x) | = | g(x)|, maka mempunyai penyelesaian sebagai berikut.

(i)   f(x) = g(x)

(ii)  f(x) = g(x)

Jadi akan diperoleh penyelesaian dari gabungan kedua persamaan tersebut. Untuk lebih  jelasnya perhatikan persamaan nilai mutlak berikut.

 

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi | x² + x + 1 | = |x² + 2x – 21|.

Jawaban:

Persamaan di atas mempunyai penyelesaian sebagai berikut

(i)  x² + x + 1  = x² + 2x – 21

(ii) x² + x + 1  = -(x² + 2x – 21)

Mari kita bahas satu per satu

(i)  x² + x + 1  = x² + 2x – 21

             x + 1  = 2x – 21        (kurangi kedua ruas dengan x²)

            x – 2x = –21 – 1

                 –x = –22

                   x = 22

 

(ii) x² + x + 1  = – (x² + 2x – 21)

     x² + x + 1  = –x² – 2x + 21

     x² + x² + x + 2x + 1 - 21  = 0

                      2x² + 3x – 20  = 0

                     (2x – 5)(x + 4) = 0

           2x – 5 = 0 atau x + 4 = 0

                2x = 5 atau x = –4

                x = 5/2

 

Jadi, penyelesaian dari | x² + x + 1 | = |x² + 2x – 21| adalah x = -4, 5/2 atau 22.

 

Contoh 2

Tentukan nilai x yang memenuhi |x² + 5x – 3 | = |x² + 3x – 7|.

Jawaban:

Persamaan di atas mempunyai penyelesaian sebagai berikut

(i)  x² + 5x – 3   = x² + 3x – 7

(ii) x² + 5x – 3  = –(x² + 3x – 7)

Mari kita bahas satu per satu

(i)  x² + 5x – 3   = x² + 3x – 7

             5x – 3  = 3x – 7        (kurangi kedua ruas dengan x²)

            5x – 3x = –7 + 3

                    2x = –4

                      x = –2

 

(ii) x² + 5x – 3  = –(x² + 3x – 7)

     x² + 5x – 3  = –x² – 3x + 7

     x² + x² + 5x + 3x – 3 – 7 = 0

                      2x² + 8x – 10  = 0

                          x² + 4x – 5  = 0   (kedua ruas dibagi 2)

                     (x + 1)(x – 5) = 0

           x + 1 = 0 atau x – 5 = 0

                x = –1 atau x = 5

 

Jadi, penyelesaian dari |x² + 5x – 3 | = |x² + 3x – 7| adalah x = –2, –1 atau 5.

 

Agar kalian lebih jelas, lihat video berikut.

Semoga Bermanfaat.

Menyelesaikan Persamaan Logaritma Bentuk alog f(x) + alog g(x) = p

 Kali ini akan dibahas materi tentang cara menyelesaikan persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) + ^alog g(x) = p.

Misalnya bentuk ini:

⁶log (x + 4) + ⁶log (x - 1) = 2

³log (2x – 3) – ³log (x + 1) = 2

⁵log (8x + 16) – ⁵log (3x - 1) = 1

 

Dalam menyelesaikan persamaan logaritma ini menggunakan  rumus dasar logaritma. Rumus yang  digunakan adalah ^alog b + ^alog c = ^alog bc  dan ^alog b - ^alog c = ^alog b/c. Nah, bagaimana menggunakan rumus-rumus tersebut untuk menyelesaikan persamaan logaritma?

Perhatikan contoh berikut.

1.  ⁶log (x + 4) + ⁶log (x - 1) = 2

 Syarat numerus harus positif maka:

  x + 4 > 0 atau x > -4   ...(1)

  x - 1 > 0 atau x > 1      ... (2)

 

⁶log (x + 4) + ⁶log (x - 1) = ⁶log 6²

              ⁶log [(x + 4)(x - 1)] = ⁶log 36

                            (x + 4)(x - 1) = 36

                                x² + 3x - 4 = 36

                             x² + 3x - 40 = 0

                           (x + 5)(x - 3) = 0

                 x = -5  atau x = 3

Diantara nilai x yang memenuhi syarat (1) dan (2) adalah x = 3.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ⁶log (x + 4) + ⁶log (x - 1) = 2 adalah x = 3.

 

 

2.   ⁵log (8x + 16) – ⁵log (3x - 1) = 1

Syarat numerus harus positif maka:

  8x + 16  > 0 atau x > -2     ...(1)

  3x - 1 > 0 atau x > 1/3      ... (2)

                                        8x + 16 = 5(3x – 1)

                                           8x + 16 = 15x – 5

                                         8x – 15x = – 5 – 16

                                                    -7x = -21

                                                       x = 3

Diantara nilai x = 3 memenuhi syarat (1) dan (2).

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan ⁵log (8x + 16) – ⁵log (3x - 1) = 1 adalah x = 3.

Kalian bisa melihat video berikut tentang pembahasan soal Persamaan Logaritma.

Semoga Bermanfaat.