Sistem persamaan linier
dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang
memiliki penyelesaian yang saling berkaitan. Sistem apa pun yang dapat ditulis
dalam bentuk.
ax+by = p
cx+dy = q
dimana salah satu
konstanta dapat bernilai nol dengan pengecualian bahwa setiap persamaan harus
memiliki paling sedikit satu variabel di dalamnya.
Selain itu, sistem disebut
linier jika variabel-variabelnya hanya pangkat satu, hanya ada pada
pembilangnya, dan tidak ada hasil kali variabel-variabel pada persamaan mana
pun.
Berikut adalah contoh
sistem dengan bilangan.
3x – y = 7
2x + 3y = 1
Sebelum kita membahas cara
menyelesaikan sistem persamaan, pertama-tama kita harus membahas apa yang
dimaksud penyelesaian sistem persamaan. Penyelesaian sistem persamaan adalah
nilai variabel (misal x dan y), jika disubstitusikan ke dalam persamaan, akan
memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.
Untuk contoh di atas x = 2
dan y = −1 merupakan penyelesaian sistem. Ini cukup mudah untuk diperiksa.
3(2) − (−1) = 7
2(2) + 3(−1) = 1
Jadi, benar saja pasangan
bilangan tersebut merupakan solusi dari sistem tersebut. Jangan khawatir
tentang bagaimana kita mendapatkan nilai-nilai ini. Ini akan menjadi sistem
pertama yang kita pecahkan ketika kita membahas contohnya.
Perhatikan bahwa pasangan
angka harus memenuhi kedua persamaan. Misalnya, x = 1 dan y = −4 akan memenuhi
persamaan pertama, tetapi tidak memenuhi persamaan kedua sehingga bukan
merupakan solusi untuk sistem tersebut. Demikian pula, x = −1 dan y = 1 akan
memenuhi persamaan kedua tetapi tidak memenuhi persamaan pertama sehingga tidak
dapat menjadi solusi sistem.
Sekarang, apa yang
diwakili oleh solusi sistem dua persamaan? Nah, kalau dipikir-pikir kedua
persamaan dalam sistem itu adalah garis. Jadi, mari kita buat grafiknya dan
lihat apa yang kita dapatkan.
Seperti yang Anda lihat,
penyelesaian sistem adalah koordinat titik perpotongan kedua garis. Jadi,
ketika menyelesaikan sistem linier dengan dua variabel, kita sebenarnya
menanyakan di mana kedua garis tersebut akan berpotongan.
Kita akan melihat dua
metode untuk menyelesaikan sistem di bagian ini.
1. Metode Substitusi
Cara yang pertama disebut
dengan metode substitusi. Dalam metode ini kita akan menyelesaikan salah satu
persamaan untuk salah satu variabel dan mensubstitusikannya ke persamaan
lainnya. Ini akan menghasilkan satu persamaan dengan satu variabel yang bisa kita
selesaikan. Setelah masalah ini terselesaikan, kita substitusikan kembali nilai
ini ke dalam salah satu persamaan untuk mencari nilai variabel yang tersisa.
Mari kita kerjakan ini contoh untuk melihat cara kerja metode ini.
Tentukan penyelesaian dari
sistem x + y = 11 dan 2x – y = 7
Penyelesaian:
x + y = 11, maka y = 11 –
x ... (1)
Substitusikan (1) ke
persamaan 2x – y = 7
2x – (11 – x) = 7
2x – 11 + x = 7
3x – 11 = 7
3x = 7 + 11
3x = 18
x = 6
Selanjutnya, substitusikan
x = 6 ke persamaan (1)
y = 11 – 6
y = 5
Jadi, penyelesaiannya
adalah x = 6 dan y = 5.
Seperti halnya persamaan
tunggal, kita selalu dapat kembali dan memeriksa solusi ini dengan
memasukkannya ke dalam kedua persamaan dan memastikan bahwa solusi tersebut
memenuhi kedua persamaan. Perhatikan juga bahwa kita benar-benar perlu
memasukkan kedua persamaan tersebut. Sangat mungkin bahwa suatu kesalahan dapat
menghasilkan sepasang bilangan yang memenuhi salah satu persamaan, namun tidak
memenuhi persamaan lainnya.
1. Metode Eliminasi
Sekarang mari beralih ke
metode berikutnya untuk menyelesaikan sistem persamaan.
Cara yang kedua ini
disebut dengan metode eliminasi. Dalam metode ini kita mengalikan salah satu
atau kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai (yaitu mengalikan setiap suku
dalam persamaan dengan bilangan) sehingga salah satu variabel mempunyai
koefisien yang sama dan tandanya berlawanan. Kemudian langkah selanjutnya
adalah menjumlahkan kedua persamaan tersebut. Karena salah satu variabel
mempunyai koefisien yang sama dan tandanya berlawanan maka akan dihilangkan
jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan. Hasilnya akan berupa persamaan
tunggal yang dapat kita selesaikan untuk salah satu variabelnya. Setelah ini
selesai, gantikan jawaban ini kembali ke salah satu persamaan awal.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan penyelesaian dari
sistem x + 2y = 14 dan 2x – y = 3.
Penyelesaian:
Cara eliminasi
x + 2y = 14 (x1) x + 2y
= 14
2x – y = 3 (x2) 4x – 2y = 6 +
5x = 20,
maka x = 4
x + 2y = 14 (x2) 2x + 4y = 28
2x – y = 3 (x1) 2x –
y = 3 -
5y = 25,
maka y = 5
Jadi, penyelesaiannya
adalah x = 4 dan y = 5.
Demikian sekilas materi
sistem persamaan linear dua variabel, semoga bermanfaat.
(Tim)
