Cara Mudah Menyelesaikan Soal SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) terdiri dari tiga persamaan linear, masing-masing memiliki persamaan dengan tiga variabel berpangkat satu. Agar bisa mengerjakan soalnya, tentunya Anda perlu memahami konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

 

Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam Matematika adalah kumpulan beberapa persamaan linear tiga variabel yang saling terkait. Artinya penyelesaian dari pengganti variabelnya memiliki keterkaitan dengan persamaan yang lainnya.

Misal bentuk persamaan linear tiga variabel seperti di bawah ini.

ax + by + cz = d

Keterangan:

Dalam konsep di atas terlihat bahwa x,y dan z merupakan variabel

a dikatakan sebagai koefisien variabel x

b dikatakan sebagai koefisien variabel y

c dikatakan sebagai variabel z

d dikatakan sebagai konstanta 

Penting diingat catatannya a, b dan c merupakan bilangan real, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0

 

Dalam materi Matematika kelas 10 sebelumnya, Anda sudah belajar mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Persamaan ini terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing memiliki dua variabel. Sementara itu, sesuai namanya, SPLTV memiliki tiga variabel, misalnya x, y dan z. Agar lebih mudah memahami antara Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan dua variabel (SPLDV), sebaiknya ketahui contoh soal dan cara penyelesaiannya terlebih dahulu. Menyelesaikan contoh soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, tidak cukup memahami rumusnya saja. Penting mengetahui bentuk dan cara menyelesaikan persamaannya yaitu dengan mencari nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan pertama, kedua dan ketiga. Untuk menyelesaikan soal SPLTV bisa menggunakan metode berikut: Eliminasi, Substitusi, atau Eliminasi-subsitusi.

 

Untuk lebih jelasnya simak cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

1.  Selesaikan sistem persamaan berikut.

Jawaban:

Langkah pertama mari kita tulis beberapa persamaan pada soal untuk kita beri label persamaan.

x - 2y + 3z = 9     .... (1)

-x + 3y - z = -6      ....(2)

2x - 5y + 5z = 17 .... (3)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, mari kita buat menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Caranya mengeliminasi salah satu variabel.

Misalkan pada langkah ini kita akan mengeliminasi variabel x, sehingga nanti akan diperoleh dua persamaan yang memuat variabel y dan z.

Kita ambil persamaan (1) dan (2)

x - 2y + 3z = 9     

-x + 3y - z = -6  +    

      y + 2z = 3   ... (4)

 

Selanjutnya, kita ambil persamaan (1) dan (3)

x - 2y + 3z = 9          (dikali 2)   2x - 4y + 6z = 18

2x - 5y + 5z = 17      (dikali 1)   2x - 5y + 5z = 17 -

                                                      y + z = 1   ... (5)

 

Langkah selanjutnya gunakan persamaan (4) dan (5) untuk menentukan nilai y dan z.

Kita akan menggunakan cara eliminasi-substitusi.

Eliminasi y:

y + 2z = 3  

  y + z = 1_-    

       z = 2

Kemudian substitusikan z = 2 ke persamaan (5) untuk mendapatkan nilai y.

y + z = 1

y + 2 = 1

     y = -1

 

Langkah selanjutnya substitusikan nilai y = -1 dan z = 2 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai x.

x - 2y + 3z = 9

x - 2(-1) + 3(2) = 9

         x + 2 + 6 = 9

               x + 8 = 9

                     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, -1, 2)}.

 

2.  Selesaikan sistem persamaan berikut.

Jawaban:

Langkah pertama mari kita tulis beberapa persamaan pada soal untuk kita beri label persamaan.

x + y + z = 2           .... (1)

6x - 4y + 5z = 31      ....(2)

5x + 2y + 2z = 13    .... (3)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas, mari kita buat menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Caranya mengeliminasi salah satu variabel.

Misalkan pada langkah ini kita akan mengeliminasi variabel y, sehingga nanti akan diperoleh dua persamaan yang memuat variabel x dan z.

Kita ambil persamaan (1) dan (2)

x + y + z = 2          (dikali 4)       4x + 4y + 4z = 8

6x - 4y + 5z = 31    (dikali 1)       6x - 4y + 5z = 31 +

                                                      10x + 9z = 39   ... (4)

 

Selanjutnya, kita ambil persamaan (1) dan (3)

x + y + z = 2             (dikali 2)   2x + 2y + 2z = 4

5x + 2y + 2z = 13      (dikali 1)   5x + 2y + 2z = 13 -

                                                      -3x = -9

                                                         x = 3 

Kemudian substitusikan x = 3 ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

10x + 9z = 39

10(3) + 9z = 39

    30 + 9z = 39

            9z = 39 - 30

            9z = 9

              z = 1

    

Langkah terakhir substitusikan nilai x = 3 dan z = 1 ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai y.

x + y + z = 2

3 + y + 1 = 2

        y + 4 = 2

             y  = 2 - 4

              y = -2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, -2, 1)}.

 

Demikianlah beberapa soal tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Semoga bermanfaat.