Dalam kesempatan ini akan kami berikan beberapa contoh soal dan pembahasan tentang hubungan nilai diskriminan dan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Nilai diskriminan pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dirumuskan dengan D = b2 - 4ac.
Berikut sifat-sifat atau jenis-jenis akar
persamaan kuadrat jika dilihat dari nilai diskriminannya (nilai D).
1. Jika
D > 0 atau b2 - 4ac > 0 maka akar-akarnya adalah real dan
berbeda.
2. Jika
D = 0 atau b2 - 4ac = 0 maka akar-akarnya adalah real dan kembar (sama).
3. Jika
D < 0 atau b2 - 4ac < 0 maka akar-akarnya adalah tidak real (imaginer).
Mari kita bahas beberapa soal tentang nilai diskriminan dan jenis akar persamaan kuadrat yang sering keluar dalam ujian sekolah dan ujian nasional.
Contoh 1
Persamaan kuadrat x2 + (m + 2)x + 4 =
0 memiliki akar-akar real yang berlainan. Tentukan nilai m.
Pembahasan
x2 + (m + 2)x + 4 = 0
Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b =
(m + 2), c = 4.
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar
real berlainan adalah nilai D > 0.
D > 0
b2
– 4ac > 0
(m + 2)2 – 4(1)(4) > 0
m² + 4m + 4 – 16 > 0
m² +
4m – 12 > 0
(m +
6)(m – 2) > 0
m <
–6 atau m > 2
Jadi, batasan m agar persamaan kuadrat x2
+ (m + 2)x + 4 = 0 memiliki akar real
berlainan adalah m < –6 atau m > 2.
Contoh 2
Persamaan kuadrat x2 + (p – 3)x + 9 =
0 memiliki akar-akar real kembar. Tentukan nilai p.
Pembahasan
x2 + (p – 3)x + 9 = 0
Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b =
(p – 3), c = 9.
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar
real kembar adalah nilai D = 0.
D = 0
b2
– 4ac = 0
(p – 3)2 – 4(1)(9) = 0
p² – 6p + 9 – 36 = 0
p² –
6p – 27 = 0
(p + 3)(p
– 9) = 0
p = –3
atau p = 9
Jadi, nilai p agar persamaan kuadrat x2
+ (p – 3)x + 9 = 0 memiliki akar kembar
adalah p = –3 atau p = 9.
Contoh 3
Persamaan kuadrat kx2 + (2k + 1)x + (k
– 1) = 0 memiliki akar-akar real kembar. Tentukan nilai k.
Pembahasan
kx2 + (2k + 1)x + (k – 1) = 0
Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = k, b =
(2k + 1), c = (k – 1) .
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar
real kembar adalah nilai D = 0.
D = 0
b2
– 4ac = 0
(2k + 1)2
– 4(k)(k – 1) = 0
4k² + 4k + 1 – 4k² + 4k = 0
4k² – 4k² + 4k + 4k + 1 = 0
8k + 1 = 0
8k = –1
k = –1/8
Jadi, nilai k agar persamaan kuadrat kx2
+ (2k + 1)x + (k – 1) = 0 memiliki akar
real kembar adalah k = –1/8.
Contoh 4
Tentukan nilai p pada persamaan kuadrat x2
– 6x + (p + 2) = 0 agar memiliki akar-akar tidak nyata (Imajiner).
Pembahasan
x2 – 6x + (p + 2) = 0
Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 1, b =
– 6, c = p + 2.
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar tidak
nyata (tidak real) adalah nilai D < 0.
D < 0
b2
– 4ac < 0
(– 6)2 – 4(1)(p + 2) < 0
36 – 4p – 8 < 0
28 – 4p < 0
28 < 4p
7 < p
p > 7
Jadi, batasan p agar persamaan kuadrat x2
– 6x + (p + 2) = 0 memiliki akar tidak
real adalah p > 7.
Contoh 5
Tentukan batas-batas nilai k pada persamaan
kuadrat 2x2 – 2(k – 4)x + k = 0 agar memiliki akar-akar tidak nyata
(Imajiner).
Pembahasan
2x2 – 2(k – 4)x + k = 0
Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = 2, b =
– 2(k – 4) = -2k + 8, c = k.
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar tidak
nyata (tidak real) adalah nilai D < 0.
D < 0
b2
– 4ac < 0
(-2k + 8)2 – 4(2)(k) < 0
4k2 – 32k + 64 – 8k < 0
4k2
– 40k + 64 < 0
k2
– 10k + 16 < 0
(k
- 2)(k - 8) < 0
2 < k < 8
Jadi, batas-batas nilai k agar persamaan kuadrat 2x2
– 2(k – 4)x + k = 0 memiliki akar tidak
real adalah 2 < k < 8.
Contoh 6
Persamaan kuadrat (p + 2)x2 - (2p - 1)x
+ p - 1 = 0 memiliki akar-akar real yang berlainan. Tentukan batas-batas nilai p.
Pembahasan
(p + 2)x2 – (2p – 1)x + p – 1 = 0
Koefisien persamaan kuadrat ini adalah a = p + 2,
b = – (2p – 1) = 1 – 2p, c = p – 1.
Syarat persamaan kuadrat memiliki akar - akar
real berlainan adalah nilai D > 0.
D > 0
b2
– 4ac > 0
(1 – 2p)2 – 4(p + 2)(p – 1) > 0
1 – 4p + 4p2 – 4(p2 + p – 2)
> 0
1 – 4p + 4p2 – 4p2 – 4p + 8
> 0
9 – 8p > 0
–8p > –9
8p < 9
p
< 9/8
Jadi, batas-batas nilai p agar persamaan kuadrat (p
+ 2)x2 – (2p – 1)x + p – 1 = 0 memiliki akar real berlainan adalah p < 9/8.
Demikianlah
beberapa soal tentang hubungan antara nilai diskriminan dengan akar-akar persamaan
kuadrat. Semoga bermanfaat.
No comments:
Post a Comment