Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Dalam kesempatan ini akan kita bahas cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat. Dalam menyelesaikan persamaan ini sebagai dasar penyelesaian adalah identitas trigonometri.

Contoh bentuk persamaan trigonometri bentuk kuadrat sebagai berikut.

1.   2 sin² x + sin x = 0

2.   2 sin² x + 3sin x + 1 = 0

3.   2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0

4.   12 sin² x + cos x – 6 = 0

Persamaan-persamaan trigonometri di atas dapat diselesaikan denga cara yang mudah. Tentunya dengan cara yang sesuai dengan konsep yang benar pula.

Sebagai dasar dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda sebelumnya juga harus menguasai persamaan kuadrat. Terutama cara menentukan akar-akar persamaan tersebut.

Nah, bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri di atas?

Langsung saja simak pembahasan di bawah ini.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + sin x = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 sin² x + sin x = 0

sin x (2sin x + 1) = 0

sin x = 0  atau    2sin x + 1 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) sin x = 0, diperoleh sin x = sin 0, sin 360^o

     Dengan demikian diperoleh x = 0, 360^o

(ii) 2sin x + 1 = 0

          2sin x  = -1

            sin x  = -1/2

            sin x  = sin 120^o, sin 240^o

     Dengan demikian diperoleh x =  120^o, 240^o

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 0, 120^o, 240^o, 360^o

Contoh 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + 3sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 sin² x + 3sin x + 1 = 0   Ingat bentuk identik dengan 2p² + 3p + 1

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 2p² + 3p + 1 = (2p + 1)(p + 1)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(2sin x + 1)(sin x + 1) = 0

2sin x + 1 = 0  atau    sin x + 1 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) sin x + 1 = 0

         sin x  = -1

          sin x = sin 270^o

     Dengan demikian diperoleh x = 270^o

(ii) 2sin x + 1 = 0

          2sin x  = -1

            sin x  = -1/2

            sin x  = sin 120^o, sin 240^o

     Dengan demikian diperoleh x =  120^o, 240^o

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + 3sin x + 1 = 0   adalah x = 120^o, 240^o, 270^o .

Contoh 3

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0   Ingat bentuk identik dengan 2p² + 7p – 4 = 0

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 2p² + 7p – 4 = (2p - 1)(p + 4)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(2cos x - 1)(cos x + 4) = 0

2cos x – 1 = 0  atau    cos x + 4 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) 2cos x – 1 = 0

          2cos x  = 1

            cos x  = 1/2

             cos x = cos 60^o, cos 300^o

     Dengan demikian diperoleh x = 60^o, 300^o

(ii) cos x + 4 = 0

          cos x  = -4

      Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0 adalah x = 60^o, 300^o.

Contoh 4

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 12 sin² x + cos x – 6 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

Sebelum menyelesaikan, ingat dahulu identitas trigonometri: sin ²x + cos ²x = 1.

Maka: sin ²x = 1 – cos ²x

12 sin² x + cos x – 6 = 0

12 (1 – cos ²x) + cos x – 6 = 0

  12 – 12cos ²x + cos x – 6 = 0

       -12cos ²x + cos x + 6 = 0

        12cos ²x -  cos x - 6 = 0

12cos ²x -  cos x - 6 = 0   Ingat bentuk identik dengan 12p² - p – 6 = 0

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 12p² - p – 6 = (3p + 2)(4p - 3)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(3cos x + 2)(4cos x - 3) = 0

3cos x + 2 = 0  atau    4cos x – 3 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) 3cos x + 2 = 0

          3cos x  = -2

            cos x  = -2/3

             cos x = cos 131,81^o, cos 228,19^o

     Dengan demikian diperoleh x = 131,81^o  ; 228,19^o

(ii) 4cos x – 3 = 0

          4cos x  = 3

            cos x  = 3/4

             cos x = cos 41,4^o, cos 318,6^o

     Dengan demikian diperoleh x = 41,4^o ; 318,6^o

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 12cos ²x -  cos x - 6 = 0 adalah x = 41,4^o ; 131,81^o  ; 228,19^o ; 318,6^o .

Demikianlah sekilas materi tentang cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat.

Semoga bermanfaat.