Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

 

Sistem persamaan linier dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang memiliki penyelesaian yang saling berkaitan. Sistem apa pun yang dapat ditulis dalam bentuk.

ax+by = p

cx+dy = q

dimana salah satu konstanta dapat bernilai nol dengan pengecualian bahwa setiap persamaan harus memiliki paling sedikit satu variabel di dalamnya.

 

Selain itu, sistem disebut linier jika variabel-variabelnya hanya pangkat satu, hanya ada pada pembilangnya, dan tidak ada hasil kali variabel-variabel pada persamaan mana pun.

 

Berikut adalah contoh sistem dengan bilangan.

3x – y = 7

2x + 3y = 1

 

Sebelum kita membahas cara menyelesaikan sistem persamaan, pertama-tama kita harus membahas apa yang dimaksud penyelesaian sistem persamaan. Penyelesaian sistem persamaan adalah nilai variabel (misal x dan y), jika disubstitusikan ke dalam persamaan, akan memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.

 

Untuk contoh di atas x = 2 dan y = −1 merupakan penyelesaian sistem. Ini cukup mudah untuk diperiksa.

3(2) − (−1) = 7

2(2) + 3(−1) = 1

Jadi, benar saja pasangan bilangan tersebut merupakan solusi dari sistem tersebut. Jangan khawatir tentang bagaimana kita mendapatkan nilai-nilai ini. Ini akan menjadi sistem pertama yang kita pecahkan ketika kita membahas contohnya.

 

 

Perhatikan bahwa pasangan angka harus memenuhi kedua persamaan. Misalnya, x = 1 dan y = −4 akan memenuhi persamaan pertama, tetapi tidak memenuhi persamaan kedua sehingga bukan merupakan solusi untuk sistem tersebut. Demikian pula, x = −1 dan y = 1 akan memenuhi persamaan kedua tetapi tidak memenuhi persamaan pertama sehingga tidak dapat menjadi solusi sistem.

 

Sekarang, apa yang diwakili oleh solusi sistem dua persamaan? Nah, kalau dipikir-pikir kedua persamaan dalam sistem itu adalah garis. Jadi, mari kita buat grafiknya dan lihat apa yang kita dapatkan.

 

Seperti yang Anda lihat, penyelesaian sistem adalah koordinat titik perpotongan kedua garis. Jadi, ketika menyelesaikan sistem linier dengan dua variabel, kita sebenarnya menanyakan di mana kedua garis tersebut akan berpotongan.

 

Kita akan melihat dua metode untuk menyelesaikan sistem di bagian ini.

 

1.  Metode Substitusi

Cara yang pertama disebut dengan metode substitusi. Dalam metode ini kita akan menyelesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel dan mensubstitusikannya ke persamaan lainnya. Ini akan menghasilkan satu persamaan dengan satu variabel yang bisa kita selesaikan. Setelah masalah ini terselesaikan, kita substitusikan kembali nilai ini ke dalam salah satu persamaan untuk mencari nilai variabel yang tersisa.

 

Mari kita kerjakan ini contoh untuk melihat cara kerja metode ini.

 

Tentukan penyelesaian dari sistem x + y = 11 dan 2x – y = 7

Penyelesaian:

x + y = 11, maka y = 11 – x ... (1)

Substitusikan (1) ke persamaan 2x – y = 7

2x – (11 – x) = 7

2x – 11 + x = 7

     3x – 11 = 7

            3x = 7 + 11

            3x = 18

              x = 6

Selanjutnya, substitusikan x = 6 ke persamaan (1)

y = 11 – 6

y = 5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6 dan y = 5.

 

 

Seperti halnya persamaan tunggal, kita selalu dapat kembali dan memeriksa solusi ini dengan memasukkannya ke dalam kedua persamaan dan memastikan bahwa solusi tersebut memenuhi kedua persamaan. Perhatikan juga bahwa kita benar-benar perlu memasukkan kedua persamaan tersebut. Sangat mungkin bahwa suatu kesalahan dapat menghasilkan sepasang bilangan yang memenuhi salah satu persamaan, namun tidak memenuhi persamaan lainnya.

 

1.  Metode Eliminasi

Sekarang mari beralih ke metode berikutnya untuk menyelesaikan sistem persamaan.

Cara yang kedua ini disebut dengan metode eliminasi. Dalam metode ini kita mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai (yaitu mengalikan setiap suku dalam persamaan dengan bilangan) sehingga salah satu variabel mempunyai koefisien yang sama dan tandanya berlawanan. Kemudian langkah selanjutnya adalah menjumlahkan kedua persamaan tersebut. Karena salah satu variabel mempunyai koefisien yang sama dan tandanya berlawanan maka akan dihilangkan jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan. Hasilnya akan berupa persamaan tunggal yang dapat kita selesaikan untuk salah satu variabelnya. Setelah ini selesai, gantikan jawaban ini kembali ke salah satu persamaan awal.

 

Perhatikan contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari sistem x + 2y = 14 dan 2x – y = 3.

Penyelesaian:

Cara eliminasi

x + 2y = 14   (x1)    x + 2y = 14   

2x – y = 3     (x2)  4x – 2y = 6   + 

                                   5x = 20, maka x = 4

 

 x + 2y = 14  (x2)    2x + 4y = 28   

2x – y = 3     (x1)    2x – y = 3   - 

                                   5y = 25, maka y = 5

      

 

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4 dan y = 5.

 

Demikian sekilas materi sistem persamaan linear dua variabel, semoga bermanfaat.

(Tim)