Turunan Fungsi Trigonometri_ (Dasar)

 

Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan),  kosekan (cosec), sekan (sec), dan kotangen (cot), dan fungsi trigonometri lainnya.

 

Sebenarnya turunan Trigonometri itu mudah? Asalkan dasarnya dikuasai dahulu. Apa sih turunan fungsi trigonometri itu? Dan gimana sih cara menyelesaikan turunan fungsi trigonometri?

 

Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya.

 

Misalkan turunan f(x) ditulis f’(a) yang artinya tingkat perubahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x, dan tan x.

 

Sebenarnya turunan fungsi dan limit fungsi memiliki keterkaitan konsep. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit.

 

Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut

 

1. Turunan y = sin x adalah y' = cos x

2. Turunan y = cos x adalah y' = -sin x

3. Turunan y = sin ax adalah y' = a cos ax

4. Turunan y = cos ax adalah y' = a sin ax

5. Turunan y = tan x adalah y' = sec² x

6. Turunan y = cotan x adalah y' = -cosec² x

7. Turunan y = tan ax adalah y' = a sec² ax

8. Turunan y = cotan ax adalah y' = -a cosec² ax

9. Turunan y = sec x adalah y' = sec x tan x

10. Turunan y = cosec x adalah y' = -cosec x cotan x

11. Turunan y = sec ax adalah y' = a sec ax tan ax

12. Turunan y = cosec ax adalah y' = -a cosec ax cotan ax

 

Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi:

 

1. Turunan y = sin u adalah y' = cos u × u'

2. Turunan y = cos u dalah y' = -sin u × u'

3. Turunan y = tan u adalah y' = sec² u × u'

4. Turunan y = cotan u adalah = -cosec² u × u'

5. Turunan y = sec u adalah y' = sec u tan u × u'

6. Turunan y = cosec u adalah y' = -cosec u cotan u × u'

 

Jika diperluas lagi bentuknya,maka turunan fungsi trigonometri dapat dirumuskan lagi sebagai berikut.

1. Turunan y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b)

2. Turunan y = cos (ax + b) dalah y' = -a sin (ax + b)

3. Turunan y = tan (ax + b) adalah y' = a sec² (ax + b)

4. Turunan y = cotan (ax + b) adalah = -a cosec² (ax + b)

5. Turunan y = sec (ax + b) adalah y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)

6. Turunan y = cosec (ax + b) adalah y' = -a cosec (ax + b) cotan (ax + b)

 

Agar lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.

1.  y =  sin (4x – 3)

2. y = cos (6x + 1)

3. y = tan (2 – 9x)

4. y = 2 sin (x² – 7x)

5. y = sec (3x² + 5x)

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2)

Jawaban:

1.  y =  sin (4x – 3),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = 4x – 3 ,maka u' = 4

     y'  = cos u × u'

         = cos (4x – 3) × 4

         = 4 cos (4x – 3)

 

2. y = cos (6x + 1),    dapat ditulis y = cos u

     Misal u = 6x + 1 ,maka u' = 6

     y'  = -sin u × u'

         = -sin (6x + 1) × 6

         = -6 sin (6x + 1)

 

3. y = tan (2 – 9x),    dapat ditulis y = tan u

     Misal u = 2 – 9x ,maka u' = -9

     y'  = sec² u × u'

         = sec² (2 – 9x) × (-9)

         = -9 sec² (2 – 9x)

 

4. y = 2 sin (x² – 7x),     dapat ditulis y = sin u

     Misal u = x² – 7x, maka u' = 2x – 7

     y'  = cos u × u'

         = cos (x² – 7x) × (2x – 7)

         = (2x – 7) cos (x² – 7x)

 

5. y = sec (3x² + 5x) dapat ditulis y = sec u

     Misal u = 3x² + 5x, maka u' = 6x + 5

     y'  = y' = sec u tan u × u'

         = sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x) × (6x + 5)

         = (6x + 5) sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x)

 

6. y = 3 cotan (4x² – x + 2),    dapat ditulis y = cotan u

     Misal u = 4x² – x + 2,maka u' = 8x – 1

     y'  = -cosec² u × u'

         = -cosec² (4x² – x + 2) × (8x – 1)

         = -(8x – 1) cosec² (4x² – x + 2)

 

Demikian sekilas materi tentang turunan fungsi trigonometri.

Semoga Bermanfaat.