Fungsi, Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers (1)

A. Fungsi

Fungsi, atau disebut juga pemetaan, merupakan sebuah relasi yang khusus. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A, dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan dengan anggota himpunan B. Jadi, fungi sudah pasti sebuah relasi, tetapi relasi belum tentu sebuah fungsi.

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B, maka fungsi f dapat dinotasikan sebagai berikut:
 

 

Jika x anggota himpunan A dan y anggota himpunan B, serta fungsi f  memetakan x ke y, maka y merupakan peta/bayangan dari x. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut daerah asal atau domain (D_f), himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain (K_f), sedangkan himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil atau range (R_f).

Jenis-jenis fungsi dan macam-macam fungsi sebenarnya ada banyak, misalkan fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi genap dan fungsi ganjil, fungsi modulus, fungsi eksponen, fungsi logaritma, maupun fungsi tangga. Namun pada kesempatan ini kita tidak membahas jenis-jenis fungsi tersebut. Di sini akan fokus membahas pada fungsi komposisi dan fungsi invers.

B. Fungsi Komposisi

Aljabar Fungsi
Sebelum membahas komposisi fungsi, mari mengulang lagi tentang sifat-sifat fungsi aljabar.
Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi aljabar yang terdefinisi, maka berlaku sifat-sifat fungsi aljabar berikut.
1. (f + g)(x) =  f(x) + g(x)
2. (f - g)(x) =  f(x) - g(x)
3. (f . g)(x) =  f(x) . g(x)
4. (f /g)(x) =  f(x) / g(x) , g(x) tidak sama dengan 0 
5. fⁿ(x) = [f(x)]ⁿ

Contoh 1
Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = x² - 2, dan h(x) = 4x.
Tentukan 
a. (f +g)(x)
b. (f - g)(x)
c. f.g(x), dan 
d. (f/g)(x).

Jawaban:
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
                   = (2x + 1)  +  (x² - 2)
                   = x² + 2x - 1
b.  (f - g)(x) = f(x) - g(x)
                   = (2x + 1)  -  (x² - 2)
                   = -x² + 2x + 3
c.  f.g(x) = f(x) . g(x)
              = (2x + 1) (x² - 2)
              = 2x³ - 4x + x² - 2
              = 2x³ + x² - 4x - 2
d.   f/g(x) = f(x)/g(x)
                = (2x + 1)/(x² - 2)



Komposisi Fungsi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C  disebut fungsi komposisi. 

Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan h(x) = g o f (x) (dibaca: g bundaran f)

Secara grafik, komposisi fungsi di atas digambarkan seperti berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 2

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) = 2x + 1.

Tentukan:

    a.      (f o g)(x)

    b.      (g o f)(x)

    c.      (f o g)(2)

    d.      (g o f)(6)

Jawaban:

  a. (f o g)(x) = f (g(x))                     = 3 g(x) - 5
                     = 3(2x + 1) - 5
                     = 6x + 3 - 5
                     = 6x - 2

b. (g o f)(x) = g (f(x))
                    = 2 f(x) + 1
                    = 2(3x - 5) + 1
                    = 6x - 10 + 1
                    = 6x - 9

c. (f o g)(x) = 6x - 2
    (f o g)(2) = 6 x 2 - 2
                    = 12 - 2
                    = 10

d. (g o f)(x) = 6x -9
    (g o f)(6) = 6 x 6 - 9
                    = 36 - 9
                    = 27     

Contoh 3
Diketahui f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x² + 2x - 1
Tentukan:
  a.      (f o g)(x)

    b.      (g o f)(x)

    c.      (f o g)(2)

    d.      (g o f)(-3)

Jawaban:
 a.      (f o g)(x) = f ((gx))
                         = 3 g(x) + 2
                         = 3 (x² + 2x - 1) + 2
                         = 3x² + 6x - 3 + 2
                         = 3x² + 6x - 1

 b.      (g o f)(x) = g(f(x))
                         = (f(x))² + 2(f(x)) - 1
                         = (3x + 2)² + 2(3x + 2) - 1
                         =  9x² + 14x + 4 + 6x + 4 - 1
                         =  9x² + 20x + 7

 c.      (f o g)(2) = 3. 2² + 6.2 - 1
                          = 12 + 12 - 1
                          = 23

 d.      (g o f)(-3) =  9(-3)² + 20(-3) + 7
                           = 81 - 60 + 7
                           = 28

Sekarang bagaimana jika menentukan fungsi yang di depan atau di belakang dari komposisi fungsi yang diketahui dan salah satu fungsi pembentuknya juga diketahui?
Misalkan f o g(x) diketahui dan f(x) diketahui, bagaimana menentukan g(x)?
atau
Misalkan f o g(x) diketahui dan g(x) diketahui, bagaimana menentukan f(x)?

Mari kita bahas dengan beberapa contoh berikut. 

Contoh 4
Diketahui (f o g)(x) = 6x + 7 dan f(x) = 2x + 3. Tentukan fungsi g(x).

Jawaban:
Caranya, substitusikan g(x)  ke dalam f(x) sehingga diperoleh bentuk berikut.
(f o g)(x) = 6x + 7 atau ditulis:
f(g(x)) = 6x + 7
2.g(x) + 3 = 6x + 7
      2.g(x) = 6x + 7 - 3
      2.g(x) = 6x + 4
         g(x) = (6x + 4) /2
         g(x) = 3x + 2 
Jadi, fungsi g(x) = 3x + 2


Contoh 5
Diketahui (f o g)(x) = 3x + 2 dan g(x) = x + 5. Tentukan fungsi f(x).

Jawaban:
Caranya, dengan memisalkan t = g(x), sehingga di tulis:
t = x + 5, kemudian nyatakan x dalam t menjadi x = t - 5.
Dengan demikian diperoleh bentuk baru seperti berikut.
f (g(x)) = 3x + 2
substitusikan (gantilah) g(x) dengan t dan gantilah x dengan t - 5.
f(t) = 3(t - 5) + 2
     = 3t - 15 + 2
     = 3t - 13
Kembalikan lagi ke fungsi dalam x yaitu f(x) .
f(x) = 3x - 13
 Jadi, fungsi f(x) = 3x - 13


Contoh 6
Diketahui (f o g)(x) = 6x² + 2x - 1 dan f(x) = 2x + 1. Tentukan fungsi g(x).

Jawaban:
Caranya, substitusikan g(x)  ke dalam f(x) sehingga diperoleh bentuk berikut.
(f o g)(x) = 6x² + 2x - 1 atau ditulis:

f(g(x)) = 6x² + 2x - 1.
2.g(x) + 1 = 6x² + 2x - 1
      2.g(x) = 6x² + 2x - 1 - 1
      2.g(x) = 6x² + 2x - 2
         g(x) = (6x² + 2x - 2) /2
         g(x) = 3x² + x - 1
Jadi, fungsi g(x) = 3x² + x - 1


Contoh 7
Diketahui (f o g)(x) = 6x² + 2x + 5 dan g(x) = x + 3. Tentukan fungsi f(x).

Jawaban:
Caranya, dengan memisalkan t = g(x) terlebih dahulu.
Sehingga diperoleh bentuk: t = x + 3 atau dengan membalik bentuk dalam t diperoleh x = t - 3.
Selanjutnya gantilah permasalahan di atas dalam variabel t.

(f o g)(x) = 6x² + 2x + 5
f(g(x)) = 6x² + 2x + 5.
f(t) = 6(t - 3)² + 2(t - 3) + 5
f(t) = 6(t² - 6t + 9) + 2(t - 3) + 5
f(t) = 6t² - 36t + 54 + 2t - 6 + 5

f(t) = 6t² - 36t + 2t + 54 - 6 + 5
f(t) = 6t² - 34t + 53 
Sehingga dengan mengganti t  menjadi x, diperoleh:
f(x) = 6x² - 34x + 53


Jadi, fungsi f(x) = 6x² - 34x + 53.

Itulah sekilas pengetahuan  tentang fungsi dan fungsi komposisi.


Mari kita lanjutkan dengan fungsi invers dan invers fungsi