Logaritma, Operasi Hitung Logaritma dan Persamaan Logaritma

Konsep Logaritma

Logaritma merupakan bentuk kebalikan dari pangkat. Jika 3² = 9 maka ³log 9 = 2. Jika bentuk 2⁵ = 32 maka ²log 32 = 5. Dari contoh diatas kitadapat mengetahui hal-hal berikut.

Jika 3ⁿ = 9 maka nilai n = 2 dan Jika 2^m = 32 maka nilai m = 5.

Nah, bagaimana jika terdapat bentuk seperti ini.

Jika 5^m = 12, tentukan nilai m

Jika 3ⁿ = 10, tentukan nilai n.

Ternyata tidak ada bilangan bulat pengganti m dan n pada permasalahan di atas bukan?

Untuk menyelesaikannya, maka digunakan konsep logaritma.

Dari kedua soal di atas, maka diperoleh nilai m dan n sebagai berikut.

Jika 5^m = 12, maka nilai m = ⁵log 12

Jika 3ⁿ = 10, maka nilai n = ³log 10

Dengan permasalahan inilah maka muncul materi tentang logaritma.

  a^c = b maka  ^alog b = c

Bentuk umum logarima  adalah adengan ^alog b disebut dengan basis (a > 0 dan b tidak sama dengan 0), dengan a disebut bilangan pokok, b disebut dengan numerus, dan c disebut dengan hasil logaritma. Khusus untuk logaritma dengan basis 10, basisnya tidak dituliskan, cukup dengan menggunakan log.

Contoh:

¹⁰log 25 cukup ditulis log 25

¹⁰log 120 cukup ditulis log 120

Sifat-Sifat Logaritma

     Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, berlaku:

^plog a = n maka pⁿ = a

dengan a > 0, p > 0, dan p ¹ 1

Sifat-sifat logaritma

1.  ^alog b = log b / log a

2.  ^alog a = 1

3.  ^plog a · ^alog q = ^plog q

5.  ^plog  (ab) = ^plog  a + ^plog  b        

6.  ^plog  (a/b) = ^plog  a – ^plog  b

7.  ^alog aⁿ = n                       

8.  ^plog a 1 = 0

9.  ^plog aⁿ = n · ^plog a

10.  ^pnlog a^m = m/n · ^plog a

11. ^plog a = ^pnlog  aⁿ

12.  p ^{plog a} = a          

Selanjutnya mari melakukan operasi hitung tantang logaritma berikut ini.

Contoh 1

Tentukan hasil dari:

a.  ²log 16

b.  ³log 81

c.   ⁵log 625

d.  ²log 0,125

e.  ⁵log 0,0016

Jawaban:

a.  ²log 16 = ²log 2⁴ = 4 ²log 2 = 4

b.  ³log 81 = ³log 3⁴ = 4 ³log 3 = 4

c.   ⁵log 625 = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3

d.  ²log 0,125 = ²log (1/8) =  ²log 2^-3 = -3 ²log 2 = -3

e.  ⁵log 0,0016 = ⁵log (1/625) = ⁵log 5⁴ = 4 ⁵log 5 = 4

Contoh 2

Tentukan hasil dari:

a.  ²log 20 – ²log 5

b.  ³log 12 + ³log 45 – ³log 20    

c.   ⁵log 30 + ⁵log 75 –  ⁵log 18  

d.  ²log 3 . ³log 60 + ²log 24 – ²log 15 

e.  ⁵log 75 + ⁵log 4. ⁴log 20 – ⁵log 12 

Jawaban:

a.  ²log 20 – ²log 5 = ²log (20/5)

                   = ²log 4 = ²log 2² = 2 . ²log 2 = 2

b.  ³log 12 + ³log 45 – ³log 20 = ³log (12 x 45 / 20)

                                    = ³log 27 = ³log 3³ = 3 ³log 3 = 3

c.   ⁵log 30 + ⁵log 75 –  ⁵log 18 = ⁵log (30 x 75 / 18)

                                     = ⁵log 125 = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3    

d.  ²log 3 . ³log 60 + ²log 24 – ²log 15 

    = ²log 60 + ²log 24 – ²log 45

    = ²log (60 x 24 / 45)

    = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5 ²log 2 = 5

e.  ⁵log 75 + ⁵log 4. ⁴log 20 – ⁵log 12

   = ⁵log 75 + ⁵log 20 – ⁵log 12

   = ⁵log (75 x 20 / 12)

   = ⁵log 125

   = ⁵log 5³ = 3 ⁵log 5 = 3

Contoh 3

Diketahui ²log 3 = a, ²log 5 = b, ²log 7 = c. Tentukan hasil dari:

a.  ²log 30

b.  ²log 70

c.   ³log 18

d.  ³log 120

e.  ⁵log 180

Jawaban:

Dari keterangan di atas diperoleh nilai yang lain sebagai berikut.

²log 3 = a, maka ³log 2 = 1/a

²log 5 = b, maka ⁵log 2 = 1/b

²log 7 = c, maka ⁷log 2 = 1/c

³log 5 = b/a

⁵log 7 = c/b

³log 7 = c/a

a.  ²log 30 = ²log (2 x 3 x 5)

                 = ²log 2 + ²log 3 + ²log 5

                 = 1 + a + b

b.  ²log 70 = ²log (2 x 5 x 7)

                  = ²log 2 + ²log 5 + ²log 7

                  = 1 + b + c

c.   ³log 18 = ³log (2 x 3 x 3)

                  = ³log 2 + ³log 3 + ³log 3

                 = 1/a  + 1 + 1

                 = 2 + 1/a

d.  ³log 120 = ³log (2³ x 3 x 5)

                  = ³log 2³ + ³log 3 + ³log 5

                  = 3 ³log 2 + 1 + (²log 5 / ²log 3)

                  = 3 1/a + 1 + b/a

                  = 3/a + 1 + b/a

                  = 1/a (3 + a + b)

e.  ⁵log 180 = ⁵log ( 2² x 3² x 5)

                    = ⁵log 2² + ⁵log 3² + ⁵log 5

                   = 2 ⁵log 2 + 2 ⁵log 3 + ⁵log 5

                   = 2 . 1/b + 2 . a/b + 1

                   = 2/b + 2a/b + 1

Persamaan Logaritma

Jika kita mempunyai fungsi f(x) sedemikian hingga dalam logaritma mempunyai numerus suatu fungsi f(x) maka persamaan logaritma dapat dituliskan sebagai berikut.

  ^alog f(x) = c

dengan a > 0 dan f(x) > 0

Beberapa sifat logaritma yang digunakanuntuk menyelesaikan persamaan logaritma.

1.    Jika ^alog f(x) = ^alog c, maka f(x) = c

2.    Jika ^alog f(x) = ^alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x)>0 dan g(x)>0

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.

a.  ²log (2x + 3) = ²log 9

b.  ³log (x² + 3x - 2) = ³log 8

c.   ²log (5x - 2) = 4

d.  ³log (x² + x - 3) = 2

Jawaban:

a.  ²log (2x + 3) = ²log 9

              2x + 3 = 9

                    2x = 9 – 3

                   2x = 6

                    x = 3

b.  ³log (x² + 3x – 2) = ³log 8

               x² + 3x – 2 = 8

            x² + 3x – 10 = 0

          (x – 2)(x + 5) = 0

            x = 2 atau x = -5

c.   ²log (5x – 2) = 4

²log (5x – 4) = ²log 4²

²log (5x – 4) = ²log 16

         5x – 4 = 16

               5x = 16 + 4

               5x = 20

                 x = 20/5 = 4

d.  ³log (x² + x – 3) = 2

    ³log (x² + x – 3) = ³log 3^{2 
    3}log (x² + x – 3) = ³log 9

               x² + x – 3 = 9

            x² + x – 12 = 0

         (x + 4)(x – 3) = 0

       x = –4 atau x = 3

Contoh 5

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.

a.  ²log (2x + 3) = ²log (x + 5)

b.  ³log (x² – 3x - 2) = ³log (2x – 4)

c.   ⁵log (2x² + 6x - 5) = ⁵log (x² + x + 1)

Jawaban:

a.  ²log (2x + 3) = ²log (x + 5)

   2x + 3 = x + 5

   2x – x = 5 – 3

         x  = 2

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = 2 pada kedua fungsi.

f(x) = 2x + 3, maka f(2) = 2(2) + 3 = 7 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x + 5, maka g(2) = 2 + 5 = 7 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

b.  ³log (x² – 3x + 2) = ³log (2x + 8)

             x² – 3x + 2 = 2x + 8

             x² – 5x – 6 = 0

         (x + 1)(x – 6) = 0

         x = -1 atau x = 6

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -1 dan x = 6 pada kedua fungsi.

Untuk x = -1

f(x) = x² – 3x + 2, maka f(-1) = (-1)² – 3(-1) + 2 = 6 > 0 (terpenuhi)

g(x) = 2x + 8, maka g(-1) = 2(-1) + 8 = 6 > 0 (terpenuhi)

Untuk x = 6

f(x) = x² – 3x + 2, maka f(6) = (6)² – 3(6) + 2 = 20 > 0 (terpenuhi)

g(x) = 2x + 8, maka g(6) = 2(6) + 8 = 20 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -1 atau x = 6.

c.   ⁵log (2x² + 6x - 5) = ⁵log (x² + x + 1)

              2x² + 6x - 5 = x² + x + 1

               x² + 5x - 6 = 0

           (x + 6)(x - 1) = 0

           x = -6 atau x = 1

Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -6 atau x = 1 pada kedua fungsi.

Untuk x = -6

f(x) = 2x² + 6x - 5, maka f(-6) = 2(-6)² + 6(-6) – 5 = 31 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x² + x + 1, maka g(-6) = (-6)² + (-6) + 1 = 31 > 0 (terpenuhi)

Untuk x = 1

f(x) = 2x² + 6x - 5, maka f(1) = 2(1)² + 6(1) – 5 = 3 > 0 (terpenuhi)

g(x) = x² + x + 1, maka g(1) = 1² + 1 + 1 = 3 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6 atau x = 1.

Demikianlah sedikit penjelasan tentang logaritma dan penyelesaian persamaan logaritma.

Semoga bermanfaat.