25 March

Logaritma, Operasi Hitung Logaritma dan Persamaan Logaritma



Konsep Logaritma
Logaritma merupakan bentuk kebalikan dari pangkat. Jika 32 = 9 maka 3log 9 = 2. Jika bentuk 25 = 32 maka 2log 32 = 5. Dari contoh diatas kitadapat mengetahui hal-hal berikut.
Jika 3n = 9 maka nilai n = 2 dan Jika 2m = 32 maka nilai m = 5.
Nah, bagaimana jika terdapat bentuk seperti ini.
Jika 5m = 12, tentukan nilai m
Jika 3n = 10, tentukan nilai n.

Ternyata tidak ada bilangan bulat pengganti m dan n pada permasalahan di atas bukan?
Untuk menyelesaikannya, maka digunakan konsep logaritma.
Dari kedua soal di atas, maka diperoleh nilai m dan n sebagai berikut.
Jika 5m = 12, maka nilai m = 5log 12
Jika 3n = 10, maka nilai n = 3log 10

Dengan permasalahan inilah maka muncul materi tentang logaritma.

  ac = b maka  alog b = c

Bentuk umum logarima  adalah adengan alog b disebut dengan basis (a > 0 dan b tidak sama dengan 0), dengan a disebut bilangan pokok, b disebut dengan numerus, dan c disebut dengan hasil logaritma. Khusus untuk logaritma dengan basis 10, basisnya tidak dituliskan, cukup dengan menggunakan log.
Contoh:
10log 25 cukup ditulis log 25
10log 120 cukup ditulis log 120

Sifat-Sifat Logaritma
     Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, berlaku:
plog a = n maka pn = a
dengan a > 0, p > 0, dan p ¹ 1
Sifat-sifat logaritma
1.  alog b = log b / log a
2.  alog a = 1
3.  plog a · alog q = plog q
5.  plog  (ab) = plog  a + plog  b        
6.  plog  (a/b) = plog  a – plog  b
7.  alog an = n                       
8.  plog a 1 = 0
9.  plog an = n · plog a
10.  pnlog am = m/n · plog a
11. plog a = pnlog  an
12.  p plog a = a          

Selanjutnya mari melakukan operasi hitung tantang logaritma berikut ini.

Contoh 1
Tentukan hasil dari:
a.  2log 16
b.  3log 81
c.   5log 625
d.  2log 0,125
e.  5log 0,0016

Jawaban:

a.  2log 16 = 2log 24 = 4 2log 2 = 4
b.  3log 81 = 3log 34 = 4 3log 3 = 4
c.   5log 625 = 5log 53 = 3 5log 5 = 3
d.  2log 0,125 = 2log (1/8) =  2log 2-3 = -3 2log 2 = -3
e.  5log 0,0016 = 5log (1/625) = 5log 54 = 4 5log 5 = 4


Contoh 2
Tentukan hasil dari:
a.  2log 20 – 2log 5
b.  3log 12 + 3log 45 – 3log 20    
c.   5log 30 + 5log 75 –  5log 18  
d.  2log 3 . 3log 60 + 2log 24 – 2log 15 
e.  5log 75 + 5log 4. 4log 20 – 5log 12 

Jawaban:

a.  2log 20 – 2log 5 = 2log (20/5)
                   = 2log 4 = 2log 22 = 2 . 2log 2 = 2
b.  3log 12 + 3log 45 – 3log 20 = 3log (12 x 45 / 20)
                                    = 3log 27 = 3log 33 = 3 3log 3 = 3
c.   5log 30 + 5log 75 –  5log 18 = 5log (30 x 75 / 18)
                                     = 5log 125 = 5log 53 = 3 5log 5 = 3    
d.  2log 3 . 3log 60 + 2log 24 – 2log 15 
    = 2log 60 + 2log 24 – 2log 45
    = 2log (60 x 24 / 45)
    = 2log 32 = 2log 25 = 5 2log 2 = 5
e.  5log 75 + 5log 4. 4log 20 – 5log 12
   = 5log 75 + 5log 20 – 5log 12
   = 5log (75 x 20 / 12)
   = 5log 125
   = 5log 53 = 3 5log 5 = 3

Contoh 3
Diketahui 2log 3 = a, 2log 5 = b, 2log 7 = c. Tentukan hasil dari:
a.  2log 30
b.  2log 70
c.   3log 18
d.  3log 120
e.  5log 180


Jawaban:
Dari keterangan di atas diperoleh nilai yang lain sebagai berikut.
2log 3 = a, maka 3log 2 = 1/a
2log 5 = b, maka 5log 2 = 1/b
2log 7 = c, maka 7log 2 = 1/c
3log 5 = b/a
5log 7 = c/b
3log 7 = c/a

a.  2log 30 = 2log (2 x 3 x 5)
                 = 2log 2 + 2log 3 + 2log 5
                 = 1 + a + b
b.  2log 70 = 2log (2 x 5 x 7)
                  = 2log 2 + 2log 5 + 2log 7
                  = 1 + b + c
c.   3log 18 = 3log (2 x 3 x 3)
                  = 3log 2 + 3log 3 + 3log 3
                 = 1/a  + 1 + 1
                 = 2 + 1/a
d.  3log 120 = 3log (23 x 3 x 5)
                  = 3log 23 + 3log 3 + 3log 5
                  = 3 3log 2 + 1 + (2log 5 / 2log 3)
                  = 3 1/a + 1 + b/a
                  = 3/a + 1 + b/a
                  = 1/a (3 + a + b)

e.  5log 180 = 5log ( 22 x 32 x 5)
                    = 5log 22 + 5log 32 + 5log 5
                   = 2 5log 2 + 2 5log 3 + 5log 5
                   = 2 . 1/b + 2 . a/b + 1
                   = 2/b + 2a/b + 1



Persamaan Logaritma
Jika kita mempunyai fungsi f(x) sedemikian hingga dalam logaritma mempunyai numerus suatu fungsi f(x) maka persamaan logaritma dapat dituliskan sebagai berikut.
  alog f(x) = c
dengan a > 0 dan f(x) > 0

Beberapa sifat logaritma yang digunakanuntuk menyelesaikan persamaan logaritma.
1.    Jika alog f(x) = alog c, maka f(x) = c
2.    Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan f(x)>0 dan g(x)>0

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 4
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
a.  2log (2x + 3) = 2log 9
b.  3log (x2 + 3x - 2) = 3log 8
c.   2log (5x - 2) = 4
d.  3log (x2 + x - 3) = 2

Jawaban:
a.  2log (2x + 3) = 2log 9
              2x + 3 = 9
                    2x = 9 – 3
                   2x = 6
                    x = 3

b.  3log (x2 + 3x – 2) = 3log 8
               x2 + 3x – 2 = 8
            x2 + 3x – 10 = 0
          (x – 2)(x + 5) = 0
            x = 2 atau x = -5

c.   2log (5x – 2) = 4
2log (5x – 4) = 2log 42
2log (5x – 4) = 2log 16
         5x – 4 = 16
               5x = 16 + 4
               5x = 20
                 x = 20/5 = 4

d.  3log (x2 + x – 3) = 2
    3log (x2 + x – 3) = 3log 32 
    3log (x2 + x – 3) = 3log 9
               x2 + x – 3 = 9
            x2 + x – 12 = 0
         (x + 4)(x – 3) = 0
       x = –4 atau x = 3


Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut.
a.  2log (2x + 3) = 2log (x + 5)
b.  3log (x2 – 3x - 2) = 3log (2x – 4)
c.   5log (2x2 + 6x - 5) = 5log (x2 + x + 1)

Jawaban:

a.  2log (2x + 3) = 2log (x + 5)
   2x + 3 = x + 5
   2x – x = 5 – 3
         x  = 2
Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = 2 pada kedua fungsi.
f(x) = 2x + 3, maka f(2) = 2(2) + 3 = 7 > 0 (terpenuhi)
g(x) = x + 5, maka g(2) = 2 + 5 = 7 > 0 (terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

b.  3log (x2 – 3x + 2) = 3log (2x + 8)
             x2 – 3x + 2 = 2x + 8
             x2 – 5x – 6 = 0
         (x + 1)(x – 6) = 0
         x = -1 atau x = 6
Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -1 dan x = 6 pada kedua fungsi.
Untuk x = -1
f(x) = x2 – 3x + 2, maka f(-1) = (-1)2 – 3(-1) + 2 = 6 > 0 (terpenuhi)
g(x) = 2x + 8, maka g(-1) = 2(-1) + 8 = 6 > 0 (terpenuhi)
Untuk x = 6
f(x) = x2 – 3x + 2, maka f(6) = (6)2 – 3(6) + 2 = 20 > 0 (terpenuhi)
g(x) = 2x + 8, maka g(6) = 2(6) + 8 = 20 > 0 (terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = -1 atau x = 6.



c.   5log (2x2 + 6x - 5) = 5log (x2 + x + 1)
              2x2 + 6x - 5 = x2 + x + 1
               x2 + 5x - 6 = 0
           (x + 6)(x - 1) = 0
           x = -6 atau x = 1
Dicek terlebih dahulu untuk nilai x = -6 atau x = 1 pada kedua fungsi.
Untuk x = -6
f(x) = 2x2 + 6x - 5, maka f(-6) = 2(-6)2 + 6(-6) – 5 = 31 > 0 (terpenuhi)
g(x) = x2 + x + 1, maka g(-6) = (-6)2 + (-6) + 1 = 31 > 0 (terpenuhi)
Untuk x = 1
f(x) = 2x2 + 6x - 5, maka f(1) = 2(1)2 + 6(1) – 5 = 3 > 0 (terpenuhi)
g(x) = x2 + x + 1, maka g(1) = 12 + 1 + 1 = 3 > 0 (terpenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -6 atau x = 1.

Demikianlah sedikit penjelasan tentang logaritma dan penyelesaian persamaan logaritma.
Semoga bermanfaat.

6 comments: